第17讲 任意角和弧度制及三角函数的概念（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
记忆口诀 INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET :三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、题型分类精讲
题型一 象限角和终边相同的角
策略方法
1．象限角的两种判断方法
2．求eq \f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步骤
(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示．
(2)两边同除以n或乘以n．
(3)对k进行讨论，得到eq \f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．
【典例1】下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据终边相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分别判断各选项，可得答案.
【详解】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确；
对于C，因为与是终边相同的角，
故与角的终边相同的角可表示为，C正确；
对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误，
故选：C
【典例2】已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．
【详解】因为角第二象限角，所以，
所以，
当是偶数时，设，则，
此时为第一象限角；
当是奇数时，设，则，
此时为第三象限角.；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为，所以，所以为第三象限角．
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列各角中与角的终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出与角的终边相同的角为，选出正确答案.
【详解】与角的终边相同的角为，
当时，，B正确；
经验证，其他三个选项均不合要求.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）若角是第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
【答案】C
【分析】根据题意得，分为偶数和奇数求解即可.
【详解】因为是第三象限角，所以，
所以，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角.
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据若终边相同，则求解.
【详解】解：
，由图知，
角的取值集合为:
故选：D.
【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知角θ在第二象限，且，则角在（ ）
A．第一象限或第三象限
B．第二象限或第四象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】由题可得角在第一或第三象限，再结合三角函数值的符号即得.
【详解】∵角θ是第二象限角，
∴θ∈，
∴，，
∴角在第一或第三象限，
∵，∴，
∴角在第三象限.故选：C.
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（ ）
A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度
B．
C．若，，则为第二象限角
D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角
【答案】CD
【分析】对于A，利用正负角的定义判断；对于B，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C，由求出的范围，由求出的范围，然后求交集即可；对于D，由是第二象限角，可得，，然后求的范围可得答案
【详解】对于，经过30分钟，钟表的分针转过弧度，不是弧度，所以错；
对于，化成弧度是，所以错误；
对于，由，可得为第一、第二及轴正半轴上的角；
由，可得为第二、第三及轴负半轴上的角.
取交集可得是第二象限角，故正确；
对于：若是第二象限角，所以，则，
当时，则，所以为第一象限的角，
当时，，所以为第三象限的角，
综上，为第一或第三象限角，故选项正确.
故选：CD.
6．（2023·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可.
【详解】根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
故选：BD.
题型二 扇形弧长和面积公式
策略方法 有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【典例1】已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，弧长为,所在圆的半径为．
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)若，，求扇形的半径和圆心角．
【答案】(1)
(2)扇形半径为4，圆心角为
【分析】（1）直接用扇形的弧长公式求解；
（2）根据条件列方程组可得弧长和半径，进而可得圆心角.
【详解】（1）由已知得；
（2）由已知得，解得
，
即扇形的半径为4，圆心角为.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知扇形半径为3，圆心角为120°，则此扇形围成的圆锥体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求扇形的弧长，进而求出圆锥底面圆的半径与高，即可求出体积.
【详解】因为扇形半径为3，圆心角为120°，所以弧长为：.
所以圆锥底面圆的半径为，母线长为，因此高为.
所以圆锥的体积为.
故选：A
2．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.
【详解】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.
故选：A.
3．（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（ ）
A．4B．C．2D．1
【答案】C
【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式将用表示，再根据扇形的弧长和周长公式结合基本不等式即可得解.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，
则，所以，
则扇形的周长为，
当且仅当，即时，取等号，此时，
所以周长最小时半径的值为.故选：C.
4．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.
【详解】设圆心角，，，
所以，，
所以．
故选：B.
二、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．
【答案】3π
【分析】化角度为弧度，由弧长求得半径，再由扇形面积公式计算．
【详解】∵120°＝，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知一圆锥侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的表面积为______
【答案】
【分析】设该圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据扇形的面积和弧长公式求解即可.
【详解】设该圆锥的母线长为l，底面半径为r，则，解得，
所以该圆锥的表面积，
故答案为：.
7．（2023·全国·高三专题练习）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________.
【答案】
【分析】设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，圆的半径为，根据扇形的面积公式得到方程，解得即可.
【详解】解：设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，圆的半径为，
则，，
因为，即，即，
所以.
故答案为：
题型三 三角函数的定义
策略方法 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
【典例1】设，角的终边经过点，则的值等于（ ）
A．B．－C．D．－
【答案】B
【分析】求出，再用三角函数的定义分别求出的值，可得答案.
【详解】.
由三角函数的定义：，
当时，，
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得，进而由二倍角公式即可求解.
【详解】由题意可知 ，所以，
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数特殊值求出点的坐标，由正弦函数定义即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以终边经过的点为，
所以终边在第四象限，所以.
故选：B.
3．（2023·河南开封·统考三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义先解得，再求正切值即可.
【详解】由三角函数定义可知：，又α是第二象限角，
故，所以.
故选：B
4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在终边上取一点，由任意角的三角函数的定义求解即可.
【详解】直线过原点，经过第二象限与第四象限，
①若角的终边在第二象限，在终边上取一点，由任意角的三角函数定义，
，，
；
②若角的终边在第四象限，在终边上取一点，由任意角的三角函数定义，
，，
.
综上所述，.
故选：A.
5．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知角的终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据终边上一点求出角的正切，再结合二倍角正弦公式，余弦公式，化简求值即可.
【详解】因为角的终边在直线上，故，
所以.
故选：A.
二、多选题
6．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】BC
【分析】根据三角函数的定义及已知列方程求参数x即可.
【详解】由题设，故，整理得，
所以或.
故选：BC
7．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案.
【详解】角的终边与单位圆交于点，
，，，
当时，；
当时，．
故选：AC.
三、填空题
8．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知角终边经过点，且，则的值为_________．
【答案】/
【分析】根据终边所过点和任意角三角函数定义直接求解即可.
【详解】，，.
故答案为：.
题型四 判断三角函数值的符号
策略方法 三角函数值的符号判断
已知一角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【典例1】若，，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限.
【详解】由，，得，，所以是第四象限角.
故选:D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列三角函数值为正值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合诱导公式、二倍角公式判断出正确选项.
【详解】，所以C选项正确.
当时，，所以ABD选项错误.
故选：C
2．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限.
【详解】因为点在第三象限，所以，，
所以的终边在第四象限.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】由为第二象限的点确定与的符号，再由与的符号确定的终边所在象限即可.
【详解】∵点是第二象限的点，
∴，，
由可得，的终边位于第二象限或第三象限或轴的非正半轴；
由可得，的终边位于第一象限或第三象限，
综上所述，的终边位于第三象限.
故选：C.
4．（2023·全国·校联考模拟预测）是第一象限角或第二象限角，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由题可得时的范围，再根据充分必要条件的概念即得．
【详解】由，可得是第一象限角或第二象限角或终边在轴非负半轴，
所以由推不出，而由是第一象限角或第二象限角，可得，
所以由可推出，
所以是的必要不充分条件．
故选：B．
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是第二象限角，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.
【详解】因为是第二象限角，所以，，
进而硧定，.
所以点在第四象限.故选：D
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】首先确定在第二象限，得到，即得解.
【详解】解：因为角终边经过点，所以在第二象限，
所以，
如果，所以，所以选项A不满足题意；
；；，故CD正确.
故选：CD
①象限角和终边相同的角
②扇形弧长和面积公式
③三角函数的定义
④判断三角函数值的符号
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
图象法
在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法
先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角