第九章 平面解析几何（综合检测）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】考点：圆的标准方程．
分析：设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．
解答：解：
设圆心为（a，1），由已知得d==1，∴a=2(舍-)．
故选B．
点评：本小题主要考查圆与直线相切问题．还可以数形结合，观察判定即可．
2．已知抛物线：的焦点，准线为，点，线段的中点在上，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求得点的坐标，代入抛物线方程，由此求得，进而求得点到直线的距离.
【详解】焦点为，线段的中点为，将点代入得，解得，点到直线的距离为.
故选：C
3．若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（ ）
A．B．C．-D．
【答案】A
【分析】
由得是等边三角形，从而得到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解．
【详解】，则是等边三角形，圆半径为1，因此到直线的距离为，
所以，解得，
故选：A．
4．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于、两点，是坐标原点．若，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设右焦点则由对称性知即
所以解得故选C
5．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果.
【详解】由题意可知的蒙日圆方程为，
因为圆与圆仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，
由此解得，
故选：B.
6．已知为椭圆的焦点且，M，N是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过M点，则的周长为( )
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【分析】根据椭圆定义，结合勾股定理即可求解，由焦点三角形的周长公式即可求解.
【详解】由于为直径的圆经过M点，所以，
不妨设则，
由椭圆定义可得
由勾股定理可得和，
即和，
解得，
故的周长为，
故选：D

7．设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线定义结合圆外一点到圆上一点最值问题即可得到答案.
【详解】因为，则抛物线焦点坐标为，准线方程为，
则，即，
所以，则要使其最小，则需最小，
因为圆的圆心为，半径，
所以.
故选：C.
8．双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在和中利用余弦定理，求出以及，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求得答案.
【详解】由题意结合双曲线定义可知，且，
不妨设，则，，，
.
在中，，由余弦定理得，
即，即，
解得.
在中，由余弦定理得，
即，即，结合，
即得，故得，即.
又可设，则，
而，故，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据所给，分别在和中利用余弦定理，求出，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线：，圆：，则（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆相交
C．圆被轴截得的弦长为D．当圆被直线截得的弦最短时，
【答案】BD
【分析】根据给定条件求出直线l经过的定点及圆的圆心、半径，再逐一分析、计算各选项判断作答.
【详解】依题意，直线：可化为，
由解得，，即直线过定点，A不正确；
圆：的圆心，半径，，
即点P在圆内，直线与圆恒相交，B正确；
圆心到x轴的距离，则圆被轴截得的弦长为，C不正确；
由于直线过定点，圆心，则直线PC的斜率，
当圆被直线截得的弦最短时，由圆的性质知，，于是得，解得，D正确.
故选：BD
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点A，B关于原点对称，点P（异于A，B两点）为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为12B．椭圆的离心为
C．的最大值为D．若直线PA，PB的斜率都存在，则
【答案】BCD
【分析】根据椭圆定义判断A，直接计算离心率判断B，根据椭圆的几何性质判断C，利用作差法求判断D.
【详解】由椭圆方程可知，，
所以，
由椭圆定义知，的周长等于，故A错误；
椭圆的离心率，故B正确；
由椭圆的几何性质可知，的最大值为，故C正确；
设，，则，所以，
由点在椭圆上可得，两式相减可得，
化简可得，即，故D正确.
故选：BCD
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，且，若，则下面有关结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】利用同角三角函数基本关系式、双曲线定义、双曲线性质、余弦定理、离心率公式运算即可得解.
【详解】解：当为锐角时，如下图，则，
∵，∴，
∴，
∴解得：，∴，则，
∴，故BD正确；
当为钝角时，如下图，则，
∵，∴，
∴，
∴解得：，∴，则，
∴，解得：，故A错误，C正确.故选：BCD.
12．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．为中点
【答案】BCD
【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.
【详解】如下图所示：
分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，
由于直线的斜率为，其倾斜角为，
轴，，由抛物线的定义可知，，
则为等边三角形，
，则，
设，，由，则，可得 ，
所以 ，
,解得
所以,所以B正确.
，得，
A选项错误；
所以,满足,所以C正确.
而,所以D正确.
故选：BCD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，，为平面内的一动点，且满足，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解.
【详解】设，由，则，
即，
即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
14．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 .
【答案】4
【分析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面积为4.
【详解】根据椭圆定义可知，
由勾股定理可得，
所以可得，
因此可得三角形的面积为.
故答案为：4
15．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 .
【答案】
【分析】由题意可得四边形为平行四边形，根据及托勒密定理可得四边形为矩形．利用双曲线的定义、直角三角形的边角关系即可得出结论．
【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，
则，，可得四边形为平行四边形，

又及托勒密定理，可得四边形为矩形．
设，，
在中，，
则，，
，，，
，解得．双曲线的离心率为．故答案为：．
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是 .
①若点，则的最小值是3
②的最小值是2
③若，则直线的斜率为
④过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为
【答案】①③④
【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，进而根据抛物线的定义判断①；
根据判断②；设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，根据解方程即可得判断③；根据直线与曲线的位置关系得过点，分别与抛物线相切的直线方程为，，进而联立方程解得可判断④.
【详解】由题知，，准线方程为，对于①选项，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
故，故①正确；
对于②，设，
故，故②错误；
对于③，当直线的斜率不存在时，，不成立；
故直线的斜率存在，设方程为，与抛物线方程联立，
得，
所以，
因为，
所以，即，解得，故③正确；
对于④，设过点与抛物线相切的直线方程为，
与抛物线方程联立得，
所以，整理得，
所以，故即为，整理得，
同理得过点与抛物线相切的直线方程为，
所以，联立方程，解方程得，
因为，所以，
所以，即点的横坐标为，故④正确.
故选：①③④
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知圆过三点.
(1)求圆的方程；
(2)设直线的斜率为，且与圆相切，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）利用三点坐标可根据待定系数法求解圆方程；
（2）利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解．
【详解】（1）设圆的方程为，其中，
因为圆过三点，
所以，解得，
圆的方程为．
（2）由（1）知圆是以为圆心，以为半径的圆，
设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，
解得或，所以切线方程为或．
18．在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由．
【答案】（1）（2）为定值．
【分析】（1）根据题意,得出,从而得出椭圆的标准方程．
（2）根据题意设直线方程：,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得,则,解得①
把和代入,得和 ,
,的表达式,比即可得出为定值．
【详解】解：（1）依题意,,,．
所以椭圆的标准方程为．
（2）为定值.
①因为直线分别与直线和直线相交,
所以,直线一定存在斜率．
②设直线：,
由得,
由,
得． ①
把代入,得,
把代入,得,
又因为,
所以,
,②
由①式,得, ③
把③式代入②式,得,
,即为定值．
【点睛】本题考查椭圆的定义、方程、和性质,主要考查椭圆方程的运用,考查椭圆的定值问题,考查计算能力和转化思想,是中档题.
19．在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)为直线：上一个动点，过点作曲线的切线，切点分别为，，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在这样的，当时，坐标为．
【分析】（1）依题意，由几何法即可得出圆心的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线．
（2）设直线的方程，对抛物线方程求导化简也可得直线的方程，由恒等思想可得，，构造直线方程为，故两点代入化简可得恒过点，再由得，恒过点 ，从而可得结论.。
【详解】（1）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线．
所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹为．
（2）假设存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点，
设，，，直线的方程为，
将抛物线方程变形为，则，所以，
所以的方程为，
因为，所以直线的方程为，
把代入的方程得．
同理可得．
构造直线方程为，易知，两点均在该直线上，
所以直线的方程为，
故恒过点．
因为，所以可设方程为，
化简得，
所以恒过点
当，即时，与均恒过，
故存在这样的，当时，坐标为．
20．已知动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设，由化简可求轨迹C的方程；
（2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得m，得到直线l的方程.
【详解】（1）设，由动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2，
可得，化简得，即，
故点P的轨迹C的方程为；
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由对应渐近线方程为：，易判断，
得，设，，
则，①，
由，得：
，
，
即，，
消去得：，
即②
由①②得：，化简得，由已知，
故存在定直线l：满足条件.

21．已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由对称性得到点，在椭圆上，结合焦点坐标，得到方程组，求出，，求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，设，，，得到两根之和，两根之积，由和共线得到方程组，联立后得到，求出，得到交点在定直线上，并求出该直线的方程.
【详解】（1）因为为椭圆的右焦点，所以①,
由对称性得，点，在椭圆上，代入得②,
联立①②解得，，，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）由条件知直线与直线不重合，故直线的斜率不为0，

设直线的方程为，
联立，可得，
设，，，
则，，，
由（1）可得，，
由共线得：③，由共线得：④，
由③÷④消去并整理得，，即，所以，
综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
22．已知抛物线，其中．点在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍．经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q，
(1)求抛物线的方程和F的坐标；
(2)试判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，焦点.
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据题意，列出方程，求得，即可求得抛物线的方程；
（2）设，直线，联立方程组得到及，由直线的方程求得，再由的方程求得，分和，两种情况，求得，即可求解.
【详解】（1）解：由抛物线的准线方程为，交点坐标为，
点在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）解：准线.
理由如下：设，直线的方程为，
联立方程组，整理得，所以，则，
由题意得，
直线的方程为，令，可得，则，
因为，所以，直线的方程为，
令，可得，所以，
①当时，直线的斜率不存在，，可得直线的斜率不存在，所以；
②当时，，则，
综上可得，与的位置关系为.