第29讲 等比数列（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、等比数列的有关概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
2.等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．
二、等比数列的有关公式
1.等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
2.等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
注：①在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
三、等比数列的性质
1.等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
2.等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
3.其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【常用结论】
1.若，则．
2.若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
3.在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
二、题型分类精讲
题型一 等比数列基本量的计算
题型一 等比数列基本量的计算
策略方法 等比数列基本量运算的解题策略
等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
【典例1】（单选题）已知各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的公比为（ ）
A．2B．1C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知等比数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设是等比数列，且，，则（ ）
A．8B．-8C．4D．-4
4．（2023春·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则等于（ ）
A．9B．72C．9或70D．9或
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（ ）
A．400B．500C．600D．800
6．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知是等比数列，则“”是“数列的公比为3”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A．30B．C．40D．
9．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项等比数列满足，则的最小值是（ ）
A．4B．9C．6D．8
二、填空题
11．（2023·四川成都·三模）在等比数列中，若，则的值为 ．
12．（2023·江西·统考模拟预测）已知数列满足，若，则 ．
13．（2023·浙江·二模）已知等比数列满足，则公比 .
14．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知各项均为正数的等比数列满足，且，则
15．（2023·全国·高三专题练习）若数列是公比为的等比数列，，写出一个满足题意的通项公式 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，且，，，则 ．
题型二 等比数列的性质及其应用
策略方法 应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质．
(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(Sn≠0)成等比数列求解．
【典例1】（单选题）在正项等比数列中，，，则的公比（ ）
A．2B．C．2或D．或
【典例2】（单选题）“”是“，，成等比数列”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
2．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知正项等比数列，若，则（ ）
A．16B．32C．48D．64
4．（2023·贵州·校联考模拟预测）在等比数列中，，，则（ ）
A．3B．6C．9D．18
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知为递增的等比数列，且满足，，则（ ）
A．B．1C．16D．32
6．（2023·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）等比数列4+x，10+x，20+x的公比为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·浙江·高三专题练习）已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．2023B．2024C．4046D．4048
10．（2023·山东济南·校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（ ）
A．180B．198C．189D．168
二、多选题
12．（2023·全国·高三专题练习）在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
14．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列是等比数列，且，则 ．
15．（2023·河北·校联考三模）若数列为等比数列，则 ．
16．（2023·河北·统考模拟预测）若数列为等比数列，，，则 ．
17．（2023·全国·高三专题练习）等比数列中，，，则公比q的值为 .
18．（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知数列为等差数列．为等比数列，且成等差数列．则 ．
19．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）已知数列是等比数列，若数列的前4项和为，且，则 .
题型三 等比数列的前n项和
策略方法
等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：
当时，；当时，．
【典例1】（单选题）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（ ）
A．4B．16C．32D．64
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列中，为前n项和，，则（ ）
A．7B．9C．15D．30
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列满足，则（ ）
A．40B．81C．121D．156
3．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考期末）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
4．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，已知，则其前5项的和的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
7．（2023·北京大兴·校考三模）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为0；③数列中一定不可能出现；④数列中一定不可能出现.其中正确的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列中，是数列的前项和．若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．64B．81C．128D．192
12．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列的前4项和为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
13．（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考期中）设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
15．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）数列满足：，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．，
C．是等比数列D．，
16．（2023秋·广西河池·高二统考期末）在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
17．（2023·全国·校联考模拟预测）已知公比小于0的等比数列的前n项和为．若，，则 ．
18．（2023·贵州·校联考二模）已知等比数列的前3项和为168，，则 ．
19．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
20．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）在等比数列 中， 为数列的前n项和，，，则＝
21．（2023·全国·校联考模拟预测）若等比数列的前n项和为，，，则等比数列的公比为 ．
22．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知等比数列的公比为2，前项和为，且6，，成等差数列，则 .
23．（2023·河北·统考模拟预测）已知等比数列的首项，公比，，且，则的前2023项和为 .
24．（2023·江西九江·统考三模）已知数列{}的前n项和为，且满足，则=
25．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为 .
26．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，且满足，则当 时，最大.
四、解答题
27．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求的值及数列的前项和．
28．（2023·全国·高三专题练习）从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．以后每次都倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．问：
(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？
29．（2023秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）设等差数列的公差为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和.
30．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
31．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知数列满足.
(1)证明为常数列，并求数列的通项公式；
(2)设为数列落在区间内的项的个数，求数列的前项和.
32．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列的公比，前项和为．若，且是与的等差中项.
(1)求；
(2)设数列满足，，数列的前项和为.求．
题型四 等比数列中与的关系
策略方法 等比数列中与的关系
数列的前项和和通项的关系：则
【典例1】（单选题）在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（ ）
A．0B．1C．3D．4
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．3B．6C．9D．18
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．5C．D．
3．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{}满足：则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江西赣州·统考二模）已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
5．（2023·山西阳泉·统考二模）已知等比数列的前项和，满足，则（ ）
A．16B．32C．81D．243
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项合为，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．数列是等比数列
C．若数列的前n项和，则
D．若首项，公比，则数列是递减数列
8．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，则成等比数列
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为且，则 ．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，满足，，则 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，若则 ．
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
14．（2023·上海·高三专题练习）记为数列的前项和，已知，（为正整数）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若，求正整数的值.
题型五 等比数列的函数特性
策略方法
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；②若共有项，．
（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．
【典例1】（单选题）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，公比是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023·上海浦东新·统考三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
5．（2023·全国·高三专题练习）设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．为递减数列B．为递增数列
C．数列有最大项D．数列有最小项
6．（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．的最大值为
9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
12．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．当且仅当时，取得最大值
C．D．
三、填空题
13．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）设等比数列的前n项和为，写出一个满足下列条件的的公比 ．
①，②是递减数列，③．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，且满足，则当 时，最大.
15．（2023·全国·模拟预测）能说明“设数列的前项和，对于任意的，若，则”为假命题的一个等比数列是 ．（写出数列的通项公式）
16．（2023·全国·高三专题练习）等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是 .
题型六 等比数列的判定与证明
策略方法 判定一个数列为等比数列的常见方法
【典例1】（单选题）已知是数列的前项和，且满足，，则=（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足，，数列的前项积为，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．1458B．1460C．2184D．2186
3．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知数列的前项和为，当时，，若，则的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的条件是（ ）．
A．B．C．D．是等比数列
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足，则 ．
8．（2023·全国·高三专题练习）数列的前n项和为，若，，则 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，且，则的值为 ．
10．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知数列各项均为正数，若，且，则的通项公式为 ．
三、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列；
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项．
(1)求证：数列是为等比数列．
(2)记，若，求n的最大值．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，若．
(1)证明：为等比数列．
(2)求的通项公式．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
①等比数列基本量的计算
②等比数列的性质及其应用
③等比数列的前n项和
④等比数列中中与的关系
⑤等比数列的函数特性
⑥等比数列的判定与证明