第1章 一元二次方程热考题型-2023-2024学年九年级数学上册（苏科版）

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第1章 一元二次方程考察题型一 一元二次方程的概念【1.1】一元二次方程的识别典例1-1．（2023·无锡期末）下列方程是一元二次方程的是　　A． B． C． D．【详解】解：、方程是二元二次方程，不合题意；、当，时，方程是一元一次方程，不合题意；、方程是分式方程，不合题意；、方程是一元二次方程，符合题意．故本题选：．变式1-1．（2023·常州模拟）在下列方程中，属于一元二次方程的是　　A． B． C． D．【详解】解：、是一元二次方程，则此项符合题意；、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不合题意；、不是整式，不是一元二次方程，则此项不合题意；、方程整理为，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，则此项不合题意．故本题选：．【1.2】根据一元二次方程的概念求参典例1-2．（2022·淮安期中）已知是一元二次方程，则　　．【详解】解：由题意得：且，解得：．故本题答案为：．变式1-2．（2023·扬州期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为　　A． B．3 C． D．不能确定【详解】解：由关于的方程是一元二次方程，得：且，解得：．故本题选：．考察题型二 一元二次方程的解【2.1】求一元二次方程的解典例2-1．（2023·南通期末）已知关于的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为　　A．0 B．1 C． D．【详解】解：，，代入得：，，，，或，或，，不确定，此方程必有一个根为．故本题选：．变式2-1．（2023·海安期末）关于的方程，其中，，满足和．则该方程的根是　　A．1，2 B．1， C．，2 D．，【详解】解：①把代入得：，整理得：，②把代入得：，整理得：，③把代入得：，整理得：，④把代入得：，整理得：，所以方程的根是1和．故本题选：．【2.2】根据一元二次方程的解求参典例2-2．（2023·扬州月考）已知是一元二次方程的一个根，则的值是　　．【详解】解：把代入方程得：，解得：或，，．故本题答案为：．变式2-2．（2023·扬州模拟）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为　　．【详解】解：是的根，，解得：或1，，，．故本题答案为：0．【2.3】根据一元二次方程的解求代数式的值典例2-3．（2023·南京期中）若是方程的一个根，则代数式的值为　　．【详解】解：是一元二次方程的一个根，，，．故本题答案为：2022．变式2-3．（2023·扬州期末）若是方程的解，则代数式的值为　　．【详解】解：是方程的解，，，．故本题答案为：2024．考察题型三 直接开方法【3.1】利用整体法求解典例3-1．（2023·徐州月考）已知关于的一元二次方程，，均为常数且的解是，，则关于的一元二次方程的解是　　A．， B．， C．， D．，【详解】解：关于的一元二次方程，，均为常数且的解是，，对于关于的一元二次方程的解为2和5，即或，即，，关于的一元二次方程的解是，．故本题选：．变式3-1．（2023·无锡期中）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解为　　．【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程，关于的方程、、为常数，的解是，，方程的解满足或，解得：，，即方程的解为，．故本题答案为：，．【3.2】根据两解之间的关系求参典例3-2．（2023·杭州期中）关于的一元二次方程的两个根分别是与，则　　．【详解】解：根据题意得：，解得：．故本题答案为：2．变式3-2．（2023·淮北月考）若一元二次方程的两根分别是和，则的值为　　A．16 B． C．25 D．或25【详解】解：一元二次方程的两个根分别是与，且，，解得：，即方程的根是：，，．故本题选：．考察题型四 配方法【4.1】对一元二次方程进行配方典例4-1．（2023·常州模拟）把一元二次方程化成的形式，则的值为　　．【详解】解：，移项，得：，配方，得：，，，，．故本题答案为：14．变式4-1．（2022·苏州期中）用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是　　A． B． C． D．【详解】解：，，，．故本题选：．【4.2】利用配方法求解典例4-2．解方程：．（用配方法）【详解】解：（1），移项：，配方：，即，，，．变式4-2．（2022·盐城期末）解方程：．（用配方法）【详解】解：，，则，，即，则，，．考察题型五 公式法典例5-1．（2022·济南期末）以为根的一元二次方程可能是　　A． B． C． D．【详解】解：．此方程的根为，符合题意；．此方程的根为，不合题意；．此方程的根为，不合题意；．此方程的根为，不合题意．故本题选：．变式5-1．（2022·苏州月考）是下列哪个一元二次方程的根　　A． B． C． D．【详解】解：．此方程的解为，不合题意；．此方程的解为，不合题意；．此方程的解为，符合题意；．此方程的解为，不合题意．故本题选：．典例5-2．（2022·泰州期末）解方程：．（用公式法）【详解】解：原方程可化为，，，解得：，．变式5-2．（2022·盐城期末）解方程：．（用公式法）【详解】解：，，，．考察题型六 因式分解法典例6-1．（2023·南京期末）解方程：．【详解】解：（1），，，或，，．变式6-1．（2022·南京期末）解方程：（1）；（2）．【详解】解：（1），或，所以，；（2），移项得：，即，，故或，．利用整体法（换元法）求解典例6-2．（2022·盐城月考）已知，则的值为　　A．0 B．4 C．4或 D．【详解】解：设，则原方程换元为，，解得：，，即或（不合题意，舍去），．故本题选：．变式6-2．若实数满足方程，则不同的值有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：设，则原方程转化为，整理，得：，解得：或，若即时，△，有两个不同的解；若即时，△，有两个相同的解；综上，不同的值有3个．故本题选：．考察题型七 配方法的应用【7.1】比较大小典例7-1．（2023·扬州期中）若，，则与的大小关系为　　A． B． C． D．【详解】解：，，．故本题选：．变式7-1．（2023·苏州期中）若，，则、的大小关系为　　A． B． C． D．无法确定【详解】解：，故．故本题选：．【7.2】求最值典例7-2．（2023·淮安期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法，这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式的最小值．解：原式．，．当时，的最小值是2．（1）请仿照上面的方法求代数式的最小值；（2）代数式的最大值为　　．【详解】解：（1）原式．，．当时，代数式的最小值是3；（2），，当时，代数式的最大值为18．故本题答案为：18．变式7-2-1．（2023·海门二模）若实数，，满足，，则的最小值是　　A．6 B．7 C．8 D．9【详解】解：，，，，，，当时，的最小值是．故本题选：．变式7-2-2．（2023·连云港中考）若、为实数），则的最小值为　　．【详解】解：，，均为实数，，，原式．故本题答案为：．【7.3】“0+0”模型——求参典例7-3．（2023·泰兴二模）、为正整数，，则的值为　　A．2 B．3 C．4 D．5【详解】解：，，，，，、为正整数，，或，，．故本题选：．变式7-3．（2023·扬州期中）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若，求和的值．解：，．．，．，．问题（1）若，求的值．问题（2）已知．①用含的式子表示　　；②若，求的值．【详解】解：（1）由原式得：，，，，；（2）①由得：，故本题答案为：；②把代入得：，整理得：，即，，，，．考察题型八 根的判别式的应用【8.1】判断一元二次方程的根的情况典例8-1．（2023·靖江模拟）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【详解】解：将原方程变形为一般形式得：，，，，△，原方程有两个不相等的实数根．故本题选：．变式8-1．（2022·贵港三模）若，，是的三边长，则关于的方程的根的情况是　　A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【详解】解：，，为的三边长，，在方程中，△，关于的方程有两个不相等的实数根．故本题选：．【8.2】根据根的情况求参典例8-2-1．（2023·苏州月考）已知方程有两个不相等的实数根，则的取值　　A． B． C．且 D．且【详解】解：根据题意得：且△，所以且．故本题选：．变式8-2-1．（2023·宿迁四模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　A． B．且 C．且 D．【详解】解：一元二次方程有实数根，，即，△，即△，解得：，的取值范围是且．故本题选：．典例8-2-2．（2023·无锡期末）已知等腰的一条边长为7．其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是　　A．4 B．4或10 C．2 D．2或4或10【详解】解：当7为底时，由题意得：△，则，解得：，此时一元二次方程，解得：，因为，舍去；当7为腰时，将代入得：，解得：或，当时，得三边长为7、7、15，因为（舍去），当时，得三边长为3、7、7，可以构成三角形；综上，的值为4．故本题选：．变式8-2-2．（2023·南京期中）已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值．【详解】解：（1）证明：△，方程总有两个实数根；（2）原方程分解因式得：，，，当等腰三角形的腰是2时，，不合题意，等腰三角形的腰是5，，．考察题型九 一元二次方程的根与系数的关系【9.1】已知一根，求另一根典例9-1-1．（2023·徐州二模）关于的方程的一根为，则另一根为　　．【详解】解：设这个一元二次方程的另一根为，关于的方程的一根为，，．故本题答案为：．典例9-1-2．（2023·宿迁三模）已知一元二次方程的一个根为，则其另一个根为　　．【详解】解：设方程的另一个根为，根据题意得：，解得：．故本题答案为：．变式9-1．（2022·扬州期末）已知关于的方程：．（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；（2）证明：无论取何值，该方程总有实数根．【详解】解：（1）把代入方程：，得：．解得：．由根与系数的关系得：，即，所以；（2）证明：当即时，该方程是，此时，符合题意；当，时，△，该方程总有实数根；综上，无论取何值，该方程总有实数根．【9.2】根据根与系数的关系求代数式的值典例9-2．（2023·海安模拟）设，是一元二次方程的两个根，则　　．【详解】解：，是一元二次方程的两个根，，，，．故本题答案为：1．变式9-2-1．（2023·南通四模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　A． B．18 C．22 D．20【详解】解：根据根与系数的关系得：，，，，是一元二次方程的实数根，，，．故本题选：．变式9-2-2．（2023·常州模拟）阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程的两根为、，则，．材料2 已知实数，满足，，且，求的值．解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，，．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程的两根为，，则　　，　　．（2）已知实数，满足，，且，求的值．（3）已知实数，满足，，且，求的值．【详解】解：（1）在中，，，，，，故本题答案为：，；（2），满足，，，，可以看作的两个不等的实数根，，，；（3）由题意知与即为方程的两个不等的实数根，，，．【9.3】根据根与系数的关系求参典例9-3．（2022·盐城月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．（1）求的取值范围；（2）若，满足，求的值．【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，△，解得：，（2），，，，，解得：，，，．变式9-3-1．（2023·靖江期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．（1）求的取值范围；（2）若　　（填序号），求的值．（从①；②；③中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答．）【详解】解：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根、，△，解得：；（2）当①时，得：，解得：，，；当②时，得：，解得：；当③时，，，，解得：．故本题答案为：①或②或③（选一个即可）．变式9-3-2．（2022·宿迁期末）已知关于的方程．（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形的边长，另两边的长、恰好是这个方程的两根时，求的周长．【详解】（1）证明：△，方程总有实根；解：（2）两实数根互为相反数，，解得：；（3）①当时，则△，即，，方程可化为，，而，（不合题意，舍去）；②当，则，，方程化为，解得：，，，，当时，同理得：，；综上，的周长为10．【9.4】新定义——“倍根方程”典例9-4．规定：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程是倍根方程；②若关于的方程是倍根方程，则；③若是倍根方程，则或；④若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程．上述结论中正确的有　　A．①④ B．①③ C．②③④ D．②④【详解】解：的解为，，，该方程不是倍根方程，①错误；若是倍根方程，则，，，，，，，②正确；的解为或，当时，，当时，，③错误；点在反比例函数的图象上，，即，，解得：，，，是倍根方程，④正确．故本题选：．变式9-4．（2023·海阳期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．（1）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；（2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求该方程的根．【详解】解：（1）设这个方程的两个根分别为和，则，解得：，即这个方程的一个根为2，将代入方程得：，解得：；（2）设这个方程的两个根分别为和，由题意得：，整理得：，，将代入①得：，解得：，，所以该方程的根为或．考察题型十 一元二次方程的实际应用【10.1】增长率问题典例10-1．（2023·南京一模）为落实“书香中国”的发展战略，某图书馆2022年藏书量为10万册，计划到2024年藏书量达到14.4万册，求图书馆藏书量的年平均增长率．【详解】解：设图书馆藏书量的年平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：图书馆藏书量的年平均增长率为．变式10-1．（2023·盐城月考）2023年3月12日，大丰区飞达路初级中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植了25棵树苗，学生们在种植的过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天的植树增长率相同，九年级学生在14日种植了49棵树苗．（1）求平均每天植树的增长率？（2）求此次活动三个年级种植树苗的总棵数？【详解】解：（1）设平均每天植树的增长率为，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：平均每天植树的增长率为；（2）根据题意得：（棵），答：此次活动三个年级种植树苗的总棵数为109棵．【10.2】利润问题典例10-2．（2023·淮安期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加　　件，每件商品盈利　　元（用含的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？【详解】解：（1）降价1元，可多售出2件，降价元，可多售出件，盈利的钱数，故本题答案为，；（2）由题意得：，化简得：，即，解得：，，该商场为了尽快减少库存，降的越多，越吸引顾客，选，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．变式10-2-1．（2022·无锡期末）某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．（1）如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是　　元；（2）如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？【详解】解：（1）根据题意得：（元），故本题答案为：57；（2）设该校购进古典诗词类图书本，则购进散文类图书本．当时，，解得：，又为正整数，（不合题意，舍去）；当时，，整理得：，解得：（不合题意，舍去），；答：该校购进古典诗词类图书50本．变式10-2-2．（2023·无锡模拟）无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元千克，并且两次降价的百分率相同．（1）求水蜜桃每次降价的百分率；（2）①从第一次降价的第1天算起，第天为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：已知该种水果的进价为8.2元千克，设销售该水果第（天的利润为（元，求与之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．【详解】解：（1）设水蜜桃每次降价的百分率为，依题意得：，解得：，（舍），水蜜桃每次降价的百分率为；（2）①结合（1）得：第一次降价后的价格为（元），当时，，，随着的增大而减小，当元时，利润最大为（元）；当，，，当时，利润最大为960元；，第10天利润最大，最大利润为960元，综上，，第10天利润最大，最大利润为960元；②当时，，解得：，此时为1天利润不低于930元；当时，，根据图象法可解得：，，此时第天的利用不低于930元，（天）；综上，共有天利润不低于930元．【10.3】面积问题典例10-3．（2023·泰州二模）如图，用总长的篱笆依墙（墙足够长）围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．（1）的值为　　；的值为　　；（2）当矩形的面积为时，求的长．【详解】解：（1）矩形①和矩形②的面积相等，，又，，矩形①和矩形③的面积相等，且，，，故本题答案为：2，2；（2）设，则，，根据题意得：，整理得：，解得：，．答：的长为．变式10-3．（2023·宿迁期末）学校打算用长的栅栏围成一个矩形的花圃，花圃一面靠墙（如图），墙的最大可利用长度为．（1）若要围成一个面积为的矩形花圃，问该怎么围？（2）能否围成一个面积为的矩形花圃？请说明理由．【详解】解：（1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据题意得：，整理得：，解得：，，当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意；答：垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为6米；（2）不能围成一个面积为的矩形花圃，理由如下：假设能围成一个面积为的矩形花圃，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据题意得：，整理得：，△，该方程没有实数根，假设不成立，即不能围成一个面积为的矩形花圃．【10.4】动态问题典例10-4．（2023·天津期中）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动．（1）　　，　　，　　，　　（用含的代数式表示）；（2）为多少时，四边形的面积为；（3）为多少时，点和点的距离为．【详解】解：（1）当运动时间为时，，，，，故本题答案为：，，，；（2）依题意得：，整理得：，解得：，答：当为5时，四边形的面积为；（3）如图，过点作于点，则，依题意得：，即，解得：，，答：当为或时，点和点的距离为．变式10-4．（2022·佛山月考）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为．（1）是否存在某一时刻，使？若存在，请求出此时刻的值，若不存在，请说明理由．（2）点运动至何处时，？【详解】解：（1）存在，理由如下：假设存在某一时刻，使，，，，，，，符合题意最大为秒），存在某一时刻秒，使；（2）设运动秒时，，根据图示可知：，（平方厘米），平方厘米，平方厘米，平方厘米，，，解得：，，点到达点时，点同时停止运动，在整个运动过程中，，符合题意，此时，时，．【10.5】数字问题典例10-5．（2022·连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？【详解】解：设个位数字为，那么十位数字是，这个两位数是，依题意得：，，，，或3，答：这个两位数是25或36．变式10-5．一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458，求原两位数．【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，则整理，得：，解得：或，答：这个两位数是81或18．【10.6】传播问题典例10-6．（2023·南通二模）有1人患了流感后，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程　　A． B． C． D．【详解】解：每轮传染中平均一个人传染了人，第一轮有人被传染，第二轮有人被传染，根据题意得：，．故本题选：．变式10-6．（2023·海安月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出　　小分支．【详解】解：设每个支干长出个小分支，则，解得：，（舍去），每个支干长出9个小分支．故本题答案为：9个．【10.7】循环问题典例10-7．（2022·盐城期中）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是　　A． B． C． D．【详解】解：根据题意得：，即．故本题选：．变式10-7．（2022·苏州月考）一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共　　人．【详解】解：设这次会议与会人数是人，依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），这次会议与会人数是共9人．故本题答案为：9．时间天售价（元千克）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量千克储存和损耗费用元