第39讲 圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、圆的基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
二、圆的基本性质、定理与公式
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
三、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
四、直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
【常用结论】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
二、题型分类精讲
题型一 圆的方程
策略方法 求圆的方程的两种方法
【典例1】已知圆过三点，，，则的圆心和半径分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】利用斜率可以推出是直角三角形，而直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，据此求解.
【详解】由题意，，，即，
故，即是直角三角形，且为斜边，
直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，
又，
于是的外接圆半径为，圆心是的中点，即.
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由圆的一般式方程可得，即，求得，
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.
【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线是圆的对称轴，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据圆心在直线上可求得结果.
【详解】由圆方程得：圆心，
直线是圆的对称轴，圆心在直线上，即，解得：.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则其外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先设圆的方程为，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.
【详解】设的外接圆的方程为，
因为的顶点，，，
所以，解得，
因此即为所求圆的方程.
故选：A.
【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型.
5．（2023·全国·高三专题练习）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.
【详解】由题得圆心到直线的距离，
所以圆的方程为.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.
【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，
因为点关于直线的对称点为，
所以圆C：关于直线对称的圆的方程是
，
故选：C
7．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程可得答案.
【详解】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是
，即，且，.
故选：D
8．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知圆，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形的面积为（ ）．
A．6B．12C．14D．18
【答案】B
【分析】求出圆心和半径，得到切线长，求出四边形的面积.
【详解】依题意，圆，圆心为，半径为3，
则，，

故，由对称性可知，与全等，
故四边形的面积．
故选：B
9．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】C
【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为，则圆的方程为，结合已知条件即可求出圆的方程，在圆的方程中令，即可求出，两点的坐标，由此即可得解.
【详解】因为圆心在直线上，所以设圆的圆心、半径分别为，
则圆的方程为，
将，代入圆的方程有，解得，
所以圆的方程为，
在圆的方程中令得，解得，
所以.
故选：C.
二、填空题
10．（2023秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考开学考试）已知圆的面积为，则 ．
【答案】
【分析】根据圆的一般方程得出圆的半径，然后根据已知列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆的半径.
所以，圆的面积为，
所以，，解得.
故答案为：.
11．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知圆的半径为3，则 .
【答案】
【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，根据题意列出方程，即可求解.
【详解】将圆的方程转化为，
因为圆的半径为3，所以，即.
故答案为：.
12．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）请写出一个过点，且与直线相切的圆的标准方程，为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】写出一个符合条件的圆的标准方程即可.
【详解】设为直径的一个端点，到直线的距离，
可知半径，又若圆心在直线上，且，
解得，所求圆的方程为.
故答案为：（答案不唯一）．
13．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过四点的圆的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，设圆的方程为，取三个点的坐标代入，得到方程组，求解即可得到结果.
【详解】设圆的方程为，
将点的坐标分别代入可得，
，解得
则可得圆的方程为
故答案为:
14．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）圆心与圆的圆心重合，且过点的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】根据同圆心设出方程，代入点求出即可求解.
【详解】依题意，
设所求圆的方程为，
由于所求圆过点，所以，
解得．所以所求圆的方程为．
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用配方法，结合二次函数的性质、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】，
所以半径，当且仅当时，半径最小，
此时圆心为，圆心到原点的距离为，
因为，
所以原点在圆外，根据圆的性质，
圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
故答案为：
16．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，经过直线与两坐标轴的交点及点的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解.
【详解】令，得，解得，
所以直线与轴的交点为,
令，得，解得，
所以直线与轴的交点为,
设圆的方程为,则
因为，，三点都在圆上，
所以,解得
故所求圆的方程为
故答案为：.
题型二 点与圆的位置关系
策略方法 判断集合关系的三种方法
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
【典例1】“m