第05讲 一元二次不等式及其应用（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
1.一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为.
= 2 \* GB3 ②若，解集为.
= 3 \* GB3 ③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
2.分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3.绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【常用结论】
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
二、题型分类精讲
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
策略方法 解一元二次不等式的四个步骤
【典例1】函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】不等式的解集为（ ）
A．B．C．或D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
2．（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（陕西省榆林市2023届高三三模数学试题）若椭圆的焦距大于，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．不等式的解集为______．
5．不等式的解集为______．
6．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
策略方法 解含参不等式的分类讨论依据
【典例1】关于x的不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（辽宁省丹东市2023届高三总复习质量测试（一）数学试题）已知集合，，若且，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题）若集合，集合，满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
3．已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是______．
4．（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）设，若是的充分条件，求实数的取值范围是___________.
三、解答题
5．解下列关于的不等式：．
6．解下列关于的不等式．
7．解下列关于的不等式．
题型三 一元二次不等式综合应用
策略方法 一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路
1．牢记二次函数的基本性质．
2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
【典例1】若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．
【典例2】关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（北京市第一0一中学2023届高三下学期数学统练三试题）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
2．（山东省山东师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
3．已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
4．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
7．已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．1D．
二、填空题
8．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为______．
9．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是___________.
10．（上海市宝山区2023届高三二模数学试题）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．
11．（福建省大田县第一中学2022届高三上学期期中考试数学试题）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.
12．方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
13．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
题型四 分式不等式与绝对值不等式的解法
策略方法 绝对值不等式和分式不等式解法
1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2．根式不等式绝对值不等式分类讨论或用几何意义或者平方处理．
【典例1】不等式的解集为（ ）
A．B．C． D．
【典例2】不等式的解集为（ ）
A．RB．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（新疆维吾尔自治区部分学校2023届高三二模数学（理）试题）集合，，记，则（ ）
A．B．C．D．
3．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（浙江省宁波市2023届高三下学期4月模拟（二模）数学试题）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（内蒙古赤峰市赤峰二中等校2023届高三下学期二轮复习联考（一）理科数学试题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
6．设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
二、填空题
7．（上海市徐汇区2023届高三二模数学试题）命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.
8．设函数是定义在R上的以3为周期的奇函数，若，，则a的取值范围是______．
9．已知不等式的解集为，则不等式的解集为______________．
10．（上海市进才中学2023届高三下学期3月月考数学试题）已知集合，集合.如果，则实数的取值范围是___________.
11．不等式的解集是_______．
①不含参数的一元二次不等式的解法
②含参数的一元二次不等式的解法
③一元二次不等式综合应用
④分式不等式与绝对值不等式的解法