第28练 等差数列（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
3．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
4．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
5．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
6．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
二、填空题
7．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
三、解答题
8．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
9．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
10．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
11．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
12．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
13．（2021·全国·统考高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
14．（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）等差数列满足，，则该等差数列的公差（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据等差中项公式与通项公式即可求解.
【详解】依题意，
因为是等差数列，且，，
故，解得，
则，解得.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解.
【详解】设公差为，
则有整理得，
又由可得，
所以解得，
故选:B.
3．（2023·四川成都·石室中学校考三模）设是等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】B
【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】设该等差数列的公差为，
因为是等差数列的前项和，
所以由，，可得，
所以，
故选：B
4．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知等差数列满足，，则（ ）
A．25B．35C．40D．50
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可.
【详解】设等差数列的公差为.
由，得，即①；
由，得，②；
由①②得，
则.
故选：A.
5．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．63B．92C．117D．145
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，然后再求即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由已知得，
解得，
.
故选：B.
6．（2023·辽宁鞍山·统考二模）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即：子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．壬午年B．癸未年C．己亥年D．戊戌年
【答案】B
【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，故100年后地支为未，
综上：100年后的2123年为癸未年.
故选：B.
7．（2023·重庆·统考模拟预测）等差数列中，首项和公差都是正数，且，，成等差数列，则数列，，的公差为（ ）
A．lgB．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质结合对数运算即可得到结果.
【详解】由，，差数列，
得，即，
则，
又，，
所以，
解得，
，，的公差为
.
故选：C.
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列满足，若，则k=（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】A
【分析】根据等差数列的定义与性质计算即可.
【详解】设公差为，因为，
所以，故数列是首项和公差均为2的等差数列，
所以，则，即．
故选：A
9．（2023·山东聊城·统考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，，则是中的（ ）
A．第30项B．第36项C．第48项D．第60项
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式列式，求得首项和公差，可得其通项公式，求出，即可求得答案,
【详解】设等差数列的公差为d，由，得①；
由，得，即 ②．
由①②解得，，所以，
于是，而，故是中的第30项，
故选：A．
10．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．55B．49C．43D．37
【答案】A
【分析】由条件写出通项公式，即可求解.
【详解】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么
，有.
故选：A
11．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，
因为成等比数列，所以，即，
因为，所以，
所以.
故选：A
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解.
【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以，
所以，所以.
故选：C．
13．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列为等差数列，其前n项和为，，若，则（ ）
A．0B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】利用等差数列前项和公式得，再利用其下标和性质即可得到答案.
【详解】因为数列为等差数列，故，
故，则．
故选：C．
14．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（ ）
A．有最大项，无最小项B．有最小项，无最大项
C．有最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】C
【分析】通过已知条件先算出等差数列的首项，公差，然后写出的通向公式，最后写出数列的通项公式分析即可.
【详解】在等差数列中，设首项为，公差为，
因为，
，
解得，
所以等差数列的通项公式为：
，
所以，
当时，，
当时，，
所以数列有最大项为第1项，有最小项第7或第8项，
故选：C.
二、多选题
15．（2023·全国·高三专题练习）下列数列中是等差数列的是（ ）
A．，a，
B．2，4，6，8，…，，
C．，，，
D．
【答案】ABD
【分析】根据等差数列的定义依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，由于，故是等差数列，正确；
对于B选项，2，4，6，8，…，，中，，是等差数列，正确；
对于C选项，因为，，又，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，故不是等差数列；
对于D选项，由得，满足等差数列定义.
故选：ABD.
16．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，成等差数列，则（ ）
A．，，一定成等差数列
B．，，可能成等差数列
C．，，（为常数）一定成等差数列
D．，，可能成等差数列
【答案】BCD
【分析】利用等差数列的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，取，，，则，，，
此时，，不成等差数列，故A错误；
对于B，令，则，
此时，，是公差为0的等差数列，故B正确；
对于C，∵，，成等差数列，∴（为常数）．
又，，
∴（为常数），
∴，，（为常数）为等差数列，故C正确；
对于D，令，则，
此时，，是公差为0的等差数列，故D正确．
故选：BCD
17．（2023·辽宁大连·校考模拟预测）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．的公差为9
C．D．
【答案】BD
【分析】设的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可判断A、B，再根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得；
【详解】解：设的公差为.由，得，又，联立方程组解得，所以A错误，B正确；因为，，所以，故C错误；因为，所以D正确.
故选：BD
18．（2023·全国·高三专题练习）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】依据相邻俩项的差是否为常数逐一判断即可
【详解】设等差数列的公差为d，当时，.
对于A，，为常数，
因此是等差数列；故A正确
对于B，，不为常数，
因此不是等差数列；故B错误
对于C，，为常数，
因此是等差数列；故C正确
对于D，，为常数，
因此是等差数列.故D正确
故选：ACD.
19．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式分别检验各项即可判断.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：取，则，解得，即A正确；
对于选项B：由A可知，，则，即B正确；
对于选项C：因为，即C错误；
对于选项D：因为，且，即D正确.
故选：ABD.
20．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，则（ ）
A．B．
C．，，成等差数列D．，，成等差数列
【答案】BCD
【分析】利用等差数列求和公式分别判断.
【详解】由已知得，
A选项，，，，所以，A选项错误；
B选项，，B选项正确；
C选项，，，，，，则，C选项正确；
D选项，，，，则，D选项正确；
故选：BCD.
三、填空题
21．（2023·上海奉贤·统考一模）已知等差数列中，，则的值等于 .
【答案】14
【分析】利用等差数列的通项公式求出，，便可求得.
【详解】解：由题意得：
等差数列，所以设等差数列的首项为： ，公差为：
又，
故答案为：
22．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）设等差数列{}的前n项为，若，,则公差 .
【答案】3
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可.
【详解】由题，因为是等差数列，所以，，
因为，所以，解得，
故答案为：3.
23．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知等差数列中，且，则 .
【答案】或
【分析】由可得，再由，可得，再分，分别求出，再代入等差数列的通项公式即可得答案.
【详解】解：因为是等差数列，
，
所以，
所以；
又因为，（为数列的公差），
即有，
解得，
当时，可得，所以，；
当时，可得，所以，.
故答案为：或
24．（2023·上海·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，，则 .
【答案】
【分析】根据通项公式列出方程求出，利用前n项和公式求解.
【详解】因为，
所以，
所以是以2为公差的等差数列，
所以，
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】0
【分析】首先根据题意得到，再根据等差数列的性质求解即可.
【详解】由已知得，故.
故答案为：0
26．（2023·四川南充·统考一模）已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】35
【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可.
【详解】解：等差数列的前n项和为，，
，
故答案为：35.
27．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则 ．
【答案】
【分析】由找出公差与首项间的关系，利用求和公式代入中化简即可
【详解】设等差数列的首项为，公差为
由，则
所以，且及
所以
故答案为：.
28．（2023·四川达州·统考一模）已知数列 ​满足，，​，则​等于 .
【答案】7
【分析】首先根据题意得到是等差数列，再根据等差数列的性质求解即可.
【详解】因为，所以是等差数列，
由等差数列性质可得，解得.
，解得.
所以.
故答案为：7
29．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则
【答案】
【分析】由等差数列片段和的性质知成等差数列，再由等差中项的性质求结果.
【详解】由题设成等差数列，
所以，则，
所以.
故答案为：
30．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和分别是，且，则 .
【答案】
【分析】根据等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的性质可知，
则.
故答案为：
四、解答题
31．（2023·全国·高三专题练习）求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.
【答案】
【分析】根据等差数列的求和公式可得，解不等式即可.
【详解】由知：，且数列为等差数列，
所以，
由得：，即，解得，
所以的取值集合为.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，记．求证：数列是等差数列．
【答案】证明见解析
【分析】利用等差数列的定义或等差中项的知识来证得数列是等差数列．
【详解】（定义法），
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
（等差中项法），，
，
所以，
所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列.
33．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知等差数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的前项和为，求正整数的值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由下标关系列方程组解得数列基本量，即可写出通项公式；
（2）写出前项和，代入条件方程求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，故由可得
，
∴；
（2），由，
因为，所以等式化简得或（舍）.
∴正整数的值为7.
34．（2023·云南昭通·统考模拟预测）设是公差不为0的等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使的的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得.
（2）先求得，然后由进行化简，从而求得的最大值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，
由于，故解得，
所以.
（2），
由得，
解得，
由于，所以的最大值是.
35．（2023·全国·高三专题练习）若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
(1)求和的调和中项；
(2)已知调和数列，，，求的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；
（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.
【详解】（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，
所以，解得：，
故和的调和中项为；
（2）依题意，是等差数列，设其公差为，
则，
所以，
故.
36．（2023·北京·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）求得，可求得，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】（1）解：当时，，所以，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，则，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
（2）解：，所以，，
所以，数列为等差数列，
所以，
所以当或时，取得最大值．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知等差数列满足，则的值为（ ）
A．－3B．3C．－12D．12
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质若则可得.
【详解】由等差中项的性质可得，，解得，
∵，∴．
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（ ）
A．180B．198C．189D．168
【答案】A
【分析】由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义列方程求数列的公差和首项，再利用求和公式求它的第4项到第11项的和.
【详解】设递增等差数列的公差为，则，
且是，的等比中项，
，
解得，
第4项到第11项的和为
所以，
即数列的第4项到第11项的和为180.
故选：A．
3．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26B．130C．D．156
【答案】B
【分析】根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列,该等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d，代入等差数列的前n项和公式，求出d，再求即可.
【详解】设第天的织布量为,根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列,
该等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d，
所以，解得，
所以．
所以这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为130.
故选:B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知和均为等差数列，，，，则数列的前50项的和为（ ）
A．5000B．5050C．5100D．5150
【答案】B
【分析】由题设易知为等差数列，结合已知求公差，应用等差数列前n项和公式求和即可.
【详解】由题设也为等差数列，且公差为、公差的和，
又，，故，
所以前50项和为.
故选：B
5．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件可得 ，，然后结合同角三角函数的关系，以及恒等变换公式化简，即可得到结果.
【详解】依题意可得 ，，
且，
所以，即，
解得
又因为，所以，
所以
故选:A
6．（2023秋·河南开封·高三统考期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．48B．50C．52D．54
【答案】C
【分析】被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列，构成首项为10，公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式与求和公式及其基本不等式即可得出结论．
【详解】被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列，构成首项为10，公差为的等差数列，则，，从而
，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为52.
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，若，则的最小值是（ ）
A．2B．8C．15D．19
【答案】C
【分析】根据等差数列通项公式可得，再根据都为大于1的正整数，即可得出的最小值是15.
【详解】由题意可知，设等差数列的公差为，
则，
解得，即；
易知且，
即是10的整数倍，易得时，不是整数，
所以时，的最小值为，满足题意；
所以的最小值为.
故选：C
8．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据数列的递推公式得出，，，…，构成首项是，公差的等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】当时，，
当时，∵①，
∵②，
①−②得：，当时也成立，
故，，，…，构成首项是，公差的等差数列，
所以，
故选：A.
9．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的公差为d，前n项和为，设；是递减数列，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据等差数列的前n项和以及单调数列的定义分析判断.
【详解】充分性：若，则，此时无法判断的正负，
例如，则，即，
可知当时，；当时，；当时，；
故无法得出是递减数列，充分性不成立；
必要性：若是递减数列，则，
反证：假设，则，
当且时，，
这与对，相矛盾，故假设不成立；
例如，则，即成立；
例如，则，即成立；
故，此时，不能推出，必要性不成立；
综上所述：p是q的既不充分也不必要条件.
故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，，，当数列的前n项和取得最大值时，n的值为（ ）
A．30B．31C．32D．33
【答案】C
【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n项和取得最大值时n的值.
【详解】①，则②，
②－①得：，即，
则数列为等差数列，且，
由得：，则公差，
所以，数列单调递减，而，，，，
设，当时，，且，，
当时，恒成立，显然，，
即数列的前32项和最大.
故选：C
11．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为，公差为是其前项和．若存在，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．15D．16
【答案】C
【分析】根据等差数列的前项和公式可求出与的关系，看成是的函数，就是求取哪一个整数时取最小.
【详解】等差数列的首项为，公差为是其前项和，
所以.
若存在，使得，等价于有正整数根.
即，求方程有正整数根时的最小值，
因为，
当且仅当时取等号，即时取等号，
又因为，并且当时，；当时，，
简图如下：
所以实数的最小值为.
故选：C
12．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）设等差数列的前项和为，若，且，则的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式与前项和公式，由已知等式可求得首项和公差，从而得，解得不等式即可求得的最小值.
【详解】解：设等差数列的公差为，由，，得，解得，，
所以，所以，得或（舍），由于，所以的最小值为13.
故选：C.
13．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知是数列的前n项和，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据变形得到，然后分别求出以及即可.
【详解】因为，所以当时，.因为，所以.当时，
，两式相减得.因为，
所以.因为，所以从第二项起是公比为的等比数列，
所以，所以
所以，，
所以.
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则是为等差数列的（ ）条件
A．充要B．充分非必要
C．必要非充分D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据与的关系及等差数列的定义，利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
取时，，此式也满足，
故数列的通项公式为,
所以，
所以数列是等差数列.
所以是为等差数列的充分条件，
因为为等差数列，
所以，
令，则，
所以是为等差数列的必要条件，
综上，是为等差数列的充要条件.
故选: A.
15．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）数列中，，（为正整数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由递推式证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求数列的通项，由此可求数列的通项公式.
【详解】因为，所以，
又，可得，
所以数列为首项为1，公差为的等差数列，
所以，
所以，
故选：B.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若数列满足：对任意的，都有，且，则（ ）
A．20B．39C．63D．81
【答案】B
【分析】首先设出等差数列的首项和公差，利用条件，根据待定系数法求等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，
因为，所以，
因为，所以，
则，解得：，所以，
那么.
故选：B
二、多选题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由等差数列可得，由，得，从而结合等差数列的通项公式与前项和公式即可对选项逐一判断
【详解】解：在等差数列中，因为，所以，则，故B正确；
因为公差，所以，故A错误；
因为，所以即，
所以，故C正确；
因为，且未知正负，故D错误；
故选：BC．
18．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的性质判断A，利用等差数列的前n项和及通项公式列方程组，运算可判断BD，由前n项和公式判断D.
【详解】S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
a5＝a1＋4d＝5， (*)，a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0， (**)，
联立(*)(**)解得，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
，C正确．
故答案为：ABC
19．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当时，D．
【答案】BC
【分析】由题干条件得到，故可得到B是正确的，A是错误的；，又因为数列是递减数列，当时，，故得到当时，，C正确；因为，可判断D是错误的.
【详解】等差数列的前项和为，若，
可得，可得B正确；
故数列为递减数列，故A错误；
因为，，
因为数列是递减数列，当时，，
故当时，，C是正确的；
，故D错误；
故选：BC
20．（2023·全国·高三专题练习）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列为递减数列B．数列是等差数列
C．，，依次成等差数列D．若，，则
【答案】BD
【分析】根据题意可知等差数列公差，因此可例说明A,C的正误，利用等差数列前n和公式写出的表达式，判断B正确，再根据等差数列的性质，由，可推出，，从而说明D正确.
【详解】由题意可知数列是等差数列，且递减，
则 ，
不妨举例如：
则 ，这三项不构成递减数列，故A错；
而 ,这三项不构成等差数列，说明C错；
对于B， ，是关于n的一次函数，
因此是等差数列，故B正确；
对于D， ，则 ，
，则 ，
故 ，故D正确，
故选：BD.
21．（2023·全国·高三专题练习）为等差数列的前项和，公差，若，且，则( )
A．
B．
C．对于任意的正整数，总存在正整数，使得
D．一定存在三个正整数，，，当时，，，三个数依次成等差数列
【答案】AC
【分析】对等式左边同分，结合即可求出，从而判断A选项；再结合公差即可求出和，从而求出d、、，从而对B和C进行判断；对于选项D，根据等差中项的性质表示出m、n、k三者的关系，根据方程成立的条件即可判断．
【详解】由得，，故A正确；
，故B错误；
，，结合及可得：，，
故，，，则即为，
∵n是正整数，∴也是正整数，故对于任意的正整数，总存在正整数，使得，故C正确；
成等差数列，
∵均为偶数，∴等式左边为偶数，右边为奇数，左右不可能相等，故D错误；
故选：AC．
三、填空题
22．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）记为等差数列的前n项和，已知，，则 ．
【答案】
【分析】设出等差数列的公差，根据已知列出方程组，求出首项胶公差，再求出作答.
【详解】设等差数列的公差为，依题意，，解得，
所以.
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】
【分析】由与的关系消去得到的递推公式，再由等差数列的性质求得公差，即可求得其通项.
【详解】当时，，则；
当时，，
两式相减，整理得，
设公差为，则，即，
所以，
所以.
故答案为：.
24．（2023春·广西柳州·高三柳州市第三中学校考开学考试）是等差数列{}的前n项和，则n的值是 .
【答案】21
【分析】利用等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质求解.
【详解】解：因为数列{}是等差数列，且，
所以，
解得，故答案为：21
25．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则 ；
【答案】
【分析】根据给定条件，列出关于等差数列的首项、公差的方程组，结合等差数列前n项公式求解作答.
【详解】设等差数列的公差为，由得：，解得，又，
于是得，解得，
所以.
故答案为：
26．（2023·全国·高三专题练习）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 .
【答案】
【分析】根据数列与的性质确定数列是以为首项，为公差的等差数列，从而可得通项，即可得的值.
【详解】解：数列与分别是以为公差，为首项的等差数列，
则新的数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，
故.
故答案为：.
27．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知等差数列的前n项和为，若，且，则 .
【答案】2
【分析】先结合算出,再计算.
【详解】∵,
∴,
,,
,
故答案为：2.
28．（2023·四川达州·统考一模）已知正项数列前项和满足，且，则 .
【答案】
【分析】利用得出数列是等差数列，且公差为1，然后求得，再代入可得．
【详解】，，
，，
，，
∴，即，所以是等差数列，公差为1，
，，
，即，．
故答案为：．
29．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论：
①；②；③为等差数列；④.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【分析】根据关系式，当时，即可求得的值；由得，当时，可得，可证明为等差数列，即可求得，则可求得，则可判断其他选项.
【详解】因为，所以当时，，解得或，
又，所以，故，故①正确；
因为，可得，所以，当时，，
所以，
是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，故④正确；
所以，则，所以为等差数列，故③正确；
当时，，又不符合
所以，故②不正确.
故答案为：①③④.
30．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为 ．
【答案】7
【分析】先由题意确定数列是公差为1的等差数列，进而求得的最大值.
【详解】数列是递增的整数数列，
要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，
假设递增的幅度为，
则，
数列为递增数列，
，
，
即为最大值．
故答案为：7
四、解答题
31．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求通项.
【答案】
【分析】根据数列的递推公式，构造特征方程，根据特征根再变形，求得数列是等差数列，即可求数列的通项公式.
【详解】考虑特征方程的特征根，
，
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，
故 即.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，且．求数列的通项公式．
【答案】
【分析】由得到，从而数列为等差数列求解.
【详解】解：由两边同除以，
得，
所以数列为首项，公差的等差数列，
所以，
所以数列的通项公式为．
33．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列的前n项和为，.
(1)若，证明：数列为等差数列.
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)33
【分析】（1）用等差数列的定义进行证明；
（2）利用第1问的结论求出的解析式，进而求得数列的通项公式，解不等式即可.
【详解】（1）（1）由已知，，，，
所以，
故数列为公差为1等差数列
（2）因为，不满足条件，此时，，
由（1）知数列为首项为1公差为1等差数列，所以，故，
当时，，
由，故，即，
因为，所以.故满足的n最小值为33.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比数列的性质列方程求出的公差即可求解；
（2）由等差数列的求和公式求出，讨论当时，，；当时，，，写成分段的形式即可.
【详解】（1）设的公差为，
则，解得，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，此时，
，
当时，，此时，
，
综上所述：.
35．（2023·湖北武汉·统考三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求正整数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，当时，求得，当时，得到，两式相减化简求得，得到数列中奇数项和偶数项分别构成等差数列，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，结合当时，和当时，，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，各项均不为零的数列的前项和为，满足且，
当时，，解得，
当时，，两式相减得，
因为数列中各项均不为零，即.
所以数列中奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；
偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，
当时，，即；
当时，，即，
综上，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知数列是以1为首项，1为公差的等差数列，可得，
因为，所以，
当时，，即不等式恒成立；
当时，.
故正整数的最大值为.
36．（2023·山东青岛·统考三模）记是数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，成等差数列，求．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由时，得的递推关系，从而可得；
（2）由已知让结合等差数列性质求得，由此可得，已知式中让取偶数即可得，从而得出结论．
【详解】（1）∵，∴时，，
两式相减得：，即，
是偶数时，，
∴；
（2）由已知①，②，
∵，，成等差数列，∴③，
①②③联立解得，
∴，，
由已知得，即，
综上，．
37．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.
【答案】(1)
(2)2500
【分析】（1）由为等差数列，得到，且，再利用数列通项与前n项和 的关系求解；
（2）根据题意，由，得到，即，从而求解.
【详解】（1）解：为等差数列，
，且，
当时，，可得；
当时，，
则，
由，故，
所以是首项为1，公差均为1的等差数列，
故.
（2）由，即，即，
所以，
所以的前50项和为.
38．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列和各项均为正数的等比数列满足：，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列是由数列和中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，
(2)15220
【分析】（1）根据等差数列和等比数列公式列方程求解即可；
（2）由，，得，数列的前100项中含有数列中的4项，再求和得到答案.
【详解】（1）根据条件，设，，
又，解得，
故，.
（2）当时，，由，得，，
又，，，，
故在数列的前100项中含有数列中的4项，
所以，
所以.
39．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)若对一切正整数.不等式恒成立.求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系得到,即,再利用等差数列的通项公式求解即可;
（2）根据（1）的结论得到对一切正整数恒成立,分离参数转化为求解数列最小值问题.令,设当时,最大,列不等式组求解即可.
【详解】（1）当时,,得,
当时,,
整理得,
等式两边同除得,
则数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以,
则.
（2）不等式对一切正整数恒成立,
即对一切正整数恒成立.
令,设当时,最大,
则,
解得,
因为,所以,
又,则,即的最小值为.
40．（2023·江苏无锡·校联考三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据等差数列的定义和增位相减以及累乘法即可求解；（2）根据等比数列求和和二项式定理即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
所以，
即①，
所以②，
由②－①可得，
即，
所以.
（2）由（1）可得，
则，
所以，
所以
所以除以3的余数为2.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知数列满足，对任意，都有是数列中的项，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可证得数列是首项为0的等差数列，验证选项即可.
【详解】因为，，，所以．
因为，且，
所以，，…，．
故，
则数列的前6项可设为0，d，2d，3d，4d，5d，则有，B选项正确，其余选项错误.
故选：B．
2．（2023·北京·高三专题练习）已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【分析】通过条件，，得到，
再利用条件得到，
进而得到不等关系：，从而得到的最大值.
【详解】由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（ ）
A．3991B．3993C．3994D．3997
【答案】D
【分析】根据题意将染色的所有数字进行分组，找出每组数字的最后一个数与组数和该组数的数字个数的关系，找出第组最后一个数在红色子数列中所处的位数，即可求得结果.
【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下：
第一组：1 共1个数；
第二组：2，4，6 共3个数；
第三组：7，9，11，16，15 共5个数；
第四组：16，18，20，22，24，26，28 共7个数；
第五组：29，31，33，35，37，39，41，43，45 共9个数；
……
由此规律可知，第组最后一个数是组数与该组的数字个数的乘积为，且该数在组成的红色子数列中是第个数，
易知，当时，即第45组最后一个数是与数字2021接近，
此时，红色子数列中第个数为，
所以再往前数4个计数即为第2021个数，该数为3997.
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）数列的前1357项均为正数,且有：,则的可能取值个数为（ ）
A．665B．666C．1330D．1332
【答案】B
【分析】根据已知条件结合与的关系得,再次利用与的关系得,因为数列的前项均为正数,则,所以为定值,所以的结果取决于的取值,根据条件,从项到项,连续两项之间有两种情况:或,有两种情况,分析即可得到结果.
【详解】当时,,
因为数列的前项均为正数,
所以,
设数列的前项和为,
所以①,
则②,
②-①得:,
化简得,
若,③,
则④,
③-④得,
因为数列的前项均为正数,
所以,
即数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以,
所以为定值.
由可得:从项到项,连续两项之间有两种情况:或,
根据相反数的立方和为零可得每增加两项，可能结果增加两种；而第1358项有两种可能；
所以最后结果的个数可能为:种.
故选:B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若对任意正实数，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数列的递推关系化简可得，再利用等差数列的通项公式及存在性问题，结合恒成立问题及解不等式即可求解.
【详解】由得，
，即，于是有，所以，即，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由，得，所以，
由于，则，所以，可得，
因为，所以，即，
因为总存在，使得成立，即，
所以，即.
又，所以实数的最小值为.
故选：B.
【点睛】解决此题的关键是根据数列的递推关系得出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，结合存在性问题的处理办法及恒成立问题的处理办法即可求解.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且.若存在实数，，使得，且，当时，取得最大值，则的值为（ ）
A．12或13B．11或12
C．10或11D．9或10
【答案】B
【分析】根据变形为，令，则，由此可设函数，利用其导数推得，结合可得，即，从而推得，，结合等差数列的单调性即可求得答案.
【详解】由等差数列中， ，即 ,
而，即有,
令 ，则有 ，
令函数 ，则 ,
当 时， ， 单调递减；当 时，，单调递增,
故,从而有 ，则有 ,当且仅当时，等号成立;
同理 ，即 ，当且仅当时，等号成立，
则，当且仅当时，等号成立,
又，所以，故有，所以, ,
则 ,从而 ,得 ,
又，，所以，故等差数列是单调递减数列，
当或时，取得最大值，所以或 ，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得，，所以这里的关键是利用，构造函数，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.
二、多选题
7．（2023·浙江·统考二模）已知等差数列的公差为d，前n项和是，满足，则（ ）．
A．的最小值为B．
C．满足的n的最大值为4D．
【答案】BD
【分析】根据递推公式找出与公差d的关系，再将选项中对应项或者前n项和全部用表示，构造成一个关于的函数，根据函数对应导数单调性找出最值，或者代入特殊值验证选项对错.
【详解】根据题意可知，
，
当时，，A错误；
，设，
，令，
故在单调递增，在单调递减，，B正确；
，当时，，C错误；
，令，
，令，
故在单调递减，在单调递增，
，D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：
（1）本题B、D选项求取值范围，常用方式为构造函数求出最值确定范围；
（2）本题A、C选项为判断结论是否正确，最简单的判断方式为适当举出反例，当然数学基础好的同学可通过构造函数利用极限思想进行判断.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和是，满足对成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．一定是递减数列
C．数列是等差数列D．
【答案】AC
【分析】根据给定的递推公式，结合“”探讨数列的性质，再逐项判断作答.
【详解】由得：，当时，，则，
整理得，显然，则，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，C正确；
，解得，A正确；
，当时，，当时，，满足上式，
因此，此时，，，是递减数列，
当时，，当时，，满足上式，
因此，此时，，，是递增数列，B错误；
当时，，，
当时，，，D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【分析】首先求不动点，将已知等式两侧与不动点作差，再化简得到为等差数列，进而求通项公式.
【详解】设，令得：，解得：；
，化简得：，
所以，从而，又，
所以是首项为，公差为1的等差数列，故，
所以．
故答案为：
10．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知各项都不为0的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是 .
【答案】
【分析】根据题意推得，利用等差数列的通项公式，求得的通项公式为，得到，令，结合，求得最小时为，根据恒成立，求得，即可求解.
【详解】因为，当时，，
两式相减可得，即，
因为数列的各项都不为0，所以，
因为，所以，
数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列，所以；
数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以，
故数列的通项公式为，可得，所以，
令，
，
，则，
所以随着的增大而增大，即在处取最小值，，
又因为对一切，恒有成立，所以，解得，
故能取到的最大整数是.
故答案为：.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为为数列的前项积，满足（为正整数），其中，给出下列四个结论：①；②；③为等差数列；④.其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【分析】根据关系式，当时，即可求得的值；由得，当时，可得，两式相除整理可证明为等差数列，即可求得，从而可求得，由此得以判断各结论.
【详解】因为，
所以当时，，解得或，
又，所以，故，故①正确；
因为，易得，所以，
当时，，
所以，则，
所以，则，
又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
经检验，满足上式，所以，故④正确；
所以，则，
所以为等差数列，故③正确；
当时，，
又不符合上式，
所以，故②错误.
故答案为：①③④.
四、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，．
(1)若，令，求数列的通项公式；
(2)若，问：是否存在实数c，使得对所有成立？证明你的结论．
【答案】(1)
(2)存在，证明见解析
【分析】（1）根据题意，将递推关系式化简可得是首项为，公差为2的等差数列，然后由等差数列的通项公式即可得到结果；
（2）根据题意，先假设存在，然后根据条件可得，从而求得.
【详解】（1）由题意，
．
所以，即．
又因为，所以是首项为，公差为2的等差数列．
因此．故．
（2）由题意，，，知．
假设存在实数c，使得对所有成立，则．
所以，即，得．
由，得．
所以．
故存在实数，使得对所有成立．
13．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
(1)证明：等差数列是“数列”；
(2)是否存在数列，它既是“数列”，又是“数列”？若存在给出证明；若不存在说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【分析】（1）由是等差数列，由等差数列的性质可得：，进而可证得即可证明；
（2）由数列既是“数列”，又是“数列”，可得，通过式子的代入与转化可得数列为等差数列.
【详解】（1）证明：为等差数列，设其公差为，则，从而，当时，
，
其中，且
，
因此等差数列是“数列”．
（2）存在数列，它既是“数列”，又是“数列”，下面进行证明，
若数列既是“数列”，又是“数列”，则有，
当时，①
当时，②
由①知，③
④
将③④代入②，得，其中是等差数列，设其公差为，
在①中，取，则，，
在①中，取，则，，
综上，数列是以为公差的等差数列．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）先求，根据题意分析求解；
（2）根据题意题意分析可得，利用反证可得，在结合等差数列运算求解；
（3）讨论的大小，根据题意结合反证法分析证明.
【详解】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，且，则对任意恒成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）因为均为正整数，则均为递增数列，
（ⅰ）若，则可取，满足 使得；
（ⅱ）若，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得；
（ⅲ）若，
定义，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
即满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得.
综上所述：存在使得．