新高考数学一轮复习专题八平面解析几何微专题二圆锥曲线中的最值与范围问题课件

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1.圆锥曲线中的最值问题的主要解法(1)几何法,利用圆锥曲线的定义、几何性质和平面几何中的定理性质等进行求解;(2)代数法,把求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数,然后利用函数 方法、基本不等式等进行求解.2.圆锥曲线中范围问题解法解决圆锥曲线中范围问题的基本思想是建立目标函数和不等关系.建立目标函数的关 键是选用一个合适的变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题;建立不等关系 的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式或基本不等式等灵活处理.
例    (2024东北三校联考,18)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右顶点E(1,0),斜率为1的直线交C于M、N两点,且MN的中点为Q(1,3).(1)求双曲线C的方程;(2)证明:△MEN为直角三角形;(3)若过曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交,交点为A,B,且分别在第一象限和第四 象限,若 =λ ,λ∈ ,求△AOB面积的取值范围.
  解析    (1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=6.∵M,N两点在双曲线C上,∴ 由①-②得 - =0,即 = ,∴ = ,∴kOQ·kMN= ,即3×1= ,∴b2=3a2.又∵a=1,∴b2=3,
∴双曲线C的方程为x2- =1.(2)证明:由已知可得,直线MN的方程为y-3=1·(x-1),即y=x+2,联立 消去y整理得2x2-4x-7=0,Δ=16+56=72>0,由根与系数的关系得x1+x2=2,x1x2=- ,∵ · =(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)·(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+(x1+2)(x2+2)=2x1x2+(x1+x2)+5=2× +2+5=0,∴ ⊥ ,即EM⊥EN,∴△EMN为直角三角形.
(3)由题意可知,若直线AB的斜率存在,则斜率不为0,故设直线AB的方程为x=my+n,n>0,P(x3,y3),A(x4,y4),B(x5,y5),∵ =λ ,∴(x3-x4,y3-y4)=λ(x5-x3,y5-y3),∴ ⇒ ∵点P在双曲线C上,∴ - =1,
∴3(x4+λx5)2-(y4+λy5)2=3(1+λ)2,∴(3 - )+λ2(3 - )+2λ(3x4x5-y4y5)=3(1+λ)2③,又∵3 - =0,3 - =0,(点A,B在渐近线上)∴2λ(3x4x5-y4y5)=3(1+λ)2,∴3x4x5-y4y5= ④,联立 消去x,整理得(3m2-1)y2+6mny+3n2=0,则 ⇒m≠± ,
由根与系数的关系得y4+y5= ⑤,y4y5= ⑥,∵A,B分别在第一象限和第四象限,∴y4y5