新高考数学一轮复习专题六数列微专题二衍生数列问题课件

这是一份新高考数学一轮复习专题六数列微专题二衍生数列问题课件，共10页。
类型一:数列中的去项、插项问题解决插项、去项问题的关键是要弄清楚插入或去掉的项数,同时还要分析这些项的特 征,以及这些项与原数列各项之间的关系,然后利用分组或并项法求和.
例1    (2024广东广州华南师大附中一模,5)在数列{an}中的相邻两项an与an+1(n∈N*)之 间分别插入一个首项为an- ,公差为- 的等差数列的前n项,记构成的新数列为{bn},若an= ,则{bn}的前65项的和为 (　    )A.- 　    B.-13　    C.- 　    D.-14
  解析    依题意知数列{bn}为a1,a1-1,a2,a2- ,a2-1,a3,a3- ,a3- ,a3-1,…,an,an- ,an- ,an- ,…,an- ,an-1,an+1,…,设an及其后面插入n项的和为Sn,则Sn=(n+1)an- × =2- = (3-n),所以数列{Sn}是以1为首项,- 为公差的等差数列.所以{bn}的前65项({an}中的前10项与插入的55项)的和为S1+S2+…+S10= =- ,故选A.
例2　记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q>0),已知a1=b2 =4,q= d,S9=9b4.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)将{an},{bn}中相同的项剔除后,两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列,构成数 列{cn},求{cn}的前100项和.
  解析    (1)由S9=9b4,得9a1+ d=9×b2q2,因为a1=b2=4,所以1+d=q2.结合q= d,可得1+ q=q2,(2q+1)(q-2)=0,由q>0,解得q=2,则d=3,所以数列{an}的通项公式为an=4+3(n-1)=3n+ 1,数列{bn}的通项公式为bn=4×2n-2=2n.(2)由(1)可知,当n=100时,a100=301.因为bn=2n,所以b1=2,b2=4,b3=8,b4=16,b5=32,b6=64,b7=128,b8=256,b9=512>301,令2=3n+1,解得n= ,令4=3n+1,解得n=1,令8=3n+1,解得n= ,令16=3n+1,解得n=5,令32=3n+1,解得n= ,令64=3n+1,解得n=21,令128=3n+1,解得n= ,令256=3n+1,解得n=85,
所以数列{an}的前100项中与数列{bn}中相同的项共有4项,即4,16,64,256,即为{bn}的前 8项中的偶数项.将{an},{bn}中相同的项剔除后,两个数列中余下的项按从小到大的顺 序排列构成数列{cn},则{cn}的前100项为数列{an}的前100项中剔除与数列{bn}相同的 4项后剩余的96项与{bn}的前8项中剔除与数列{an}相同的4项后剩余的4项,所以{cn}的前100项和为 + -2×(4+16+64+256)=15 080.
类型二:数列中的公共项问题数列公共项问题是指在给定数列中,找出满足特定条件的公共项或多项.解决数列公 共项问题的关键是观察数列的规律.在找到数列规律后,可以利用相应的数学公式进 行计算.
例3    (2024广东珠海一中期末,14)将数列{2n-1}与数列{n2-1}的公共项从小到大排列 得到新数列{an},则  =　　　    .