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新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-5统计与成对数据的统计分析课件
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这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-5统计与成对数据的统计分析课件，共26页。PPT课件主要包含了题型三独立性检验等内容，欢迎下载使用。
题型一 频率分布直方图的应用用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)平均数: = xiSi(xi表示第i个小矩形底边中点的横坐标,Si表示第i个小矩形的面积).(2)方差:s2= (xi- )2·Si.(3)众数:最高小矩形底边中点的横坐标.(4)中位数:把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分时,分界线与横轴交点 的横坐标.(5)百分位数:类比中位数,百分位数所在直线把频率分布直方图划分为左右两个部分, 左边所有矩形的面积和为p%.中位数是第50百分位数.
求解公式:已知频率分布直方图的组距为d.①找出百分位数所在的矩形区间[a,b);②第p百分位数=a+d· .
例1 (2024辽宁沈阳五校联考,18)为了解某药物在小鼠体内的残留程度,进行如下试 验:随机抽取100只小鼠,给服该种药物,每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同.经 过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比.根据试验数据得 到如下直方图:
(1)求残留百分比直方图中a的值;(2)估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表);(3)在体内药物残留百分比位于区间[5.5,7.5]的小鼠中任取3只,设其中体内药物残留百 分比位于区间[6.5,7.5]的小鼠为X只,求X的分布列和期望.
解析 (1)由(0.15+0.20+a+0.20+0.10+0.05)×1=1,解得a=0.3.(2) =(2×0.15+3×0.2+4×0.3+5×0.2+6×0.1+7×0.05)×1=4.05.(3)体内药物残留百分比位于区间[5.5,6.5)内的频率为0.1,则抽取小鼠100×0.1=10只,位 于[6.5,7.5]内的频率为0.05,则抽取小鼠100×0.05=5只.则X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,所以X的分布列为
则E(X)=0× +1× +2× +3× =1.
题型二 变量间的相关关系及回归方程1.两个变量是否相关的判断方法(1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下 角,两个变量负相关.(2)样本相关系数;当r>0时,正相关;当r<0时,负相关;|r|越接近于1,相关性越强.(3)决定系数法:利用决定系数判断,R2越接近1,模型的拟合效果越好,相关性越强.2.求经验回归方程的步骤(1)计算出 、 、 + +…+ 、x1y1+x2y2+…+xnyn;(2)计算 、 ;
(3)写出经验回归方程 = x+ .3.经验回归方程的应用(1)若已知经验回归方程(方程中无参数),则把自变量代入经验回归方程即可对因变量 进行预测.(2)若经验回归方程中有参数,则根据经验回归直线一定经过点( , )求出参数值,得到经验回归方程,进而完成预测.
例2 (多选)(2024浙江宁波期末,9)数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经 济形态.近年来,在国家的大力推动下,我国数字经济规模增长迅猛.某地区2023年上半 年月份x与对应数字经济的生产总值(即GDP)y(单位:亿元)如表所示.
根据上表可得到回归方程 = x+ ,则 ( )A. = B.y与x正相关C.若r表示变量y与x之间的相关系数,则r= D.若该地区对数字经济的相关政策保持不变,则该地区7月份的生产总值约为 亿元
解析 对于A, = ×(1+2+3+4+5+6)= , = ×(30+33+35+38+41+45)=37,所以 = - =37- × = ,故A正确;对于B,因为 = >0,所以y与x正相关,故B正确;对于C,根据|r|≤1知C错误;对于D,当x=7时, = ×7+ = ,故D正确.故选ABD.
例3 (2024华大新高考联盟教学质量测评,15)某农业大学组织部分学生进行作物栽培 试验,由于土壤相对贫瘠,前期作物生长较为缓慢,为了增加作物的生长速度,达到预期 标准,小明对自己培育的一株作物使用了营养液,现统计了使用营养液十天之内该作 物的高度变化.
(1)观察散点图可知,天数x与作物高度y之间具有较强的线性相关性,用最小二乘法求 出作物高度y关于天数x的经验回归方程 = x+ (其中 , 用分数表示);(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3 cm,请根据(1)中的结果预测第2 2天该作物的高度的残差.参考公式: = , = - .参考数据: xiyi=710.
解析 (1)依题意,得 = =5.5, =10+ =12,故 = = = = , =12- ×5.5= ,故所求经验回归方程为 = x+ .(2)由(1)可知,当x=22时, = ×22+ =22 cm,故所求残差为21.3-22=-0.7 cm.
应用独立性检验解决实际问题的基本步骤1.提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释;2.根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值;3.查表确定临界值xα;
4.得出推断结论.当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的,称为“经常锻炼”,其余的称为 “不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表,并依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认 为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”,“极度缺乏锻炼”会 导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率,在全校抽取20名同学,其中“极度缺 乏锻炼”的人数为X,求E(X)和D(X);(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”,为进一步了解他们的 生活习惯,在样本的10名“运动爱好者”中,随机抽取3人进行访谈,设抽取的3人中男 生人数为Y,求Y的分布列和数学期望.附:χ2= ,n=a+b+c+d.
解析 (1)2×2列联表为
零假设为H0:性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关,根据列 联表的数据计算χ2= = ≈3.590>2.706=x0.1,根据小概率值α=0.1的独立性检验,推断H0不成立,即性别因素与学生体育锻炼的经常 性有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1.(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,随机抽取一人为 “极度缺乏锻炼”者的概率p= = ,X~B ,故E(X)=20× = ,D(X)=20× × = .
(3)10名“运动爱好者”中有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布:P(Y=0)= = ,P(Y=1)= = = ,P(Y=2)= = = ,P(Y=3)= = = ,故所求分布列为
E(Y)=0× +1× +2× +3× =2.1.
例1 (多选)(2024重庆八中多校月考,9)某社区通过简单随机抽样,获得了100户居民的 月均用水量数据,并绘制出如图所示的频率分布直方图,由该图可以估计 ( )A.平均数>中位数 B.中位数>平均数C.中位数>众数 D.众数>平均数
解析 由题中直方图在右边“拖尾”知平均数大于中位数,故A正确;由题图估计中位数接近7.2,众数为5.7,所以中位数大于众数,故C正确.故选AC.
风向解读 本题考查了平均数,中位数,众数的运算.平均数和中位数都描述了数据的 集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形状有关.准确理解概念的本质是解题的关 键.
例2 (2024广东汕头第一次模拟,12)已知成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2)中,x1,x2,…,xn不全相等,且所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y= x+1上,则这组成对样本数据的样本相关系数r= .
题型一 频率分布直方图的应用用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)平均数: = xiSi(xi表示第i个小矩形底边中点的横坐标,Si表示第i个小矩形的面积).(2)方差:s2= (xi- )2·Si.(3)众数:最高小矩形底边中点的横坐标.(4)中位数:把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分时,分界线与横轴交点 的横坐标.(5)百分位数:类比中位数,百分位数所在直线把频率分布直方图划分为左右两个部分, 左边所有矩形的面积和为p%.中位数是第50百分位数.
求解公式:已知频率分布直方图的组距为d.①找出百分位数所在的矩形区间[a,b);②第p百分位数=a+d· .
例1 (2024辽宁沈阳五校联考,18)为了解某药物在小鼠体内的残留程度,进行如下试 验:随机抽取100只小鼠,给服该种药物,每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同.经 过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比.根据试验数据得 到如下直方图:
(1)求残留百分比直方图中a的值;(2)估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表);(3)在体内药物残留百分比位于区间[5.5,7.5]的小鼠中任取3只,设其中体内药物残留百 分比位于区间[6.5,7.5]的小鼠为X只,求X的分布列和期望.
解析 (1)由(0.15+0.20+a+0.20+0.10+0.05)×1=1,解得a=0.3.(2) =(2×0.15+3×0.2+4×0.3+5×0.2+6×0.1+7×0.05)×1=4.05.(3)体内药物残留百分比位于区间[5.5,6.5)内的频率为0.1,则抽取小鼠100×0.1=10只,位 于[6.5,7.5]内的频率为0.05,则抽取小鼠100×0.05=5只.则X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,所以X的分布列为
则E(X)=0× +1× +2× +3× =1.
题型二 变量间的相关关系及回归方程1.两个变量是否相关的判断方法(1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下 角,两个变量负相关.(2)样本相关系数;当r>0时,正相关;当r<0时,负相关;|r|越接近于1,相关性越强.(3)决定系数法:利用决定系数判断,R2越接近1,模型的拟合效果越好,相关性越强.2.求经验回归方程的步骤(1)计算出 、 、 + +…+ 、x1y1+x2y2+…+xnyn;(2)计算 、 ;
(3)写出经验回归方程 = x+ .3.经验回归方程的应用(1)若已知经验回归方程(方程中无参数),则把自变量代入经验回归方程即可对因变量 进行预测.(2)若经验回归方程中有参数,则根据经验回归直线一定经过点( , )求出参数值,得到经验回归方程,进而完成预测.
例2 (多选)(2024浙江宁波期末,9)数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经 济形态.近年来,在国家的大力推动下,我国数字经济规模增长迅猛.某地区2023年上半 年月份x与对应数字经济的生产总值(即GDP)y(单位:亿元)如表所示.
根据上表可得到回归方程 = x+ ,则 ( )A. = B.y与x正相关C.若r表示变量y与x之间的相关系数,则r= D.若该地区对数字经济的相关政策保持不变,则该地区7月份的生产总值约为 亿元
解析 对于A, = ×(1+2+3+4+5+6)= , = ×(30+33+35+38+41+45)=37,所以 = - =37- × = ,故A正确;对于B,因为 = >0,所以y与x正相关,故B正确;对于C,根据|r|≤1知C错误;对于D,当x=7时, = ×7+ = ,故D正确.故选ABD.
例3 (2024华大新高考联盟教学质量测评,15)某农业大学组织部分学生进行作物栽培 试验,由于土壤相对贫瘠,前期作物生长较为缓慢,为了增加作物的生长速度,达到预期 标准,小明对自己培育的一株作物使用了营养液,现统计了使用营养液十天之内该作 物的高度变化.
(1)观察散点图可知,天数x与作物高度y之间具有较强的线性相关性,用最小二乘法求 出作物高度y关于天数x的经验回归方程 = x+ (其中 , 用分数表示);(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3 cm,请根据(1)中的结果预测第2 2天该作物的高度的残差.参考公式: = , = - .参考数据: xiyi=710.
解析 (1)依题意,得 = =5.5, =10+ =12,故 = = = = , =12- ×5.5= ,故所求经验回归方程为 = x+ .(2)由(1)可知,当x=22时, = ×22+ =22 cm,故所求残差为21.3-22=-0.7 cm.
应用独立性检验解决实际问题的基本步骤1.提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释;2.根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值;3.查表确定临界值xα;
4.得出推断结论.当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的,称为“经常锻炼”,其余的称为 “不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表,并依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认 为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”,“极度缺乏锻炼”会 导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率,在全校抽取20名同学,其中“极度缺 乏锻炼”的人数为X,求E(X)和D(X);(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”,为进一步了解他们的 生活习惯,在样本的10名“运动爱好者”中,随机抽取3人进行访谈,设抽取的3人中男 生人数为Y,求Y的分布列和数学期望.附:χ2= ,n=a+b+c+d.
解析 (1)2×2列联表为
零假设为H0:性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关,根据列 联表的数据计算χ2= = ≈3.590>2.706=x0.1,根据小概率值α=0.1的独立性检验,推断H0不成立,即性别因素与学生体育锻炼的经常 性有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1.(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,随机抽取一人为 “极度缺乏锻炼”者的概率p= = ,X~B ,故E(X)=20× = ,D(X)=20× × = .
(3)10名“运动爱好者”中有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布:P(Y=0)= = ,P(Y=1)= = = ,P(Y=2)= = = ,P(Y=3)= = = ,故所求分布列为
E(Y)=0× +1× +2× +3× =2.1.
例1 (多选)(2024重庆八中多校月考,9)某社区通过简单随机抽样,获得了100户居民的 月均用水量数据,并绘制出如图所示的频率分布直方图,由该图可以估计 ( )A.平均数>中位数 B.中位数>平均数C.中位数>众数 D.众数>平均数
解析 由题中直方图在右边“拖尾”知平均数大于中位数,故A正确;由题图估计中位数接近7.2,众数为5.7,所以中位数大于众数,故C正确.故选AC.
风向解读 本题考查了平均数,中位数,众数的运算.平均数和中位数都描述了数据的 集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形状有关.准确理解概念的本质是解题的关 键.
例2 (2024广东汕头第一次模拟,12)已知成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2)中,x1,x2,…,xn不全相等,且所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y= x+1上,则这组成对样本数据的样本相关系数r= .
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