第20练 三角函数的图像与性质（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．下列函数中，在上递增的偶函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质判断即可.
【详解】对于A：为奇函数，故A错误；
对于B：为奇函数，故B错误；
对于C：为偶函数，但是函数在上单调递减，故C错误；
对于D：，则，故为偶函数，
且时，函数在上单调递增，故D正确；
故选：D
2．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式化简函数解析式，结合余弦函数的周期公式求其周期.
【详解】因为，
所以函数的最小正周期.
故选：D.
3．求函数的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简，从而求得的最大值.
【详解】
所以，当时取得最大值为.
故选：A
4．若函数的最大值为 ，则a的值等于（ ）
A．2B． C．0D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】由于，所以时，取最大值，故 ，所以，
故选：D
5．若，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得在的取值范围，进而得到的大小顺序.
【详解】当时，，，
则，则
故选：C
6．设，则的一个可能值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据辅助角公式以及三角函数的性质可得，进而可求解.
【详解】由于，又，所以，
所以，所以，
，
故选：B
7．函数零点的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】画出函数和的图象，根据函数图象得到答案.
【详解】画出函数和的图象，其中，如图,
由图可知，
当时，，两函数图象没有交点；
当时，两函数图象有3个交点；
当时，，两函数图象没有交点，
综上，函数和的图象有3个交点，
所以，函数零点的个数为3．
故选：C.
8．若，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解，，再求解交集即可.
【详解】由，可得或；由，可得．
综上，的取值范围是．
故选：B.
9．已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】确定，变换得到，解得答案.
【详解】角为斜三角形的内角，则，
，即，故.
故选：D.
10．当时，的最小值为（ ）
A．5B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】令，由，可得，利用基本不等式求解即可.
【详解】令，由，可得，
所以，当且仅当时，即时取等.
故选：B.
二、多选题
11．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据诱导公式和正余弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】A中，因为，，由在单调递增，所以，所以A正确；
B中，因为，，显然，即，所以B正确：
C中，，，故，所以C错误；
D中，因为，在内单调递增，所以，所以D正确；
故选：ABD．
12．函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．的值域为
D．的值域为
【答案】BC
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，然后根据性质分别分析即可.
【详解】
，
所以，
所以A不正确;
由，
所以B正确;
因为，
所以，
所以的值域为，
所以C正确，D不正确，
故选：BC.
13．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．的图象是轴对称图形
D．的图象是中心对称图形
【答案】BC
【分析】对选项A，根据为的周期，故A错误，对选项B，时，，再结合周期即可判断B正确，对选项C，根据为偶函数，即可判断C正确，对选项D，根据的值域为，即可判断D错误.
【详解】对选项A，，
所以为的周期，故A错误.
对选项B， 当时，，
因为，所以，即.
因为为的周期，所以的值域为，故B正确.
对选项C，函数的定义域为R，
，
所以为偶函数，关于轴对称，即的图象是轴对称图形，故C正确.
对选项D，因为的值域为，所以的图象不是中心对称图形，
故D错误.
故选：BC
三、填空题
14．函数的最小值是___________.
【答案】
【分析】根据三角函数的有界性求出最小值.
【详解】当，时，即，时，取得最小值为，此时取得最小值为1
故答案为：1
15．函数在上的值域为______．
【答案】
【分析】根据给定区间，求出函数相位的范围，再利用正弦函数性质求解作答.
【详解】，则，于是，
所以所求值域为.
故答案为：
16．函数的定义域为__________．
【答案】
【分析】求出的解后可得函数的定义域.
【详解】由题设可得，故，
故函数的定义域为.
故答案为：.
17．函数的最大值为_________________
【答案】
【分析】化简函数解析式，结合换元法、二次函数的性质求得函数的最大值.
【详解】函数，令，，
则，，所以当时，函数取得最大值为.
故答案为：.
18．求f(x)=的定义域___________.
【答案】
【解析】将定义域问题转化为求，然后将看成一个整体，利用余弦函数的图象即可得到关于的不等式组，求解即可得到函数的定义域.
【详解】解：要使函数有意义，则,即，
由余弦函数的图象得，，
解得，，
故函数的定义域是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用余弦函数的图象解三角不等式，利用三角函数的图象求解关于的正余弦，正切的不等式，是十分重要的，一般的将看做一个整体，利用函数的图象与直线，利用数形结合方法求解.当然，本题还可以利用诱导公式转化为关于正弦的不等式求解，但此处采用一种通性通法来求解，更具有一般性.
19．函数的值域为__________．
【答案】
【分析】用余弦的二倍角公式转化为二次函数求值域.
【详解】因为，
又，所以，则，
即函数的值域为.
故答案为：.
20．满足且的x的取值范围为__________________.
【答案】
【分析】首先分别求出两个不等式的解，之后取公共部分即可得结果.
【详解】由可得，
由可得，
取公共部分得，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关三角形函数的问题，涉及到的知识点有已知三角函数的取值范围求角的范围，属于基础题目.
21．函数的值域是______．
【答案】
【分析】由题可得，然后结合正弦函数的值域即得.
【详解】∵，
所以时，，当时，，
所以函数的值域是.
故答案为：.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列函数中，不是周期函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦函数的性质可判断A的正误，利用二倍角公式结合正弦函数的性质可判断B的正误，利用周期函数的定义可判断C的正误，利用反证法可判断D的正误.
【详解】对于选项A：
，故其最小正周期为，故A正确.
对于选项B：
，
所以最小正周期为；
对于选项C：
,
则，
所以是周期函数；
对于选项D：
，假设函数是周期函数，
因为当时，，由正弦函数的性质可得的最小正周期为，
但，
这与的最小正周期为矛盾，故不是周期函数，故D错误.
故选：D.
2．函数在的最大值是（ ）
A．2B．0C．1D．
【答案】C
【分析】由已知可得.根据的范围以及余弦函数的单调性，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，所以.
又在上单调递减，
所以，当，即时，函数取得最大值.
故选：C.
3．已知，若恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若恒成立，即，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，求出，此时，则，由诱导公式即可得出答案.
【详解】，
其中，，所以当时，.
若恒成立，则，
此时，则，即，
.
故选：A.
二、多选题
4．已知向量，则（ ）
A．若，则B．的最小值为
C．可能成立D．的最大值为3
【答案】BC
【分析】根据向量的数量积公式即可判断选项A、B；当时，则有判断选项C；将转化为三角函数的最值问题即可求解，判断选项D.
【详解】对于A，若，则．又，故A错误；．
对于B，，又，当时，，，故B正确；
对于C，由选项B可知，当时，，则，故C正确；
对于D，，
当时，，，故D错误.
故选：BC．
5．已知，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．关于轴对称
C．关于中心对称D．的值域为
【答案】AB
【分析】根据函数的周期性，对称性逐项检验即可判断ABC，利用正余弦函数的性质可判断D．
【详解】A中，因为，所以，所以A正确；
B中，由A可得，，所以，所以可得是函数的对称轴，所以B正确；
C中，因为，而，所以对称轴为，所以C不正确；
D中，因为，所以，所以D不正确，
故选：AB．
三、填空题
6．函数的最大值为____________．
【答案】
【分析】根据两角和与差的正余弦公式展开，即可得出，即可得出答案.
【详解】因为，
，
所以，.
所以，当，即时，
函数有最大值为.
故答案为：.
7．函数的最大值为__________．
【答案】/
【分析】首先求得，设，，得出的单调区间，即可得出最大值．
【详解】，
设，，
令，得或，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上，单调递增，
又因为，，
所以的最大值为，
故答案为：．
8．方程的解的个数是________．
【答案】7
【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出和的图象，找出两函数图象交点个数即可.
【详解】由正弦函数值域可得，
又因为当时，；
所以，分别画出和在上的图象如下图所示：

根据图像并根据其对称性可知，在上两函数图象共有7个交点；
由函数与方程可知，方程有7个解.
故答案为：7
9．对于函数，给出下列四个命题：
①该函数的值域为；
②当且仅当时，该函数取得最大值1；
③该函数是以为最小正周期的周期函数；
④当且仅当时，.
上述命题中，假命题的序号是______.
【答案】①②
【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，
对于③，当时，，
当时，，所以，函数为周期函数，
作出函数的图象（图中实线）如下图所示：

结合图形可知，函数的最小正周期为，③对；
对于①，由图可知，函数的值域为，①错；
对于②，由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值，②错；
对于④，由图可知，当且仅当时，，④对.
故答案为：①②.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．函数的所有零点之和为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】令两个解为零点，将零点问题转换成，两个函数的交点问题，作图即可求出零点，且和的图象关于对称，零点也关于，即可求出所有零点之和.
【详解】令，得，解得或，即为零点，
令，，
的周期，对称轴，且的对称轴，
做出和的图象如图所示：
显然，在和上各存在一个零点，
，，在(4,5)上两函数必存在一个交点，
在上有两个零点，同理在上存在两个零点，
所以在上存在6个零点，
因为和关于对称，则零点关于对称，
所以的所有零点之和为.
故选：C
2．已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（ ）
A．1B．－1C．0D．1或－1
【答案】B
【分析】根据题意令分析可得关于t的方程有两个不相等的实根，结合韦达定理可得，分类讨论的分布，结合正弦函数分析判断.
【详解】令，
令，则，即，
∵，
则关于t的方程有两个不相等的实根，设为，令，
可得，则有：
1.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，无实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
2.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：无实数根，在内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
3.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有两个不相等的实数根，
故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；
4.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有且仅有一个实数根，
①对任意正奇数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
②对任意正偶数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
5.若， 即和，
结合正弦函数图象可知：在内有且仅有一个实数根，在内有两个不相等的实数根，
①对任意正奇数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，符合题意；
②对任意正偶数n，在内有个零点，
由题意可得，解得，不合题意；
综上所述：当，时，符合题意.
此时，解得.
故选：B.
二、填空题
3．已知函数．给出下列四个结论：
①的最小正周期是；
②的一条对称轴方程为；
③若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则；
④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】②③
【分析】画出函数图像，可判断①②，对于③，转化为与在上交点问题，数形结合得到5个根的对称性，从而得到答案；对于④，时，单调递增，且，从而判断出存在实数a，使得对任意，只有一个，满足要求.
【详解】的图象如下：
对于①，的最小正周期是，①错误；
对于②，的一条对称轴方程为，②正确；
对于③，画出图象，与在上有5个交点，这5个交点即为函数在区间上有5个零点，
从小到大依次记为，且关于对称，关于对称，关于对称，关于对称，
则，
故，③正确；
对于④，时，单调递增，且，
对任意，，由对勾函数性质可知在上单调递增，
故，
由单调性可知存在实数a，使得对任意，只有一个，满足，④错误.
故答案为：②③
4．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是___________
【答案】
【详解】根据题意，作出函数图像，
不妨设，
如图,根据三角函数的对称性得与关于对称，
所以，
另一方面,，即
所以，
故答案为：.