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新高考数学一轮复习专题八平面解析几何8-5直线与圆锥曲线的位置关系课件
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这是一份新高考数学一轮复习专题八平面解析几何8-5直线与圆锥曲线的位置关系课件，共17页。
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系1.判断直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线有三种位置关系:相离、相切和相交.(1)直线与椭圆有两个公共点⇔相交;直线与椭圆有一个公共点⇔相切;直线与椭圆没 有公共点⇔相离.(2)直线与双曲线有两个公共点⇒相交.当直线与双曲线只有一个公共点时,除了直线与双曲线相切外,还有可能是直线与双 曲线相交,此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有公共点⇔相离.
(3)直线与抛物线有两个公共点⇒相交.当直线与抛物线只有一个公共点时,除了直线与抛物线相切外,还有可能是直线与抛 物线相交,此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有公共点⇔相离.2.弦长与中点弦问题(1)当弦的两端点坐标易求时,可求出两端点坐标,再用两点间距离公式直接求解.(2)若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|= = |x1-x2|= 或|AB|= |y1-y2|=
· (k≠0).(3)当直线过抛物线的焦点时,可利用抛物线的焦点弦公式求解弦长.(4)中点弦问题求解与中点弦有关问题的两种方法:①方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为二次方程之后,结合根与系 数的关系,建立等式关系或不等式关系.②点差法:若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,可设出直线和 圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利 用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.“点差法”中必须保证判别式Δ大于零.
归纳总结 设AB为圆锥曲线的弦,点M(x0,y0)为弦AB的中点,O为坐标原点:
例1 (2024安徽淮北树人高级中学月考,19)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率e= ,且椭圆C经过点(2, ).(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A、B两点,若线段AB恰被点P所平分,求直线l的 方程.
解析 (1)由题意得 解得a2=8,b2=6.则椭圆C的方程为 + =1.(2)解法一:显然,点P在椭圆内部.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 ①-②得 + =0,由线段AB的中点为P(2,1)得x1+x2=4,y1+y2=2.代入上式得 + =0,得kAB= =- .∴直线l的方程为y-1=- (x-2),即3x+2y-8=0.解法二:若直线斜率不存在,不符合题意.
设直线l的方程为y-1=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去y,化简得(3+4k2)x2+8k(1-2k)x+16k2-16k-20=0,∵点P在椭圆内部,∴Δ>0.由根与系数的关系得x1+x2=- =4,解得k=- .∴直线l的方程为y-1=- (x-2),即3x+2y-8=0.
题型二 面积问题 直线与圆锥曲线相交,求弦和某个定点所构成的三角形面积的处理方法:1.一般方法:S= |AB|d(其中|AB|为弦长,d为定点到直线AB的距离).2.拆分法:可以将三角形沿着x轴或y轴拆分成两个三角形,通常在拆分时给出的定点在 x轴或y轴上,此时便于找到两个三角形的底边长.
例2 (2024山东青岛二中阶段性练习,18)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他的主要 研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之 一,阿波罗尼斯圆指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比 =λ(λ>0且λ≠1),λ是一个常数,那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,圆心在线段PQ上.已知动点M的轨迹 是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=4,定点分别为椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A,且椭圆C的离心率为e= .(1)求椭圆C的标准方程.(2)如图,过右焦点F斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于B,D(点B在x轴上方),点S,T是椭
圆C上异于B,D的两点,SF平分∠BSD,TF平分∠BTD.①求 的取值范围;②设△BFT、△DFT的面积分别为S1、S2,当 = 时,求直线l的方程.
解析 (1)设M(x,y),F(c,0),由题意知 = =λ(λ>0且λ≠1),整理得x2+y2+ x+ =0,所以有 (与动点M的轨迹方程作比较)结合 = ,解得a=2 ,c= ,则b2=6,故椭圆C的标准方程为 + =1.(2)①根据SF平分∠BSD,
得 = (由内角平分线定理得),由(1)知F( ,0),设D(x0,y0),B(xB,yB),则 =( -xB,-yB), =(x0- ,y0),设 =μ (μ>0),所以 即 由直线l的斜率k>0,得x0∈(-2 , ),将B,D坐标代入椭圆方程得
3[ (μ+1)-μx0]2+4(-μy0)2=24和4 =24-3 ,即3[ (μ+1)-μx0]2+μ2(24-3 )=24,化简得(μ+1)2- μ(μ+1)x0+4(μ2-1)=0,整理得(μ+1)(5μ-3- μx0)=0,因为μ>0,所以μ= ∈ ,所以 的取值范围为 .②根据 = = ,TF平分∠BTD,得 = ,故 = ,
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系1.判断直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线有三种位置关系:相离、相切和相交.(1)直线与椭圆有两个公共点⇔相交;直线与椭圆有一个公共点⇔相切;直线与椭圆没 有公共点⇔相离.(2)直线与双曲线有两个公共点⇒相交.当直线与双曲线只有一个公共点时,除了直线与双曲线相切外,还有可能是直线与双 曲线相交,此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有公共点⇔相离.
(3)直线与抛物线有两个公共点⇒相交.当直线与抛物线只有一个公共点时,除了直线与抛物线相切外,还有可能是直线与抛 物线相交,此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有公共点⇔相离.2.弦长与中点弦问题(1)当弦的两端点坐标易求时,可求出两端点坐标,再用两点间距离公式直接求解.(2)若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|= = |x1-x2|= 或|AB|= |y1-y2|=
· (k≠0).(3)当直线过抛物线的焦点时,可利用抛物线的焦点弦公式求解弦长.(4)中点弦问题求解与中点弦有关问题的两种方法:①方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为二次方程之后,结合根与系 数的关系,建立等式关系或不等式关系.②点差法:若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,可设出直线和 圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利 用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.“点差法”中必须保证判别式Δ大于零.
归纳总结 设AB为圆锥曲线的弦,点M(x0,y0)为弦AB的中点,O为坐标原点:
例1 (2024安徽淮北树人高级中学月考,19)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率e= ,且椭圆C经过点(2, ).(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A、B两点,若线段AB恰被点P所平分,求直线l的 方程.
解析 (1)由题意得 解得a2=8,b2=6.则椭圆C的方程为 + =1.(2)解法一:显然,点P在椭圆内部.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 ①-②得 + =0,由线段AB的中点为P(2,1)得x1+x2=4,y1+y2=2.代入上式得 + =0,得kAB= =- .∴直线l的方程为y-1=- (x-2),即3x+2y-8=0.解法二:若直线斜率不存在,不符合题意.
设直线l的方程为y-1=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去y,化简得(3+4k2)x2+8k(1-2k)x+16k2-16k-20=0,∵点P在椭圆内部,∴Δ>0.由根与系数的关系得x1+x2=- =4,解得k=- .∴直线l的方程为y-1=- (x-2),即3x+2y-8=0.
题型二 面积问题 直线与圆锥曲线相交,求弦和某个定点所构成的三角形面积的处理方法:1.一般方法:S= |AB|d(其中|AB|为弦长,d为定点到直线AB的距离).2.拆分法:可以将三角形沿着x轴或y轴拆分成两个三角形,通常在拆分时给出的定点在 x轴或y轴上,此时便于找到两个三角形的底边长.
例2 (2024山东青岛二中阶段性练习,18)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他的主要 研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之 一,阿波罗尼斯圆指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比 =λ(λ>0且λ≠1),λ是一个常数,那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,圆心在线段PQ上.已知动点M的轨迹 是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=4,定点分别为椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A,且椭圆C的离心率为e= .(1)求椭圆C的标准方程.(2)如图,过右焦点F斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于B,D(点B在x轴上方),点S,T是椭
圆C上异于B,D的两点,SF平分∠BSD,TF平分∠BTD.①求 的取值范围;②设△BFT、△DFT的面积分别为S1、S2,当 = 时,求直线l的方程.
解析 (1)设M(x,y),F(c,0),由题意知 = =λ(λ>0且λ≠1),整理得x2+y2+ x+ =0,所以有 (与动点M的轨迹方程作比较)结合 = ,解得a=2 ,c= ,则b2=6,故椭圆C的标准方程为 + =1.(2)①根据SF平分∠BSD,
得 = (由内角平分线定理得),由(1)知F( ,0),设D(x0,y0),B(xB,yB),则 =( -xB,-yB), =(x0- ,y0),设 =μ (μ>0),所以 即 由直线l的斜率k>0,得x0∈(-2 , ),将B,D坐标代入椭圆方程得
3[ (μ+1)-μx0]2+4(-μy0)2=24和4 =24-3 ,即3[ (μ+1)-μx0]2+μ2(24-3 )=24,化简得(μ+1)2- μ(μ+1)x0+4(μ2-1)=0,整理得(μ+1)(5μ-3- μx0)=0,因为μ>0,所以μ= ∈ ,所以 的取值范围为 .②根据 = = ,TF平分∠BTD,得 = ,故 = ,
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