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第17讲 直线与圆的位置关系8种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）
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这是一份第17讲 直线与圆的位置关系8种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版），文件包含第17讲直线与圆的位置关系8种常见考法归类教师版-新高二暑假衔接人教版docx、第17讲直线与圆的位置关系8种常见考法归类学生版-新高二暑假衔接人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共113页， 欢迎下载使用。
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点1 直线与圆的三种位置关系
注：直线与圆的位置关系及判断
知识点2 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点3 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
知识点4 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
1、判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
2、过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
3、过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
4、求切线长(最值)的两种方法
(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
5、求弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＝r2求解，这是常用解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
6、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
考点一：直线与圆位置关系的判断
（一）判断直线与圆的位置关系
例1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交且直线过圆C的圆心
变式1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
变式2．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
变式3．（2023秋·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
（二）由直线与圆的位置关系求参数
例2．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（ ）．
A．点在l上B．点在圆O上
C．点在圆O内D．点在圆O外
变式1．（2023春·浙江·高二期中）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
变式2．（2023秋·高一单元测试）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．，D．
变式4．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知两点，点是圆上任意一点，是锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
变式6．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______．
变式7．【多选】（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则
B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则
C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则
D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则
（三）由直线与圆的位置关系求距离最值
例3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
变式1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.
变式3．【多选】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．直线过定点B．点到直线的最大距离为
C．的最大值为3D．的最小值为2
变式4．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为______.
考点二：直线与圆的交点问题
例4．（2023秋·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式2．（2023春·浙江·高二期中）设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
变式3．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点是圆与轴的交点，为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，则直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
考点三：圆的切线问题
过圆上一点的切线方程
例4．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）经过点且与圆相切的直线方程为__________．
变式2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________．
变式4．（2023·河南开封·统考三模）已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则______．
变式5．（2023秋·高二课时练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．6
变式6．（2023秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________．
过圆外一点的切线方程
例5．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）求圆在点处的切线方程.
变式1．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点的圆的切线方程为 _________________．
变式2．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
变式3．（2023秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知点，圆O：，则过点P与圆O相切的直线有 _____条；切线方程为 _____.
变式4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）
变式5．（2023秋·高二单元测试）若在圆上运动，则的最大值为___.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知为圆C：上任意一点，且点．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
变式7．（2023春·河北·高二校联考期末）过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（ ）
A．B．C．D．
变式8．（2023·北京大兴·校考三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
与切线长有关的问题
例6．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.
变式1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
变式2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.
切线的应用
例7．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（ ）
A．B．C．3D．5
变式1．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
变式3．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考点四：圆的弦长问题求圆的弦长问题
例8．（2023秋·高二课时练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（ ）
A．B．8C．D．10
变式1．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线：与圆交于两点，则____________.
变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
变式3．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
已知圆的弦长求参数
例9．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）设直线与圆相交所得弦长为，则______；
变式1．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
变式2．（2023秋·高一单元测试）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有______条.
变式3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设、为正数，若直线被圆截得弦长为，则的最小值为__________.
变式5．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知过点的直线与圆心为的圆相交于，两点，当面积最大时，直线的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
圆的中点弦问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023秋·辽宁锦州·高二校考期中）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2023秋·北京·高二人大附中校考阶段练习）圆的一条弦以点为中点，则该弦的长为（ ）
A．2B．4C．D．
变式3．（2023秋·天津河东·高二统考期中）已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为__________．
考点五：直线与圆的综合问题
例11．【多选】（2023·湖北武汉·统考三模）已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线在y轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线与圆有2个交点
D．圆上的点到直线的最大距离为
变式1．【多选】（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆的圆心坐标为
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．若，直线被圆截得的弦长为4
变式2．【多选】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．当时，直线l与圆C相切
C．当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为
D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则
变式3．【多选】（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知圆，直线，P为直线上的动点，过点P作圆M的切线、，切点为A、B，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形面积的最小值为4B．四边形面积的最大值为8
C．当最大时，D．当最大时，直线AB的方程为
变式4．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）圆：，直线，点在圆上，点在直线l上，则下列结论正确的有（ ）
A．直线与圆相交
B．的最小值是1
C．若到直线的距离为2，则点有2个
D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是
变式5．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆相离
C．圆心到直线距离的最大值是
D．直线被圆截得的弦长最小值为
考点六：直线与圆方程的应用
例12．（2023春·广东广州·高二统考开学考试）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米．
变式1．（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
变式2．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.
(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
考点七：韦达定理及其应用
例13．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知点，若的面积为，求的值.
变式1．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点，，曲线C任意一点P满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
变式2．（2023秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．
变式3．（2023秋·高二单元测试）已知方程，．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求m的值．
变式4．（2023秋·辽宁大连·高三校联考阶段练习）圆．
(1)求证：不论为何值，圆必过两定点；
(2)已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，，问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
考点八：与圆有关的定点、定值问题
例14．（2023秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点．
(1)若，求直线的方程；
(2)证明：直线的斜率之和为定值．
变式1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若，点在圆上运动，证明：为定值．
变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知过点的直线l与圆交于A，B两点，M为的中点，直线l与直线相交于点N．
(1)当时，求直线l的方程；
(2)证明：为定值．
例15．（2023秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆，直线与圆O交于A，B两点．
(1)求；
(2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点．
变式1．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．
(1)若P点坐标为，求
(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
变式2．（2023春·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
2．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
3．【多选】（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
4．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
5．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
6．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
7．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
一、单选题
1．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
3．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（广东省江门市2023-2023学年高二下学期期末数学试题）若直线与圆相切，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）设直线被圆：所截得弦的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
9．（2023·高二课时练习）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
10．（2023秋·高二单元测试）设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （ ）
A．直线与圆相切B．圆截轴所得的弦长为
C．的最大值为D．的面积的最小值为
12．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知圆，直线，则（ ）
A．直线与圆C相交
B．直线过定点（2，1）
C．圆C被y轴截得的弦长为
D．圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=1
13．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程为B．四边形面积的最大值为
C．弦的长度的取值范围为D．直线恒过定点
14．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线l与圆相切于点M，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B点，则下列各选项正确的是（ ）
A．为定值B．的最小值为2
C．面积的最小值为2D．的最小值为
三、填空题
15．（2023秋·福建·高二校联考期中）平行于直线且与圆相切的直线的方程是__________．
16．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）若 圆被直线平分，则圆的半径为__________.
17．（2023春·浙江·高二校联考期末）若直线截圆所得弦长，则的值为______.
18．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________．
19．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为______.
20．（2023秋·福建·高二校联考期中）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是__________．
四、解答题
21．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求圆在轴截得的弦长．
22．（2023秋·四川南充·高二统考期末）已知圆，点．
(1)设，求过点且与相切的直线方程；
(2)已知直线与相交于M、N两点，过点作，垂足为．若恒成立，问是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
23．（2023·高二课时练习）已知过点，且斜率为的直线与圆：相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：定值；
(3)若O为坐标原点，且，求k的值．
24．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切
(1)求圆O的方程；
(2)若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程．
25．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；
条件②：．
26．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．
(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．
27．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
28．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
(1)求圆的方程；
(2)求过点的圆的切线方程.
29．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆过两点，，且圆心P在直线上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
30．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知圆过点，，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
注：直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点1 直线与圆的三种位置关系
注：直线与圆的位置关系及判断
知识点2 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点3 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
知识点4 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
1、判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
2、过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
3、过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
4、求切线长(最值)的两种方法
(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
5、求弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＝r2求解，这是常用解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
6、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
考点一：直线与圆位置关系的判断
（一）判断直线与圆的位置关系
例1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交且直线过圆C的圆心
变式1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
变式2．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
变式3．（2023秋·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
（二）由直线与圆的位置关系求参数
例2．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（ ）．
A．点在l上B．点在圆O上
C．点在圆O内D．点在圆O外
变式1．（2023春·浙江·高二期中）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
变式2．（2023秋·高一单元测试）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．，D．
变式4．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知两点，点是圆上任意一点，是锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
变式6．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______．
变式7．【多选】（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则
B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则
C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则
D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则
（三）由直线与圆的位置关系求距离最值
例3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
变式1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.
变式3．【多选】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．直线过定点B．点到直线的最大距离为
C．的最大值为3D．的最小值为2
变式4．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为______.
考点二：直线与圆的交点问题
例4．（2023秋·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式2．（2023春·浙江·高二期中）设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
变式3．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点是圆与轴的交点，为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，则直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
考点三：圆的切线问题
过圆上一点的切线方程
例4．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）经过点且与圆相切的直线方程为__________．
变式2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________．
变式4．（2023·河南开封·统考三模）已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则______．
变式5．（2023秋·高二课时练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．6
变式6．（2023秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________．
过圆外一点的切线方程
例5．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）求圆在点处的切线方程.
变式1．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点的圆的切线方程为 _________________．
变式2．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
变式3．（2023秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知点，圆O：，则过点P与圆O相切的直线有 _____条；切线方程为 _____.
变式4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）
变式5．（2023秋·高二单元测试）若在圆上运动，则的最大值为___.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知为圆C：上任意一点，且点．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
变式7．（2023春·河北·高二校联考期末）过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（ ）
A．B．C．D．
变式8．（2023·北京大兴·校考三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
与切线长有关的问题
例6．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.
变式1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
变式2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.
切线的应用
例7．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（ ）
A．B．C．3D．5
变式1．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
变式3．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考点四：圆的弦长问题求圆的弦长问题
例8．（2023秋·高二课时练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（ ）
A．B．8C．D．10
变式1．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线：与圆交于两点，则____________.
变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
变式3．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
已知圆的弦长求参数
例9．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）设直线与圆相交所得弦长为，则______；
变式1．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
变式2．（2023秋·高一单元测试）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有______条.
变式3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设、为正数，若直线被圆截得弦长为，则的最小值为__________.
变式5．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知过点的直线与圆心为的圆相交于，两点，当面积最大时，直线的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
圆的中点弦问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023秋·辽宁锦州·高二校考期中）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2023秋·北京·高二人大附中校考阶段练习）圆的一条弦以点为中点，则该弦的长为（ ）
A．2B．4C．D．
变式3．（2023秋·天津河东·高二统考期中）已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为__________．
考点五：直线与圆的综合问题
例11．【多选】（2023·湖北武汉·统考三模）已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线在y轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线与圆有2个交点
D．圆上的点到直线的最大距离为
变式1．【多选】（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆的圆心坐标为
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．若，直线被圆截得的弦长为4
变式2．【多选】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．当时，直线l与圆C相切
C．当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为
D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则
变式3．【多选】（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知圆，直线，P为直线上的动点，过点P作圆M的切线、，切点为A、B，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形面积的最小值为4B．四边形面积的最大值为8
C．当最大时，D．当最大时，直线AB的方程为
变式4．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）圆：，直线，点在圆上，点在直线l上，则下列结论正确的有（ ）
A．直线与圆相交
B．的最小值是1
C．若到直线的距离为2，则点有2个
D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是
变式5．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆相离
C．圆心到直线距离的最大值是
D．直线被圆截得的弦长最小值为
考点六：直线与圆方程的应用
例12．（2023春·广东广州·高二统考开学考试）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米．
变式1．（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
变式2．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.
(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
考点七：韦达定理及其应用
例13．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知点，若的面积为，求的值.
变式1．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点，，曲线C任意一点P满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
变式2．（2023秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．
变式3．（2023秋·高二单元测试）已知方程，．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求m的值．
变式4．（2023秋·辽宁大连·高三校联考阶段练习）圆．
(1)求证：不论为何值，圆必过两定点；
(2)已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，，问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
考点八：与圆有关的定点、定值问题
例14．（2023秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点．
(1)若，求直线的方程；
(2)证明：直线的斜率之和为定值．
变式1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若，点在圆上运动，证明：为定值．
变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知过点的直线l与圆交于A，B两点，M为的中点，直线l与直线相交于点N．
(1)当时，求直线l的方程；
(2)证明：为定值．
例15．（2023秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆，直线与圆O交于A，B两点．
(1)求；
(2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点．
变式1．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．
(1)若P点坐标为，求
(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
变式2．（2023春·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
2．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
3．【多选】（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
4．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
5．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
6．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
7．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
一、单选题
1．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
3．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（广东省江门市2023-2023学年高二下学期期末数学试题）若直线与圆相切，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）设直线被圆：所截得弦的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
9．（2023·高二课时练习）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
10．（2023秋·高二单元测试）设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （ ）
A．直线与圆相切B．圆截轴所得的弦长为
C．的最大值为D．的面积的最小值为
12．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知圆，直线，则（ ）
A．直线与圆C相交
B．直线过定点（2，1）
C．圆C被y轴截得的弦长为
D．圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=1
13．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程为B．四边形面积的最大值为
C．弦的长度的取值范围为D．直线恒过定点
14．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线l与圆相切于点M，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B点，则下列各选项正确的是（ ）
A．为定值B．的最小值为2
C．面积的最小值为2D．的最小值为
三、填空题
15．（2023秋·福建·高二校联考期中）平行于直线且与圆相切的直线的方程是__________．
16．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）若 圆被直线平分，则圆的半径为__________.
17．（2023春·浙江·高二校联考期末）若直线截圆所得弦长，则的值为______.
18．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________．
19．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为______.
20．（2023秋·福建·高二校联考期中）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是__________．
四、解答题
21．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求圆在轴截得的弦长．
22．（2023秋·四川南充·高二统考期末）已知圆，点．
(1)设，求过点且与相切的直线方程；
(2)已知直线与相交于M、N两点，过点作，垂足为．若恒成立，问是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
23．（2023·高二课时练习）已知过点，且斜率为的直线与圆：相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：定值；
(3)若O为坐标原点，且，求k的值．
24．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切
(1)求圆O的方程；
(2)若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程．
25．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；
条件②：．
26．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．
(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．
27．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
28．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
(1)求圆的方程；
(2)求过点的圆的切线方程.
29．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆过两点，，且圆心P在直线上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
30．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知圆过点，，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
几何法
（常用）
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
注：直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
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