第06讲 函数的概念及其表示（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
1.函数的概念
(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
4.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
二、题型分类精讲
题型一 给出函数解析式求解定义域
策略方法 已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【题型训练】
一、单选题
1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A． 与B．与
C． 与D． 与
2．函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．函数的定义域是__________.
4．函数的定义域是_________．
三、解答题
5．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
6．已知函数的定义域为M，
（1）求M；
（2）当时，求的最小值．
题型二 抽象函数定义域的求法
策略方法 抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【题型训练】
一、单选题
1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．若已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为；问实数m的值为______．
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域___________.
三、解答题
6．已知函数的定义域为.
(1)求的定义域；
(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围.
7．已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
题型三 函数值域的求法
策略方法 函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
【典例1】试求下列函数的值域.
(1)， (2)
(3) (4)
【题型训练】
一、解答题
1．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝； (4)y＝x＋．
二、单选题
2．函数，，则的值域是（ ）
A．B．C．D．
3．下列四个函数：① ；②；③ ；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．，
C．，D．
三、多选题
5．已知函数，则（ ）．
A．的值域是B．的定义域为
C．D．
6．下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
四、填空题
7．函数的值域为__________.（结果用区间表示）
8．函数的值域为________.
题型四 函数解析式的求法
策略方法 函数解析式的常见求法
【典例1】（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
（2）若对任意实数x，均有，求的解析式．
【典例2】（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2．一次函数满足，且，则的解析式为（ ）
A．B．C． D．
3．已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（ ）
A．0B．1C．D．
4．设是定义域为R的单调函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．已知函数，则__________．
6．已知，则的值域为______.
7．设定义在上的函数满足，则___________.
三、解答题
8．在①，②，③对任意实数x，y，均有这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数满足 ，求的解析式.
9．求下列函数的解析式
(1)若，求的表达式．
(2)已知，求的表达式．
(3)已知是二次函数,且满足,求.
题型五 分段函数的应用
策略方法
1．分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
【典例1】已知
(1)求
(2)若，求实数的值
【题型训练】
一、单选题
1．设则（ ）
A．B．1C．2D．4
2．函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若，则实数的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
4．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若，则的值是2
6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有（ ）
A．函数的值域为B．
C．D．，都有
三、填空题
7．已知函数若，则实数的值为______.
8．定义在上的函数满足，则______.
9．已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
①给出函数解析式求解定义域
②抽象函数定义域的求法
③函数值域的求法
④函数解析式的求法
⑤分段函数的应用