新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题一概率与函数综合问题课件

这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题一概率与函数综合问题课件，共12页。
类型一:函数和概率综合此类问题将函数的各类性质和随机事件的概率结合一起考查,以选择题或填空题形式 出现,多与古典概型或条件概率结合考查.
例1　若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,则“在函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有 交点的条件下❶,满足g(x)= 为偶函数❷的概率为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
  知识联想    由❶知二次函数的图象与x轴有交点,则Δ≥0,由❷联想偶函数的特点.
  解析    若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点,则Δ=a2-4b≥0,则满足该条件的(a,b)有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(3,1),(3,2),(2,1),共19个.g(x)= 为偶函数,定义域为{x|x≠0},只需h(x)=ax-b-x是奇函数,即h(-x)=a-x-bx=-(ax-b-x)=-h(x),所以a=b.(提示:y=(a+b)x为奇函数,所以若g(x)为偶函数,则必有h(x)=ax-b-x为奇 函数)则在上述19组数据中满足a=b的(a,b)有(6,6),(5,5),(4,4),共3个.所以所求概率P= .故选D.
例2　已知函数f(x)= ax3- bx2+x,抛掷两枚骰子得到的点数分别是a,b,则函数f '(x)在x=1处取得最值的概率是 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
  解析    f(x)为三次函数,则其导函数f '(x)为二次函数,故f '(x)在x= 处取得最值.因为f(x)= ax3- bx2+x,所以f '(x)=ax2-bx+1(a,b>0),其图象的对称轴为x= =1,即b=2a,抛掷两枚骰子得到的点数分别是a,b,记为(a,b),则情况有36个,而符合题意的为(1,2),(2,4), (3,6),则函数f '(x)在x=1处取得最值的概率为 = .故选C.
类型二:概率可用函数表示型此类问题常需根据题意列出某个事件发生的概率表达式,表达式中通常含有未知数, 此时可将概率表达式看作函数,通常会利用导数判断函数的单调性,进而确定概率的 最值等.
例3    (2024江西新余第一中学开学考,18)某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加 良好的服务,现对所入住的120名老年人征集意见,该公寓老年人的入住房间类型情况 如下表:
(1)若按入住房间的类型采用分层随机抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人, 再从这10人中随机抽取4人进行询问,记随机抽取的4人中入住单人间的人数为ξ,求ξ的 分布列和数学期望.(2)记双人间与三人间为多人间,若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人 间的m(m>2且m∈N*)人组成一组,负责人从某组中任选2人进行询问,若选出的2人入住 房间类型相同,则该组被标为Ⅰ,否则该组被标为Ⅱ.记询问的某组被标为Ⅱ的概率 为p.(i)试用含m的代数式表示p;(ii)若一共询问了5组,用g(p)表示恰有3组被标为Ⅱ的概率,试求g(p)的最大值及此时m的值.
  解析    (1)因为单人间、双人间、三人间入住人数之比为36∶60∶24,所以这10人中,入住单人间、双人间、三人间的人数分别为10× =3,10× =5,10× =2,所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,P(ξ=3)= = ,所以ξ的分布列为
E(ξ)=0× +1× +2× +3× = .(2)(i)从m+2人中任选2人,有 种选法,其中入住房间类型相同的有 + 种选法,所以询问的某组被标为Ⅱ的概率p=1- =1- = .(利用P(A)+P( )=1求解)(ii)由题意,知5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率g(p)= p3(1-p)2=10p3(1-2p+p2)=10(p3-2p4+p5),所以g'(p)=10(3p2-8p3+5p4)