第25讲 解三角形（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、正余弦定理和面积公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在中，内角成等差数列.
三、解三角形的实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【常用结论】
1.解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
二、题型分类精讲
题型一 正弦、余弦定理的应用
策略方法 正余弦定理解三角形
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可先求出角C及b，再求出c．
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccs A，先求出a，再求出角B，C．
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)可求出c，而通过eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
【典例1】（单选题）的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
【典例2】（单选题）在中，角、、的对边分别为、、．若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（单选题）在中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则最大角和最小角之和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）设△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4B．6C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（ ）
A．B．1C．D．
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A．B．C．8D．4
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，下列命题中，正确的是（ ）
A．在△ABC中，若sin A=sin B，则A=B
B．在△ABC中，若BC=5，sin C=2sin A，则AB=25
C．在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则a=b
D．在△ABC中，asinA=b+csinB+sinC
三、填空题
11．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则___________．
12．（2023·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别为A，b，c，若，则__________．
13．（2023·上海嘉定·校考三模）在中，已知，则角的大小为__________.
14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在中，它的内角的对边分别为，若，则_________．
15．（2023·陕西西安·统考一模）在中，，则___________.
16．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图，在中，若，D为边上一点，，，，则__________．

四、解答题
17．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若， ，求BC边上高的长.
18．（2023·广东东莞·校考三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
20．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知
(1)求角的大小；
(2)若，，求边及的值．
题型二 解三角形面积问题
策略方法
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【典例1】（单选题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在中，，且，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ）
A．B．5C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A．4B．C．8D．
4．（2023·河南开封·统考三模）在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝2c，，则a=（ ）
A．13B．2C．D．
6．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在中，，则边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．16
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）（多选）分别为内角的对边，已知，且，则（ ）
A．B．
C．的周长为D．的面积为
9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，，则
D．若，则的面积的最小值为
三、填空题
10．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.
11．（2023·北京海淀·北航实验学校校考三模）已知中，，且，则的面积是________．
12．（2023·北京东城·统考模拟预测）在中，，，，则______.
13．（2023·全国·高三专题练习）的内角的对边分别为，若，，外接圆的周长为，则的面积为______．
14．（2023·全国·高三专题练习）在中，，D为BC边上的中点且AD＝4，则面积的最大值为______．
四、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
16．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求B；
(2)D为AC的中点，,求的面积.
17．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
18．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且.
(1)求角；
(2)若的中线长为，求面积的最大值.
题型三 判断三角形形状
策略方法
1．判定三角形形状的两种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【典例1】（单选题）中，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在中，若，则一定是（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
2．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
3．（2023·高三课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
5．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
6．（2023·青海西宁·统考二模）在和中，若，，则（ ）
A．与均是锐角三角形
B．与均是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
二、多选题
7．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，，则为等边三角形
D．若，，，则有两解
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）对于，有如下四个命题:
①若 ，则为等腰三角形，
②若，则是直角三角形
③若，则是钝角三角形
④若，则是等边三角形.
其中正确的命题序号是_________
四、解答题
10．（2023·上海虹口·统考一模）设的内角 所对的边分别为 ，已知．
(1)求角A；
(2)若，求证：是直角三角形．
11．（2023·全国·高三专题练习）在中，．
(1)若，判断的形状；
(2)求的最大值．
题型四 解三角形与三角函数综合
【典例1】已知函数，为奇函数，其图像相邻的对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式及其减区间；
(2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，若，，，求．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
4．（2023·全国·高三专题练习）锐角中，，角A的角平分线交于点， ,则 的取值范围为_________.
三、解答题
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
8．（2023·陕西榆林·统考三模）已知分别为的内角所对的边，，且．
(1)求；
(2)求的取值范围．
9．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
10．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
题型五 解三角形的实际应用
策略方法 解三角形的实际应用
【典例1】（单选题）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（ ）

A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东方向上的点D处，在A点测得塔顶C的仰角为，在A的正东方向且距D点30m的B点测得塔底位于西偏北方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（，）（ ）

A．17.32mB．14.14mC．10.98mD．6.21m
2．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57米.塔身八面，每面雕有一佛胁侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进64米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若，则该八角观音塔的高AB约为（ ）（）

A．63米B．61米C．57米D．54米
4．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及， 则M，N间的距离为（ ）

A．B．120mC．D．200m
5．（2023·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．20mB．30mC． mD． m
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．A、D之间的距离为海里
C．A、B两处岛屿间的距离为海里
D．B、D之间的距离为海里
7．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A．B．的面积为
C．D．点在点的北偏西方向上
三、填空题
8．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高_________m．

9．（2023·江西·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

10．（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.
四、解答题
11．（2023·河北沧州·统考三模）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得，，，，，在点C测得塔顶A的仰角为.参考数据：取，，.

(1)求；
(2)求塔高（结果精确到1m）.
12．（2023·全国·高三专题练习）为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
13．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长
①正弦、余弦定理的应用
②解三角形面积问题
③判断三角形形状
④解三角形与三角函数综合
⑤解三角形的实际应用
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解