第32讲 空间点、直线、平面间的位置关系（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
二、直线与直线的位置关系
三、直线与平面的位置关系
四、平面与平面的位置关系
【常用结论】
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
二、题型分类精讲
题型一 共面、共线、共点问题的证明
策略方法 共面、共线、共点问题的证明
【典例1】（解答题）如图，在长方体中，、分别是和的中点．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·高三专题练习）正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（ ）
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
3．（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上D．既不在直线AC上也不在直线BD上
4．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线B．四点异不共面
C．四点共面D．四点共面
5．（2023·全国·高三专题练习）下面几个命题：①两两相交的三条直线共面；②如果两个平面有公共点，则公共点有无数个；③一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；④顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
6．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）．
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线．
二、多选题
9．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线B．，，，四点共面
C．，，，四点共面D．，，，四点共面
10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在正方体中，分别为棱，，上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（ ）
A．当时，平面
B．当时，平面
C．当时，存在点，使四点共面
D．当时，存在点，使，，三条直线交于同一点
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．

12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形 （填上所有正确答案的序号）．
13．（2023春·河南许昌·高三鄢陵一中校考阶段练习）如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则， .
14．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为 ．
题型二 异面直线
策略方法 1．平移法求异面直线所成角的一般步骤
2．坐标法求异面直线所成的角
当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．
注：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
【典例1】如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）

A．B．C．D．
【典例2】在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在三棱锥中，两两垂直，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·河南·高三阶段练习）如图，在四棱台中，正方形和的中心分别为和平面，则直线与直线所成角的正切值为（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，平面ABC，，，，，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）在直三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·陕西汉中·统考二模）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江苏·高三专题练习）在长方体中，，，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
9．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
10．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，与交于点，则直线与直线的夹角为 .
13．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）在正四棱柱中，底面边长为1，高为3，则异面直线与AD所成角的余弦值是 .
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 .
15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，，，D、E分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 .
16．（2023·全国·校联考模拟预测）在直四棱柱中，底面四边形ABCD是菱形，，，E是棱的中点，O为底面菱形ABCD的中心，则异面直线EO和AD所成角的余弦值为 ．
17．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知四面体ABCD满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线AD与BC所成的角的大小为 ．
题型三 平面的基本性质
【典例1】下列命题不正确的个数是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆心和圆上两个点确定一个平面；
③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点；
④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（ ）．
A．只有一条，不在平面内B．只有一条，且在平面内
C．有无数条，一定在平面内D．有无数条，不一定在平面内
2．（2023·广东·高三统考学业考试）在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ）
A．P一定在直线上
B．P一定在直线上
C．P在直线或上
D．P既不在直线上，也不在直线上
3．（2023·河北·校联考一模）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，则“，相交“是“，相交”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023·全国·高三专题练习）若平面，直线，点，则在内过点的所有直线中（ ）．
A．存在唯一一条与 平行的直线
B．只有两条与平行的直线
C．不一定存在与平行的直线
D．存在无数条与平行的直线
5．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）如图所示，正方体中，分别为棱的中点，则在平面内与平面平行的直线

A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条
6．（2023春·广西柳州·高三柳州市第三中学校考开学考试）下列命题正确的是
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
二、填空题
7．（2023·高三课时练习）已知是不共面的四个点，且这四个点到平面的距离都相等，则这样的平面有 个．
8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为 ．
题型四 等角定理
策略方法 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【典例1】已知，则等于
A．B．或C．D．以上答案都不对
【题型训练】
一、单选题
1．如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（ ）

A．M，N，P，Q四点共面B．
C．D．四边形MNPQ为梯形
2．两等角的一组对应边平行，则（ ）
A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边垂直D．以上都不对
3．已知，是两条不同的直线，是平面，且，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．若，且与的方向相同，则与（ ）
A．一定平行且方向相同B．一定平行且方向相反
C．一定不平行D．不一定平行
5．给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．给出下列命题：
①若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角或直角相等；
③若一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补；
④若两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线平行
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
7．(多选题)下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
8．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
三、填空题
9．已知，则 ．
①共面、共线、共点问题的证明
②异面直线
③平面的基本性质
④等角定理
位置关系
相交（共面）
平行（共面）
异面
图形
符号
a∥b
公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
两条异面直线不同在如何一个平面内
位置关系
包含（面内线）
相交（面外线）
平行（面外线）
图形
符号
∥
公共点个数
无数个
1
0
位置关系
平行
相交（但不垂直）
垂直
图形
符号
∥
，
公共点个数
0
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
无数个公共点且都在唯一的一条直线上