新高考数学一轮复习专题八平面解析几何微专题三圆锥曲线中的证明与探究性问题课件

这是一份新高考数学一轮复习专题八平面解析几何微专题三圆锥曲线中的证明与探究性问题课件，共18页。

1.圆锥曲线中的存在性问题存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.一般步骤如下:(1)假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在;(2)用待定系数法设出;(3)列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存 在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.注意    注意　反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.
2.圆锥曲线中的探究性问题探究性问题常采用先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正 确,则不存在.其策略为(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
例1    (2024广东广州一模,18)已知O为坐标原点,双曲线C: - =1(a>0,b>0)的焦距为4,且经过点( , ).(1)求C的方程;(2)若直线l与C交于A、B两点,且 · =0,求|AB|的取值范围;(3)已知点P是C上的动点,是否存在定圆O:x2+y2=r(r>0),使得当过点P能作圆O的两条切 线PM,PN时(其中M,N分别是两切线与C的另一交点),总满足|PM|=|PN|?若存在,求出圆 O的半径r;若不存在,请说明理由.
  解析    (1)由题意知 ⇒ ∴C的方程为x2- =1.(2)当l的斜率不存在时,设l:x=t,∴y=± ,不妨令A(t,- ),B(t, ),由 · =0⇒t2-3(t2-1)=0,t2= ,此时|AB|=2 = ;当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 消去y整理得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0,则有 ∵ · =0,∴ · =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=(k2+1)· +km· +m2= =0⇒2m2-3k2-3=0,即m2= .
∴|AB|= · = · =  ,k2≠3,令k2-3=λ,λ≥-3且λ≠0,∴|AB|=  = · 
=  ≥ , ≤- 或 >0,综上,|AB|的取值范围为[ ,+∞).(3)假设存在满足条件的圆O.设P(x0,y0),则 - =1,连接OP,则PO平分∠MPN,∵|PM|=|PN|,∴PO⊥MN,设过P与圆O相切的直线为y-y0=k(x-x0),则 =r,∴ -2kx0y0+k2 =r2k2+r2,∴( -r2)k2-2kx0y0+ -r2=0,它的两根记作k1,k2,
联立 ⇒3x2- (x2-2x0x+ )- -2k1y0(x-x0)=3,∴(3- )x2+(2 x0-2k1y0)x+2k1x0y0-  - -3=0,由根与系数的关系得x0xM= ,则xM= ,yM=k1(xM-x0)+y0=k1· +y0,同理,xN= ,yN=k2· +y0,∴kMN= 
= = = ,由PO⊥MN得kMN·kPO=-1,即 · =-1, · =-1,(注意3 - =3)
r2= ⇒r= ,故存在圆O满足条件,此时r= .
例2　如图,D为圆O:x2+y2=1上一动点,过点D分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,连 接BA并延长至点W,使得|WA|=1,点W的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若过点K(-2,0)的两条直线l1,l2分别交曲线C于M,N两点,且l1⊥l2,求证:直线MN过定点;(3)若曲线C交y轴正半轴于点S,直线x=x0与曲线C交于不同的两点G,H,直线SH,SG分别 交x轴于P,Q两点.请探究:在y轴上是否存在点R,使得∠ORP+∠ORQ= ?若存在,求出点R坐标;若不存在,请说明理由.
  解析    (1)设W(x,y),D(x0,y0),则A(x0,0),B(0,y0),由题意知|AB|=1(AB为矩形OADB的对角线,|AB|=|OD|=1),所以 = ,得(x0-x,-y)=(-x0,y0),所以 因为 + =1,所以 +y2=1,故曲线C的方程为 +y2=1.(2)证明:由题意可知,直线l1,l2与坐标轴不平行,则可设l1的方程为x=my-2,则直线l2的方程为x=- y-2.
由 消去x得(m2+4)y2-4my=0,解得y= 或y=0(舍去),所以x=m· -2= ,所以M ,同理可得N .当m≠±1时,直线MN的斜率存在,kMN= = = ,
则直线MN的方程为y=  ,所以直线MN过定点 .当m=±1时,直线MN斜率不存在,此时直线MN方程为x=- ,也过定点 .综上所述,直线MN过定点 .(3)假设存在点R,使得∠ORP+∠ORQ= ,设R(0,t),因为∠ORP+∠ORQ= ,所以∠ORQ=∠OPR,即tan∠ORQ=tan∠OPR,
所以 = ,所以|OR|2=|OP|·|OQ|,直线x=x0与曲线C交于不同的两点G、H,易知G、H关于x轴对称,设G(x0,y0),H(x0,-y0)(y0≠±1,y0≠0),易知点S(0,1),直线SG的方程是y= x+1.令y=0,得xP=- ,直线SH的方程是y= x+1,令y=0,得xQ= ,由|OR|2=|OP|·|OQ|,得t2= ,又G(x0,y0)在椭圆上,所以 + =1,所以t2=4,解得t=±2,所以存在点R(0,±2),使得∠ORP+∠ORQ= 成立.
方法总结    求轨迹方程的基本方法1.直接法如果动点运动的条件是一些几何量的等量关系,且条件简单明确,易于表述成含x,y的 等式,可直接求得动点的轨迹方程.2.定义法若动点的轨迹符合直线、圆或圆锥曲线的定义,则可以利用相关定义设出轨迹方程, 再求得参数值即可.3.相关点法第一步,设所求轨迹的点为M(x,y),曲线上的动点Q(x0,y0);