新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题二概率与数列综合问题课件

这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题二概率与数列综合问题课件，共12页。

类型一:构造数列型这类问题通常具备第n次操作的结果会对第n+1次的操作产生影响的特征,例如“甲、 乙、丙三人相互传球,求若干次后球在甲手里的概率”,“第一代开红花或黄花,第n代 开红花的概率”等,可类比数列的递推公式,前一项的值会对后一项产生影响,故可参 考数列递推公式的解题方法.
例1    (2024山东新高考联合质量测评,17)某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的 植物,会开出粉红色或黄色的花.这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是 ,从第2代开始,若上一代开粉红色的花,则这一代开粉红色的花的概率是 ,开黄色花的概率是 ;若上一代开黄色的花,则这一代开粉红色的花的概率为 ,开黄色花的概率为 .设第n代开粉红色花的概率为Pn.(1)求第2代开黄色花的概率;(2)证明:  <2.
  解析    (1)设事件Ai表示第i代开粉红色花,事件Bi表示第i代开黄色花,由题意可得P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)·P(B2|B1)= × + × = ,所以第2代开黄色花的概率为 .(2)证明:由题可知P1= ,Pn= Pn-1+ (1-Pn-1),即Pn= Pn-1+ .(提示:联想递推关系为an=pan-1+q型数列求通项的方法)设Pn+λ= (Pn-1+λ),则Pn= Pn-1- λ,- λ= ,解得λ=- ,
即Pn- =  ,所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,则Pn- = × ,即Pn= + × .因此 = = - ,(提示:分母为两项相乘,考虑裂项)
则  = - + - +…+ - =2- <2,所以  <2.
类型二:等差或等比证明类这类题目通常在题干中给出一个明确的数列形式,要求根据已知条件进行数列的证 明,通常需要证明是等差或等比数列,解决此类问题需注意题干信息的提取和证明技 巧的使用.
例2    (2019课标Ⅰ理,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种 新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比 试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再 安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试 验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药 的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治 愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药 均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列.
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时, 最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a= P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
  解析    (1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为
(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)= p1.由于p8=1,故p1= ,