初中数学苏科版九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系同步达标检测题

这是一份初中数学苏科版九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系同步达标检测题，文件包含13一元二次方程的根与系数的关系重难点专项练习六大题型原卷版docx、13一元二次方程的根与系数的关系重难点专项练习六大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。


考察题型一 利用韦达定理求x1+x2、x1x2以及相关代数式的值
1．已知，是关于的方程的两根，下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【详解】解：△，，结论正确；
、、是关于的方程的两根，，
的值不确定，结论不一定正确；
、、是关于的方程的两根，，结论错误；
、，、异号，结论错误．
故本题选：．
2．已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是

A．B．
C．D．方程的根有可能为0
【详解】解：、根据根与系数的关系可得出，结论正确，不合题意；
、根据根与系数的关系可得出，结论不一定正确，符合题意；
、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，由此即可得出，结论正确，不合题意；
、由，结合判别式可得出方程的根有可能为0，结论正确，不合题意．
故本题选：．
3．已知方程的两个根分别为、，则的值为
A．7B．5C．3D．2
【详解】解：方程的两个根分别为、，
，，．
故本题选：．
4．方程 的根为，，则的值为
A．B．1C．D．
【详解】解：方程 的根为，，
，，则原式．
故本题选：．
5．若实数，满足条件：，，则的值是
A．2B．C．D．2或
【详解】解：①当时，
、是方程的两个不同的实数根，
，，
原式；
②当时，
、是方程的两个不同的实数根里的同一个实数根，
原式，
故的值是2或．
故本题选：．
6．已知一元二次方程的两根分别是、，则的值是
A．B．2C．D．3
【详解】解：一元二次方程的两个根分别是，，
，，
．
故本题选：．
7．若方程的两根为，，则的值是
A．4B．8C．16D．32
【详解】解：方程整理得：，
，，，
方程的两根为，，
，，
．
故本题选：．
8．若，分别是一元二次方程的两个实数根，则等于

A．6B．8C．10D．12
【详解】解：，分别是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故本题选：．
考察题型二 已知一元二次方程的一根，利用韦达定理求另一根
1．已知方程的一个根为．则方程的另外一根为
A．B．8C．D．4
【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，，．
故本题选：．
2．已知的整数部分是方程的一个根，则该方程的另一根是
A．B．2C．D．1
【详解】解：，即，
的整数部分是2，即方程的一个根是2，
设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，，．
故本题选：．
3．关于的一元二次方程的一个根是1，则另一个根和的值分别为
A．，3B．1，3C．，4D．3，
【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得：，，
解得：，，即另一个根为3，的值为．
故本题选：．
4．已知关于的方程的一个解与方程的解相同，则方程的另一个解是
A．B．C．1D．2
【详解】解：方程的两边同乘以得：，
解得：，经检验，是原方程的解，，
设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得：，解得：．
故本题选：．
考察题型三 判别式与韦达定理综合判断一元二次方程根的情况
1．关于的方程的根的情况是
A．有一正一负两个不相等的实数根
B．有两个正的不相等实数根
C．至多有一个正的实数根
D．至少有一个正的实数根
【详解】解：方程整理得：，
△，方程有两个不相等的实数根，
方程的两个根和为，至少有一个正的实数根．
故本题选：．
2．一元二次方程中，若，，，则这个方程根的情况是

A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大
D．有两个正的实数根
【详解】解：，，，
，
△，
方程有两个不相等的实数根，
，
两根异号．
故本题选：．
考察题型四 方程根的代入与韦达定理综合求代数式的值
1．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为
A．0B．C．D．
【详解】解：为方程的根，
，
，
，
方程的两根分别是和，
，
．
故本题选：．
2．已知、是关于的方程的两根，则的值是
A．2020B．2021C．2022D．2023
【详解】解：是关于的方程的根，
，
，
，
、是关于的方程的两根，
，
．
故本题选：．
3．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是
A．16B．15C．12D．9
【详解】解：，，
，、是关于的方程的两个实数根，
，，
．
故本题选：．
4．已知，是方程的两个实数根，则的值为

A．B．C．D．3
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，，
，
．
故本题选：．
5．关于的方程有实数根、，则的取值范围是
A．B．C．D．
【详解】解：关于的方程有实数根、，
△，解得：，
、是一元二次方程的两个根，
，
又，
．
故本题选：．
6．已知一元二次方程，与一元一次方程有一个公共解，若一元二次方程有两个相等的实数根，则

A．B．
C．D．
【详解】解：关于的一元二次方程与关于的一元一次方程有一个公共解，
是方程的一个解，
一元二次方程，
，
有两个相等的实数根，
，整理得：．
故本题选：．
7．阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以．
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，，则： ， ．
（2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
【详解】解：（1），，
故本题答案为：，；
（2），，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）把，两边同时除以得：，
则实数和可看作方程的根，
，，
．
8．阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达发现的，因此，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
（2）类比应用：在（1）的条件下，求的值．
（3）思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．
【详解】解：（1）一元二次方程的两个根为，，
，，
故本题答案为：2，；
（2）一元二次方程的两个根为，，
，，
；
（3）实数、满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
，的值为．
考察题型五 利用韦达定理求参数
1．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：对于任意给定的实数，方程恒有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【详解】解：（1）△，方程总有两个实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知：，，
，
联立得：，解得：，
，
．
2．已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为，求的值，并求另一根；
（3）若方程两根为，，且满足，求的值．
【详解】（1）证明：△
，
方程总有两个实数根；
（2）解：方程有一根为，
，
，
，解得：，，
综上，的值为，另一根为1；
（3）解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
，
，
．
3．关于的方程的两个实数根的倒数和为1，则
A．或0B．2或0C．2D．0
【详解】解：设方程的两个实数根为和，
则，，
，
，
解得：或0，:经检验，或0都是的解，
△，
，
．
故本题选：．
4．若方程的两个不相等的实数根、满足
，则实数的所有可能值之和为
A．0B．C．D．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系可得：，，
，
，
，
，
，
，
，，，
代入检验可知：，均满足题意，不满足题意，
因此，实数的所有可能的值之和为．
故本题选：．
5．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
△，解得：；
（2），
即，
，
又，，
，
，解得：或（舍去）．
6．已知关于的一元二次方程方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）根据根与系数的关系得：，，解得：，；
（2）存在，理由如下：
根据题意得：△，解得：，
由根与系数的关系得：，，
，
即，
即，
方程化为，解得：，，
经检验，都是原方程的解，
，
．
7．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值；
（3）求使的值为整数的实数的整数值．
【详解】解：（1）关于的一元二次方程的两个实数根，
，且，解得：；
（2），是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
即，解得：，符合题意；
（3），，
，
或，或2，或，或4，或，解得：或，1，，3，，
，
，，．
8．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由．
（3）求使为负整数的实数的整数值．
【详解】解：（1），是一元二次方程的两个实数根，
，即，解得：且；
（2）存在，
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，，
即，解得：，符合题意；
（3）由（2）知，，，
．
为负整数，
，即．
且，
，8，9，12．
考察题型六 新定义问题
1．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；
（2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）已知关于的一元二次方程是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
【详解】解：（1），，或，
所以，，
则方程是“倍根方程”；
（2），或，
解得：，，
是“倍根方程”，
或，
①当时，；
②当时，；
综上，代数式的值为26或5；
（3）设方程的根的两根分别为、，
根据根与系数的关系得：，，
解得：，或，，
的值为13或．
2．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求的值；
（3）若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围．
【详解】解：（1）此方程为“限根方程”，理由如下：
，解得：，，
，
此方程为“限根方程”；
（2）由根与系数的关系得：，，
，
，
或，
①当时，，，
，
符合题意；
②当时，，，
，
（不合题意，舍去）；
综上，的值为2；
（3）解此方程得：或，
此方程为“限根方程”，
△，且，即，
，
且，
①当时，，，
，
，
；
②当时，，，
，
，
；
综上，的取值范围为或．
1．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若、满足，则关于的方程是倍根方程；
④若时，则方程是倍根方程．
【详解】解：①解方程得：，，
，
方程不是倍根方程，
故①不正确；
②若是倍根方程，，
则或，
（i）当时，，
（ii）当时，，
故②不正确；
③，
．
方程变为：，
即，
，
或．
，，
，
关于的方程是倍根方程，
故③正确；
④方程的根为：，，
，
，
，，
，
若时，则方程是倍根方程，
故④正确．
故本题答案为：③④．
2．已知，为方程的两根，求的最小值．
【详解】解：，为方程的两根，
，，，
，
，
把，代入得：
，
，为方程的两根，
△，
，
，
当时，，
的最小值是9．
3．如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知、是方程的二根，则 ．
（2）已知、、满足，，求正数的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）、是方程的二根，
，，
，
故本题答案为：43；
（2），，
，，
、是方程的解，
，，
是正数，
，，，
正数的最小值是4；
（3）存在，当时，，理由如下：
由变形得：，
由变形得：，
把代入，并整理得：，
由题意思可知：，是方程的两个不相等的实数根，
故有：，
即，解得：．