新高考数学一轮复习专题七立体几何与空间向量微专题二立体几何中的动态问题课件

这是一份新高考数学一轮复习专题七立体几何与空间向量微专题二立体几何中的动态问题课件，共16页。

类型一:动点轨迹问题　　动点轨迹问题通常有轨迹形状判断和求轨迹的长度(最值)两种题型,解决此类问 题的关键是求动点的轨迹,求动点轨迹一般有两种思路,一是根据线面位置关系和空 间几何体的结构特征能直观判断动点的轨迹(如:动点P满足PA⊥PB,点A和点B为定点, 则点P的轨迹是以AB为直径的圆);二是建立空间直角坐标系,根据题干条件设出动点 的坐标,利用线面位置关系或题干条件得出动点坐标的方程,对比圆锥曲线方程特点 判断动点的轨迹;对于轨迹最值问题,通常是要求最值的量用动点的某个坐标表示(注 意坐标的取值范围),通过函数或基本不等式求最值,有时也可以根据空间几何体的结构特征和题干条件直观判断何时取最值,判断后直接求解即可.
例1　如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AC1,A1B1的中点,点T在正 方体的表面上运动,满足PT⊥BQ.给出下列四个结论:①点T可以是棱DD1的中点;②线段PT长度的最小值为 a;③点T的轨迹是矩形;④点T的轨迹围成的多边形的面积为 a2.其中所有正确结论的序号是　　　    .
  解析    以C点为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长a=2,则D(2,0,0),B(0,2,0),A(2,2,0), C1(0,0,2),D1(2,0,2),B1(0,2,2),A1(2,2,2),P(1,1,1),Q(1,2,2),设T(x,y,z).对于①,当点T为棱DD1的中点时,T(2,0,1),则 =(1,-1,0),又 =(1,0,2), · =1+0+0=1≠0,不满足PT⊥BQ,所以点T不是棱DD1的中点,故①中结论错误. =(x-1,y-1,z-1),因为PT⊥BQ,所以x-1+2(z-1)=0,x+2z=3.当x=0时,z= ,当x=2时,z= ,取E ,F ,G ,H ,连接EF,FG,GH,HE,
则 = =(0,2,0), = =(-2,0,1), · =0,即EF⊥EH,所以四边形EFGH为矩形,因为 · =0, · =0,所以EF⊥BQ,EH⊥BQ,又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线,所以BQ⊥平面EFGH,又 = , = ,所以P为EG的中点,则P∈平面EFGH,为使PT⊥BQ,必有点T∈平面EFGH,又点T在正方体表面上运动,所以点T的轨迹为矩形EFGH,故③中结论正确.矩形EFGH的面积为2× =2 ,即为 a2,故④中结论正确.
x+2z=3,所以x=3-2z,又点T在正方体表面上运动,则0≤3-2z≤2,解得 ≤z≤ ,所以|PT|= = , 结合点T的轨迹为矩形EFGH,分别讨论下列两种可能取得最小值的情况:当z=1,y=0或y=2时,PT=1;当y=1,z= 或z= 时,PT= .因为1< ,所以当z=1,y=0或y=2
时,PT取得最小值,为1,即 a,故②中结论正确.综上所述,正确结论的序号是②③④.
类型二:与动点相关的综合问题　　与动点相关的综合问题命题角度较广,通常是线面位置关系的探究型问题、空间 角(取值范围)的探究性问题、线段长度、面积或体积最(定)值的探究性问题等,此类 问题一般采用解析法处理,根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系,将比较 复杂的立体几何推理证明问题转化为相对简单的代数运算问题;设动点坐标时,要根 据动点位置尽可能准确,同时要注意坐标的取值范围.
例2    (多选)(2024湖南九校联考,11)如图,点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表 面上一个动点,F是线段A1B1的中点,则(　    ) A.若点P满足AP⊥B1C,则动点P的轨迹长度为4 B.三棱锥A-PB1D1体积的最大值为  C.当直线AP与AB所成的角为45°时,点P的轨迹长度为π+4 
D.当P在底面ABCD上运动,且满足PF∥平面B1CD1时,线段PF长度最大值为2 
  解析    对于A,连接AD1,BC1,如图1,易知B1C⊥平面ABC1D1,因为A∈平面ABC1D1,点P是正方体表面上一点,所以动点P的轨迹为矩形ABC1D1,则动点P的轨迹长度为4 +4,所以A错误;对于B,因为 = ,而△AB1D1的面积为定值2 ,要使三棱锥P-AB1D1的体积最大,当且仅当点P到平面AB1D1距离最大,易知,点C是正方体表面上到平面AB1D1距离最 大的点,( )max= = ,B错误;对于C,连接AC,AB1,以B为圆心,BB1为半径画弧 ,如图1所示,当点P在线段AC,AB1和弧 上时,直线AP与AB所成的角为45°,又AC= = =2 ,AB1= = =2 ,弧 的长度为 ×π×22=π,故点P的轨迹长度为π+4 ,故C正
确;对于D,取A1D1,D1D,DC,CB,BB1,AB的中点分别为Q,R,N,M,T,H,连接QR,QF,FT,TM,MN, NR,FH,HN,HM,FM,FN,如图2所示, 　     因为FT∥D1C,FT⊄平面D1B1C,D1C⊂平面D1B1C,所以FT∥平面D1B1C,因为TM∥B1C,
TM⊄平面D1B1C,B1C⊂平面D1B1C,所以TM∥平面D1B1C,又FT∩TM=T,FT,TM⊂平面 FTM,故平面FTM∥平面D1B1C,又QF∥NM,QR∥TM,RN∥FT,故平面FTMNRQ与平面 FTM是同一个平面,则点P的轨迹为线段MN,在三角形FNM中,FN= = =2 ,FM= = = ,NM= ,则FM2+MN2=8=FN2,故三角形FNM是以∠FMN为直角的直角三角形,故FPmax=FN=2 ,故FP长度的最大值为2 ,故D正确,故选CD.
类型三:翻折问题立体几何中的翻折问题的处理策略:1.明确翻折前后变与不变的量,翻折前后在同一面内的量不发生变化,翻折前后不在同 一面内的量发生变化.2.翻折后变化的量的大小要进行推理计算证明,不能从图形中凭感觉主观判断.3.翻折后不易计算的量,可以回归到翻折前的图形中计算.
例3    (多选)(2024湖南长沙一中第四次月考)如图,等边三角形ABC的边长为4,E为边 AB的中点,ED⊥AC于D.将△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置,连接A1C.在翻折过程中, 下列说法中正确的是(　    )A.DE⊥A1CB.四棱锥A1-BCDE的体积的最大值是 
C.存在某个位置,使A1E⊥BED.在线段A1C上,存在点M满足 =  ,使BM为定值
  解析    对于A,因为ED⊥AC,所以DE⊥CD,DE⊥A1D,因为CD∩A1D=D,CD,A1D⊂平面A1CD,所以DE⊥平面A1CD,因为A1C⊂平面A1CD,所以DE⊥A1C,所以A中说法正确;对 于B,当平面A1DE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积最大,由选项A分析,知∠A1DC 为二面角A1-DE-C的平面角,所以∠A1DC=90°,即A1D⊥DC,又A1D⊥DE,DE∩DC=D,所 以A1D⊥平面BCDE,即A1D为四棱锥A1-BCDE的高,四棱锥A1-BCDE的体积的最大值为   ×1= ,故B中说法正确;对于C,假设存在某个位置,使得A1E⊥BE,连接CE,则CE⊥BE,因为A1E∩CE=E,所以BE⊥平面A1CE,因为A1C⊂平面A1CE,所以BE ⊥A1C,由A分析可得DE⊥A1C,因为DE∩BE=E,DE,BE⊂平面BCDE,所以A1C⊥平面 BCDE,因为CD⊂平面BCDE,所以A1C⊥CD,所以A1D>CD,显然不可能,所以假设错误,