新高考数学一轮复习专题命题点9计数原理、概率与统计练习含答案

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计数原理作为高考的常考内容,可单独考查,也会与古典概型结合考查.概率与统计是高考考查的热点,各种题型均有涉及,通常以实际生活为背景命题.主要考查古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望、独立性检验等问题,同时注重概率与统计、概率与其他知识(如数列和函数)结合的综合问题.
命题方向:
1.二项式定理的应用,考查特定项的系数、系数和的性质等.
2.统计数据的分析,多以统计图表形式提供数据,并对数据的数字特征进行分析;统计数据的数字特征与回归分析,独立性检验等的综合.
3.计数原理、概率与统计等知识相结合,考查随机变量的分布列和均值、独立事件的概率、条件概率、二项分布和正态分布等.
4.统计与概率和函数、数列、不等式等内容结合,这有可能成为新的命题热点.
预测探究
识透高频考点
1.(2024重庆八中5月模拟,7)已知盘子A中有3颗糖,盘子B中有4颗糖,小琨每次随机从其中一个盘子中选择吃一颗糖,直到7颗糖全部吃完为止,则盘子A中的糖先吃完的概率为( C )
A.714 B.916 C.2132 D.4364
2.(多选)(2024广东佛山质检(二),11)在一个有限样本空间中,假设P(A)=P(B)=P(C)=13,且A与B相互独立,A与C互斥,则(BCD)
A.P(A∪B)=23
B.P(C|A)=2P(A|C)
C.P(C|AB)=1
D.若P(C|B)+P(C|B)=12,则B与C互斥
3.(2024山东省实验中学模拟,12)已知(ax-2)1+1x4的展开式中常数项为-2,则实数a的值为 0 .
4.(2024广东深圳二模,17)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产,质检人员抽样发现:甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%;乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%;若将这两批零件混合放在一起,则合格品率为97%.
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个,用频率估计概率,记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A=“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件B=“该大型企业把零件交给甲工厂生产”,已知0P(A|B).
基础知识运用 离散型随机变量的分布列和数学期望;条件概率公式
解析 (1)设甲工厂试生产的这批零件有m件,乙工厂试生产的这批零件有n件,
事件M=“混合放在一起零件来自甲工厂”,事件N=“混合放在一起零件来自乙工厂”,事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”,
则P(M)=mm+n,P(N)=nm+n,
P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94%×mm+n+98%×nm+n=97%,计算得3m=n.
所以P(M)=mm+n=14.
X的可能取值为0,1,2,3,X~B3,14,
P(X=0)=C30140343=2764,
P(X=1)=C31141342=2764,
P(X=2)=C32142341=964,
P(X=3)=C33143340=164.
所以X的分布列为
数学期望E(X)=3×14=34.
(2)证明:因为在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,所以P(B|A)>P(B|A),即P(AB)P(A)>P(AB)P(A).
因为P(A)>0,P(A)>0,
所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).
因为P(A)=1-P(A),P(AB)=P(B)-P(AB),
所以P(AB)(1-P(A))>(P(B)-P(AB))P(A),
即P(AB)>P(A)P(B),
所以P(AB)-P(AB)P(B)>P(A)P(B)-P(AB)P(B),
即P(AB)(1-P(B))>P(B)(P(A)-P(AB)).
又因为1-P(B)=P(B),P(A)-P(AB)=P(AB),
所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).
因为0P(AB)P(B).
即得证P(A|B)>P(A|B).
5.(2024湖南长沙长郡中学适应性测试(四),16)为了研究学生每天整理数学错题情况,某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生,调查他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况,并绘制了两个统计图,图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀,将一个星期内有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”,少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中,经常整理错题的学生占70%.

(1)求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数;
(2)根据图1、图2中的数据,补全上方2×2列联表,并根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
(3)用频率估计概率,在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层随机抽样,随机抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.
附: χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
综合知识考查 统计图表;独立性检验;分布列和数学期望
解析 (1)由题意可得(0.002 5+0.005+0.017 5+m+0.01)×20=1,解得m=0.015,
因为(0.002 5+0.005+0.017 5)×20=0.5,(0.002 5+0.005+0.017 5+0.015)×20=0.8,所以学生期中考试数学成绩的上四分位数在区间[110,130)内,所以学生期中考试数学成绩的上四分位数为110+20×0.75−分.
(2)数学成绩优秀的有100×50%=50人,不优秀的有100×50%=50人,经常整理错题的有100×(40%+20%)=60人,不经常整理错题的有100-60=40人,经常整理错题且成绩优秀的有50×70%=35人,则2×2列联表为
零假设为H0:数学成绩优秀与经常整理数学错题无关,
χ2=100×(35×25−15×25)250×50×60×40=256>3.841=x0.05,
根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.
(3)由分层随机抽样知,随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人,不经常整理错题的有2人,则X的可能取值为0,1,2,经常整理错题的3名学生中,恰抽到k人记为事件Ak(k=0,1,2),则P(Ak)=C3k·C22−kC52(k=0,1,2),
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件Bm(m=0,1,2),
则P(B0|A0)=1,P(B0|A1)=512,P(B0|A2)=5122=25144,P(B1|A1)=712,P(B1|A2)=C21×512×712=3572,
P(B2|A2)=7122=49144,
P(X=0)=P(A0)·P(B0|A0)+P(A1)·P(B0|A1)+P(A2)·P(B0|A2)=C22C52×1+C31C21C52×512+C32C52×25144=193480,
P(X=1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=C31C21C52×712+C32C52×3572=238480,
P(X=2)=P(A2) ·P(B2|A2)=C32C52×49144=49480,
故X的分布列如下:
所以E(X)=0×193480+1×238480+2×49480=0.7.
悟透新型考法
(2024河北邯郸三模,17)2021年教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出,中小学校要保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间,每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有40%的人满分,而该校有20%的学生每天运动时间超过两个小时,这些人体育项目测试满分率为50%.
(1)从该校随机抽取三人,三人中体育项目测试相互独立,求三人中满分人数的分布列和期望;
(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生,求他体育项目测试满分的概率;
(3)体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练,每次传球,传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,第1次由甲将球传出,求第n次传球后球在乙手中的概率.
创新考法 概率与数列相结合
解析 (1)从该校随机抽取三人,每个人满分的概率为40%.设抽取的三人中满分人数为X,则X=0,1,2,3.
则P(X=0)=1−253=27125,
P(X=1)=C3125352=54125,
P(X=2)=C3225235=36125,
P(X=3)=C33253=8125,
则X的分布列为
因为X~B3,25,
所以数学期望E(X)=3×25=65.
(2)用A表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”,则P(A)=20%,P(A)=1-20%=80%.
用B表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”,
则P(B)=40%,P(B|A)=50%.
又P(AB)=P(A)P(B|A)=20%×50%=10%,
P(B)=P(AB)+P(AB)=10%+P(AB)=40%,
故P(AB)=30%.P(B|A)=P(AB)P(A)=30%80%=38.
(3)记An表示事件“经过n次传球后,球在乙的手中”,
设n次传球后球在乙手中的概率为pn,n∈N*,
则有p1=12,An+1=AnAn+1+AnAn+1,
所以pn+1=P(AnAn+1+AnAn+1)
=P(AnAn+1)+P(AnAn+1)
=P(An)P(An+1|An)+P(An)P(An+1|An)
=(1-pn)·12+pn·0
=12(1-pn),
即pn+1=-12pn+12,n∈N*,
所以pn+1-13=-12pn−13,且p1-13=16,
所以pn−13是以16为首项,-12为公比的等比数列,
所以pn-13=16×−12n−1,
所以pn=16×−12n−1+13=131−−12n.
即n次传球后球在乙手中的概率是131−−12n.
参透创新情境
(2024湖北武汉武昌5月质检,19)利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数,例如将0.3·1·化为分数的方法如下:设0.3·1·=x,则31.3·1·=100x,即31+x=100x,解得0.3·1·=3199.这是一种利用方程求解具有无限过程问题的方法,该方法在高中阶段计算无限概率、无限期望问题时都有妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜m局指的是一方比另一方多胜m局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率.
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜i(i=-3,-2,-1,0,1,2,3)局,设甲在净胜i局时,继续比赛甲获胜的概率为Pi,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为Xi,期望为E(Xi).
(i)求甲获胜的概率P0;
(ii)求E(X0).
创新情境 利用无限过程的方程求解思想,解决题设问题
解析 (1)若4局结束比赛时甲获胜,则在前2局甲、乙各胜一局,并且第3,4局甲胜.概率为C21×23×13×232=1681;
若4局结束比赛时乙获胜,则在前2局甲、乙各胜一局,并且第3,4局乙胜.概率为C21×23×13×132=481.
所以恰好4局结束比赛的概率为1681+481=2081.
(2)(i)在甲净胜-2局的前提下,继续比赛一局:
若甲赢,则甲的状态变为净胜-1局,继续比赛获胜的概率为P-1;
若甲输,则甲的状态变为净胜-3局,比赛结束.
根据全概率公式,得P-2=23P-1.
同理P-1=23P0+13P-2,P0=23P1+13P-1,P1=23P2+13P0,P2=23+13P1,
联立解得P0=89,即甲获胜的概率为89.
(ii)在甲净胜-2局的前提下,继续比赛一局:
若甲赢,则甲的状态变为净胜-1局,继续比赛至结束,还需要E(X-1)局,共进行了E(X-1)+1局;
若甲输,则甲的状态变为净胜-3局,比赛结束,共进行了1局,
所以E(X-2)=23[E(X-1)+1]+13×1,
同理E(X-1)=23[E(X0)+1]+13×[E(X-2)+1],
E(X0)=23[E(X1)+1]+13×[E(X-1)+1],
E(X1)=23[E(X2)+1]+13×[E(X0)+1],
E(X2)=23×1+13×[E(X1)+1],
联立解得E(X0)=7.X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
整理错题情况
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
整理错题情况
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100
X
0
1
2
P
193480
238480
49480
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125