新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题二同构在导数中的应用课件

这是一份新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题二同构在导数中的应用课件，共20页。

类型一:结构一致性同构1.单变量同构首先依据题设中目标特征或适当变形,将其化为结构相同的式子,然后同构函数,利用 函数单调性求解,如:对于实数a=  ,b=  ,c=  ,可构造函数f(x)= · ;对于实数a=2ln 7,b=3ln 6,c=4ln 5,适当变形ln a=ln 2·ln 7,ln b=ln 3·ln 6,ln c=ln 4·ln 5,可构造函数f(x)=ln x·ln(9-x)(2≤x≤4).2.双变量同构对于含有两个变量x1、x2的不等式,一般通过变形将x1、x2分别化到不等式的两边,若不
等式两边结构相同,则根据结构特征同构函数,利用函数的单调性解决问题.注意不等 式的转化要等价.如:(1) >k(x1 = - ⇔f(x1)+ >f(x2)+ ,构造函数y=f(x)+ .
例1　设a= - ,b= - ,c= - ,则 (　    )A.a  解析    a= -  - -1,b= - -1,c= - -1.令f(x)=ex-x-1,所以f '(x)=ex-1,令f '(x)=ex-1=0,得x=0,x<0时, f '(x)<0, f(x)单调递减,x>0时, f '(x)>0, f(x)单调递增,所以f >f ,所以c>a.令g(x)=(ex-x)-(e-x+x)=ex-e-x-2x(x>0),所以g'(x)=ex+e-x-2≥2 -2=0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,g >g(0)=1-1-0=0,所以 - > + ,所以 - -1> + -1,所以a>b,所以b类型二:含指数、对数形式的同构1.依据题设条件,直接同构.(1)积型:对于不等式aea≤bln b有三种同构方式. (2)商型:对于不等式 < 有三种同构方式.
 (3)和差型:对于不等式ea±a>b±ln b有两种同构方式. 2.依据题设条件,变形同构.观察不等式的结构特征,在两边同乘或同加某一式子,进行变形,甚至放缩来进行同构.
(1)aeax>ln x axeax>xln x,后面的转化同积型.(2)ex>aln(ax-a)-a⇔ ex>ln[a(x-1)]-1⇔ex-ln a-ln a>ln(x-1)-1 ex-ln a+x-ln a>ln(x-1)+x-1=eln(x-1)+ln(x-1)⇔x-ln a>ln(x-1),其中a>0且a≠1.(3)ax>lgax⇔exln a> ⇔(xln a)exln a>xln x,后面的转化同积型,其中a>1.
例2　设实数m>0,若对任意的x≥e,不等式x2ln x-m ≥0恒成立,则m的最大值为　　        .
  解析    不等式x2ln x-m ≥0恒成立,可得x2ln x≥m ,即xln x≥  ,ln xeln x≥  ,①设f(x)=xex(x>0),则f '(x)=(x+1)ex>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∵ >0,ln x>0,由①式知 ≤ln x对任意的x≥e恒成立,∴只需m≤(xln x)min,设g(x)=xln x(x≥e),则g'(x)=ln x+1>0,∴g(x)在[e,+∞)上为增函数,∴g(x)min=g(e)=e,∴m≤e.故m的最大值为e.
类型三:含指数、对数、幂函数形式的同构(1)当a>0且a≠1,x>0时,有 =x.(2)当a>0且a≠1时,有lgaax=x.结合指数运算和对数运算的法则,可以得到下述结论(其中x>0).(3)xex=ex+ln x,x+ln x=ln(xex).(4) =ex-ln x,x-ln x=ln .(5)x2ex=ex+2ln x,x+2ln x=ln(x2ex).(6) =ex-2ln x,x-2ln x=ln .
再结合常用的切线不等式ln x≤x-1,ln x≤ ,ex≥x+1,ex≥ex等,可以得到更多结论,这里仅以(3)为例进行引申:(7)xex=ex+ln x≥x+ln x+1,x+ln x=ln(xex)≤xex-1.(8)xex=ex+ln x≥e(x+ln x),x+ln x=ln(xex)≤ =xex-1.
例3　已知函数f(x)=e2x-2x+1,g(x)=2x-2ln x,若存在x1,x2∈(1,+∞),使得f(x1)=g(x2),则 (        )A. f(x1)  解析    令φ(x)=f(x)-g(x)=e2x-4x+1+2ln x(x>1),则φ'(x)=2 >0,所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增,φ(x)>φ(1)=e2-3>0,故f(x1)>g(x1),故A错误.由题意得 -2x1+1=2x2-2ln x2,所以 -2x1-1=2(x2-ln x2-1)=2( -ln x2-1),因为x1,x2∈(1,+∞),所以x1>0,ln x2>0,令h(x)=ex-x-1(x>0),则h(2x1)=2h(ln x2),且h'(x)=ex-1>0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,
故h(x)>h(0)=0,所以h(2x1)=2h(ln x2)>h(ln x2),即h(2x1)>h(ln x2),故2x1>ln x2.又 -2x1-1-2( -x1-1)=( -1)2>0,所以 -2x1-1>2( -x1-1),所以2h(ln x2)=h(2x1)>2h(x1),即h(ln x2)>h(x1),所以x1类型四:隐零点同构　　在解决与不等式证明有关的导数题中,对目标函数求导后,所得方程f '(x)=0为超越 方程,不能解出零点,但题目的求解又必须利用f '(x)=0的条件时,常用策略就是将超越 方程转化与化归,让方程的两边化为同构的两个函数,再进行求解.含有指、对、幂不 等式的导数题目中常会用到同构型隐零点情况,如  +ln x0=0可化为x0 =- = ln =ln  .
例4　已知a、b∈R,a2ea+ln a=0,bln =1,则 (　    )A.ab  解析    由a2ea+ln a=0可得aea=- ln a= ln =ln   ,a>0,记f(x)=xex,其中x>0,则f(a)=f .因为f '(x)=(x+1)ex>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a=ln =-ln a,因为a>0,所以ln a<0,即00,构造函数g(x)=x+ex,其中x>0,
则g'(x)=1+ex>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(ln b)=g ,则ln b= ,由ln b= >0得b>1,且 =-ln ,则 +ln =0.②记h(x)=x+ln x,其中x>0,则h'(x)=1+ >0,所以函数h(x)在(0,+∞)上为增函数,由①②可得h(a)=h =0,