第29练 等比数列（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

这是一份第29练 等比数列（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用），文件包含第29练等比数列精练基础+重难点原卷版docx、第29练等比数列精练基础+重难点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
3．（2023·天津·统考高考真题）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
4．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
5．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、填空题
6．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知为等比数列，，，则 .
8．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为递减的等比数列，，且，，则的公比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（ ）
A．7里B．8里C．9里D．10里
3．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ）
A．3B．6C．4或5D．6或7
4．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．B．3C．或3D．1.或
5．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）在等比数列中，已知，则等于（ ）
A．128B．64C．64或D．128或
6．（2023·全国·高三专题练习）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（ ）
A．224里B．214里C．112里D．107里
7．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知数列为等比数列，公比，若，，则（ ）
A．4B．8C．16D．32
9．（2023·河南开封·统考一模）已知数列的前项和，若，则（ ）
A．8B．16C．32D．64
10．（2023春·广西·高三鹿寨县鹿寨中学校联考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．170C．D．85
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙市南雅中学校考开学考试）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．60B．70C．80D．150
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项积为，若，，且，则使最大的正整数n的值为（ ）
A．7B．8C．15D．16
14．（2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，，，则为（ ）
A．B．C．D．或
15．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．或B．4C．D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．127B．254C．510D．255
17．（2023·全国·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中的很多题目取材于现实生活，有很强的应用性和趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的：一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装400个栗子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走剩下的一半多一个，……所有猴子均按此规则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这群猴子的只数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
18．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．5C．D．
19．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知，，若是与的等比中项，则的最小值是（ ）
A．8B．4C．3D．2
20．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
二、多选题
21．（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知数列是首项为，公比为的等比数列，则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列
C．是等比数列D．是等比数列
22．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．若，，则
C．若数列的前n项和，则
D．若，则数列是递增数列
24．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ）
A．一定是递增数列B．可能是递增数列也可能是递减数列
C．、、仍成等比D．，
25．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·全国·高三专题练习）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
三、填空题
27．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知等比数列中，，，则 ．
28．（2023秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知等比数列的前项和为，且，，则 .
29．（2023·全国·高三专题练习）在数列{}中，，，为{}的前n项和，则= .
30．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则 ．
31．（2023秋·贵州贵阳·高三统考阶段练习）设是等比数列，且，，则的值是 .
32．（2023·全国·高三专题练习）正项递增等比数列 ，前n项的和为 ，若 ，则 ．
33．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）若等比数列的公比为，且，则的前99项和为 .
34．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列，其前n项积为，且满足，则 ．
35．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于 ．
36．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，则数列的公比 .
37．（2023·北京·高三专题练习）正项数列满足，．若，，则的值为 ．
38．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为 ．
39．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 ．
40．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，则的最小值为 .
41．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为Sn，且满足，则的值为 ．
42．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）设等比数列的前n项和为，若，且，则 .
43．（2023·河北·模拟预测）已知数列为等比数列，其前n项和为，前三项和为13，前三项积为27，则 ．
四、解答题
44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
45．（2023·全国·高三专题练习）已知是等比数列，，，．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，求使得的正整数n的所有取值．
46．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)写出该数列的前项；
(2)求数列的通项公式.
47．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知数列满足，且)，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
48．（2023·江西南昌·统考模拟预测）已知公差大于0的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
49．（2023·江西南昌·统考模拟预测）已知公差大于0的等差数列满足，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
50．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列是等比数列；②数列是等比数列；③.
51．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
52．（2023·上海长宁·统考一模）已知数列为等差数列,数列为等比数列,数列的公差为2;
(1)若,求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,若,求;
53．（2023·上海宝山·统考一模）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)写出的具体展开式，并求其值.
54．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，的前n项和为，求成立的n的最大值.
55．（2023·全国·高三专题练习）已知为等差数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求前n项和．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105B．107C．1012D．1015
2．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A．3B．2C．3或D．2或
3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为.已知，，则（ ）
A．B．16C．30D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·河南·校联考模拟预测）记数列的前n项和为．若等比数列满足，，则数列的前n项和（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，且是与的等差中项，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·辽宁锦州·校考一模）已知等比数列的公比的平方不为，则“是等比数列”是“是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·北京·高三专题练习）已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2023·全国·高三专题练习）已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A．37B．35C．31D．29
11．（2023·全国·高三专题练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（ ）
A．90B．50
C．40D．30
12．（2023·北京·高三专题练习）康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作，，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为.若使留下的各区间长度之和不超过，则至少需要操作（ ）次（参考数据：）
A．4B．5C．6D．7
13．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设等比数列的首项为1，公比为q，是数列的前n项和，则“”是“恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．9
15．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）已知是无穷等比数列，则“存在，使得，”是“对任意，均有”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．（2023·全国·高三专题练习）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
二、多选题
17．（2023·全国·高三专题练习）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．数列是公差为2的等差数列
18．（2023·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是中最小的项
D．使成立的的最大值为18
20．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．当且仅当时，取得最大值
C．D．
21．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．是单调递增数列D．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（ ）
A．B．
C．的值是中最小的D．使成立的最大正整数的值为4043
三、填空题
23．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则 .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为 ．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等比数列，公比，首项，前三项和为7，，则n＝ ．
26．（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，若，则的值为 .
27．（2023·全国·高三专题练习）等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ．
28．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）在数列中.，是其前n项和，当时，恒有、、成等比数列，则
29．（2023·全国·高三专题练习）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为
30．（2023·全国·高三专题练习）设为等比数列的前n项和，已知，，若存在，使得成立，则m的最小值为 ．
31．（2023·全国·高三专题练习）正项等比数列中，，且存在两项使得，则的最小值为 .
四、解答题
32．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列和各项均为正数的等比数列满足：，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列是由数列和中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列的前项和为，求.
33．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列的公比，前项和为．若，且是与的等差中项.
(1)求；
(2)设数列满足，，数列的前项和为.求．
34．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，对任意的正整数，点均在函数图像上．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：中任何不同三项不构成等差数列．
35．（2023·江苏苏州·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式.
37．（2023·全国·高三专题练习）数列是等比数列，前n项和，数列满足.
(1)求p的值及通项；
(2)求和.
38．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明是等比数列；
(2)若，求的前项和．
39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，等比数列满足，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，其前n项和为，且满足，数列的前n项和为，若对恒成立，则实数的最大值（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·重庆·高三校联考阶段练习） 已知数列满足（，且是递减数列，是递增数列，则( )
A．B．C．D．
4．（2023·四川·校联考模拟预测）在数列中，，，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
二、多选题
6．（2023·广东茂名·统考二模）已知数列和满足：，，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．数列是公比为的等比数列B．仅有有限项使得
C．数列是递增数列D．数列是递减数列
7．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A．为单调递增的等差数列
B．
C．为单调递增的等比数列
D．使得成立的n的最大值为6
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列，的前项和分别为，，且满足，，则（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．当时，D．当时，
三、填空题
9．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于 .
10．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知等差数列的首项为，公差，等比数列满足，，则的取值范围为 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列中，，且为其前项和，若存在正整数，使得成立，则的取值范围是 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，．
(1)证明：．
(2)设数列的前n项和为，证明：．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．
(1)若数列为单调递减数列，求实数a的取值范围．
(2)当时，设数列前n项的和为，证明：当时，．