初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.4 用一元二次方程解决问题课后复习题

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考察题型一 增长率问题
【增长率问题】
1．某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？若设2、3月份平均每月的增长率是，应列方程为
A．
B．
C．
D．
【详解】解：印刷厂1月份印刷了书籍50万册，且2、3月份平均每月的增长率是，
印刷厂2月份印刷了书籍万册，3月份印刷了书籍万册，
根据题意得：．
故本题选：．
2．随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是
A．B．
C．D．
【详解】解：设该校2020年学生数为1，
则该校2021年学生数为，2022年学生数为，
根据题意得：．
故本题选：．
3．为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为20万元，2023年的绿化投资额为45万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为
A．B．C．D．
【详解】解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为，
根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去），
这两年该市绿化投资额的年平均增长率为．
故本题选：．
【下降率问题】
1．某商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，若每次降价的百分率为，下列所列方程正确的是
A．B．
C．D．
【详解】解：根据题意得：．
故本题选：．
2．近年来浙江省公立医院全面实施药品零差率，这意味着医院平价卖药不赚差价，为此某医院对某药品进行连续两次降价，第一次降价，第二次在第一次的基础上又降价，设平均每次的下降率为，则可列方程
A．B．
C．D．
【详解】解：设某药品降价前的价格为元，则经过两次降价后的价格为，
根据题意得：，即．
故本题选：．
考察题型二 传播问题
1．新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，下列方程正确的是
A．B．C．D．
【详解】解：每轮传染中平均一个人传染了个人，
第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，
根据题意得：，即．
故本题选：．
2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人．
【详解】解：设平均一人传染了人，
，解得：或（舍去），
平均一人传染12人．
故本题答案为：12．
3．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为
A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④
【详解】解：有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了个人，
第1轮传染中有人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论②不合题意；
轮后有个人患了流感，结论①符合题意；
根据题意得：，即，结论③符合题意；
解得：，（不合题意），
不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论④不合题意．
故本题选：．
考察题型三 商品销售问题
1．水果店花1500元进了一批水果，按的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，根据题意，下面所列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
【详解】解：根据题意得：．
故本题选：．
2．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低元，则可列方程为
A．B．
C．D．
【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，
超市每天售出此种粽子的利润．
故本题选：．
3．“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为30件时，产品售价为 元件；
（2）直接写出日销售量（件与售价（元件）的函数关系式；
（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
【详解】解：（1）（元件），
当销售量为30件时，产品售价为105元件，
故本题答案为：105；
（2）根据题意得：，
该产品的进货价为70元件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元件，
日销售量（件与售价（元件）的函数关系式为；
（3）根据题意得：，
整理得：，解得：，（不合题意，舍去），
答：该产品的售价每件应定为90元．
4．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【详解】解：（1）①设每千克茶叶降价元，
则每千克的销售利润为元，平均每周可售出千克，
根据题意得：，
整理得：，解得：，，
答：每千克茶叶应降价30元或80元；
②要尽可能让利于顾客，
每千克茶叶应降价80元，
又，
该店应按原售价的8折出售；
（2）该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
假设该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元，
设每千克茶叶降价元，
则每千克的销售利润为元，平均每周可售出千克，
根据题意得：，整理得：，
△，
原方程没有实数根，
假设不成立，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
考察题型四 数字问题
1．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数．
【详解】解：设原来个位为，则十位上的数字为，
由题意得：，解得：，，
原来十位上的数字为5或3．
答：原来这个两位数53或35．
2．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数．
【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数为，
根据题意列出方程得：，
整理得：，解得：，（不合题意，舍去），
答：这原来的两位数是31．
3．探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，，第行有个点，容易发现，前4行共有10个点．
（1）若三角形点阵中前行共有45个点，求的值；
（2）拓展：如果三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，，
①求这个三角形点阵中前行共有多少点？（用含的代数式表示）；
②这个三角形点阵中前行点数的和，能是600吗？若能，求出；若不能，请说明理由．
【详解】解：（1）由题意可得：，即．
整理得：，，，，
为正整数，
；
（2）①这个三角形点阵中前行点数和为；
②三角形点阵中前行的点数的和能是600，理由如下：
依题意得：，即，，解得：，．
为正整数，
，
故三角形点阵中前行的点数的和能是600，．
考察题型五 单循环问题（“握手”问题）
1．某市青少年校园足球联赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现有校园足球联赛队伍支，共比赛了36场，则下列方程中正确的是
A．B．C．D．
【详解】解：根据题意得：．
故本题选：．
2．为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为
A．6B．7C．8D．9
【详解】解：设共有个球队参赛，
根据题意得：，
整理得：，解得：，（不合题意，舍去），
共有8个球队参赛．
故本题选：．
3．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是 人．
【详解】解：设这次会议到会的人数是人，
根据题意得：，
整理得：，解得：，（不合题意，舍去），
这次会议到会的人数是5人．
故本题答案为：5．
考察题型六 双循环问题
1．某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，设组员有名同学，则根据题意列出的方程是
A．B．C．D．
【详解】解：全组共有名同学，
每名同学需赠送出件标本，
根据题意得：．
故本题选：．
2．黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有

A．8支B．9支C．10支D．11支
【详解】解：设参加比赛的队伍共有支，
根据题意得：，
整理得：，解得：，（不合题意，舍去），
参加比赛的队伍共有11支．
故本题选：．
3．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有 人．
【详解】解：设该小组共有人，则每人需送出张贺卡，
依题意得：，
整理得：，解得：，（不合题意，舍去），
该小组共有9人．
故本题答案为：9．
考察题型七 几何问题
1．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为
A．B．
C．D．
【详解】解：长方形场地的长为60米，宽为40米，且绿化带的宽度为米，
被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形．
根据题意得：．
故本题选：．
2．在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 米．
【详解】解：设小道的宽为米，
则剩下部分可合成长为米，宽为米的长方形，
根据题意得：，
整理得：，解得：，（不合题意，舍去），
小道的宽为1米．
故本题答案为：1．
3．如图1，把3个边长为的正方形和4个边长为的小正方形，拼成一个长方形．把两个边长为的小正方形放置在一个边长为的大正方形中（如图2所示）．若图2阴影部分的面积比长方形的面积小81，则边长为的正方形面积是 ．
【详解】解：由图1可知：，
，
图2阴影部分的面积比长方形的面积小81，
，
，即，
整理得：，
，
边长为的正方形面积是．
故本题答案为：．
4．如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为
A．50B．40C．30D．20
【详解】解：如图，
根据题意易知：点为正方形，的中心，
，即，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，则，
，解得：，
，
或，
，
，
．
故本题选：．
【动态几何问题】
1．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．
（1）那么运动几秒时，它们相距？
（2）的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
【详解】解：（1）设运动秒时，，两点相距15厘米，
依题意得：，解得：，，
运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米；
（2）的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动秒时，的面积等于60平方厘米，
依题意得：，
整理得：，
△，
原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米．
2．如图，中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，同时动点从点出发以的速度向点移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为．
（1）运动几秒时，为等腰三角形？
（2）为何值时，的面积等于面积的？
（3）在运动过程中，的长度能否为？试说明理由．
【详解】解：经过秒后，，，
（1）若为等腰三角形，则，即，解得：，
运动秒时，为等腰三角形；
（2）当的面积等于面积的时，即，
整理得：，解得：，，
经过或秒后，的面积等于面积的；
（3），
，
整理得：，
△，
此方程无实数解，
在运动过程中，的长度不能为．
1．如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点，，分别在，，上，且，，在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．
（1）当时，小正方形种植花卉所需的费用；
（2）试用含有的代数式表示五边形的面积；
（3）当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
【详解】解：（1）若，则，
，，
，
所需费用为：（元）；
（2）设米，则米，
，，
；
（3）根据题意得：，
整理得：，解得：，
答：当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．
2．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；③两公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求租出汽车多少辆时，两公司月利润差恰为18400元？
【详解】解：（1）（元），
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为辆，
由题意可得：，
解得：或（舍去），
当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
故本题答案为：48000；37；
（2）设每个公司租出的汽车为辆，两公司的月利润分别为，，
则，，
①当甲公司的利润大于乙公司时，，
，
即，
整理得：
此方程无解，故此情况不存在；
②当乙公司的利润大于甲公司时，，
，即，
整理得：，
解得：，（舍去），
所以当每个公司租出的汽车为45辆时，两公司月利润差恰为18400元．
3．如图，已知等腰三角形，，，点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，同时点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，运动时间记为秒，请解决下列问题：
（1）若点在边上，当为何值时，？
（2）是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为，
等腰三角形，，，
，
，
，
（1）设经过秒，，此时，，
，
，
，
解得：；
（2）存在，理由如下：
①当在边上，如图所示：连接，过点作于，
设经过秒，的面积为为，
此时，，
，
，
解得：或（舍去）；
②当点在边上时，如图所示：连接，，过点作于，
设经过秒，的面积为为，
此时，，
，
，
解得：，（舍去）；
综上，当或时，的面积为为．甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．