第22讲 双曲线的简单几何性质9种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用.
知识点1 双曲线的几何性质
注：1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1可得eq \f(x2,a2)＝1＋eq \f(y2,b2)≥1，于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式eq \f(x2,a2)≥1，y∈R，所以x≥a 或x≤－a; y∈R.
2．对称性
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个．
(2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．
4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝eq \f(b,a)eq \r(x2－a2)，它与y＝eq \f(b,a)x的位置关系：在y＝eq \f(b,a)x的下方．
它与y＝eq \f(b,a)x的位置的变化趋势：慢慢靠近．
(1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)等轴双曲线的离心率为eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x.
(5)焦点到渐近线的距离为b.
5．离心率
(1)定义：e＝eq \f(c,a).
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(e2－1)，说明越趋近于1，则eq \f(b,a)的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
(4)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
知识点2 等轴双曲线和共轭双曲线
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a＞0)．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝eq \r(2).
(3)等轴双曲线的方程，；
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：
(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
知识点3 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

（为直线斜率）
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
1、由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
注：求性质时一定要注意焦点的位置．
2、求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝eq \f(c,a)列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，那么此双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(3)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(4)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
3、双曲线渐近线的有关结论
(1)若双曲线方程为渐近线方程：
(2)若双曲线方程为（，）渐近线方程：
(3)若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
(4)若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
4、求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解，若已知a，b，可利用e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝eq \f(c,a)，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
5、直线与双曲线的位置关系
(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
(2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
(3)双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
考点一：双曲线的几何性质
例1．【多选】（2023春·江苏盐城·高二统考期末）下列关于双曲线的判断，正确的是（ ）
A．顶点坐标为B．焦点坐标为
C．实轴长为D．渐近线方程为
【答案】ACD
【分析】确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误.
【详解】对于双曲线，，，则，
对于A选项，双曲线的顶点坐标为，A对；
对于B选项，双曲线的焦点坐标为，B错；
对于C选项，双曲线的实轴长为，C对；
对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，D对.
故选：ACD.
变式1．【多选】（2023秋·云南怒江·高三校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ）
A．的焦点坐标为B．的顶点坐标为
C．的离心率为D．的焦点到渐近线的距离为
【答案】BC
【分析】根据给定的双曲线，求出焦点坐标、离心率、及焦点到渐近线的距离判断作答.
【详解】双曲线的焦点在y轴上，A错误，
实半轴长，虚半轴长，半焦距，
双曲线的顶点坐标为，B正确；
双曲线的离心率，C正确；
双曲线的渐近线方程为：，因此焦点到渐近线的距离为，D错误.
故选：BC
变式2．【多选】（2023秋·浙江金华·高二统考期末）已知双曲线，则（ ）
A．渐近线方程为B．焦点坐标是
C．离心率为D．实轴长为4
【答案】ABD
【分析】由双曲线方程求双曲线，焦点坐标，离心率，实轴长.
【详解】由双曲线方程为：，焦点在轴，
所以，
所以渐近线方程为，故A正确，
焦点坐标为，故B正确，
离心率为：，故C错误，
实轴长为：，故D正确，
故选：ABD.
变式3．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）若实数m满足，则曲线与曲线的（ ）
A．离心率相等B．焦距相等C．实轴长相等D．虚轴长相等
【答案】B
【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.
【详解】因为，所以，
所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线，
，
所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；
因为，所以离心率不相等，故A错误；
因为，所以实轴长不相等，故C错误；
因为，所以虚轴长不相等，故D错误.
故选：B.
变式4．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的焦点坐标为，B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率D．双曲线的实轴长为1
【答案】B
【分析】根据焦点相同求出双曲线方程为，逐项分析即可判断.
【详解】对A，因为椭圆的方程为，所以，故焦点为，
故双曲线的焦点坐标为，故A错误；
对B，由A得，解得，故双曲线方程为，
故其渐近线方程为，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，由双曲线方程可知其实轴长为2，故D错误；
故选：B.
变式5．【多选】（2023春·福建三明·高二校联考开学考试）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（ ）
A．焦距B．顶点坐标
C．离心率D．渐近线方程
【答案】CD
【分析】根据双曲线的标准方程，表示出，求得焦距、顶点坐标、离心率以及渐近线方程，可得答案.
【详解】由方程，则该双曲线的标准方程为，即，，
则焦距为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为.
故选：CD.
考点二：由双曲线的几何性质求标准方程
例2．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，
(1)求双曲线标准方程；
(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）根据已知条件列方程求出a，b，c，然后可得标准方程；
（2）根据（1）中a，b，c，的值直接写出所求即可.
【详解】（1）由题知，，解得，所以，
所以双曲线标准方程为：.
（2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即.
变式1．（2023春·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习）与双曲线有公共焦点，且长轴长为的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和的关系可得椭圆方程.
【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：，椭圆焦点在轴上，且，
又长轴长为，即，，，
椭圆方程为：.
故选：A.
变式2．（2023·全国·高二专题练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ．
【答案】
【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解．
【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，
即，解得或（舍去），
故所求双曲线方程为．
故答案为：
变式3．（2023·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程.
【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.
设双曲线的方程为，
故，解得，
故双曲线的标准方程为.
故选:A.
变式4．（2023春·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的性质求解.
【详解】由题可得，解得，
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
变式5．（2023·全国·高三对口高考）与有相同渐近线，焦距，则双曲线标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线及渐近线方程的定义求解即可.
【详解】（1）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距，所以，所以，
联立，解得，则双曲线方程为；
（2）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距，所以，所以，
联立，解得，则双曲线方程为，
所以双曲线的标准方程为：或.
综上，双曲线标准方程为.
故选：D
考点三：双曲线的渐近线
例3．（2023秋·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】将点的坐标代入方程，求出，即可求出渐近线方程.
【详解】双曲线经过点，
，，解得，所以双曲线方程为，
又，则该双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
变式1．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两个双曲线有相同的焦点，由，得到双曲线的方程求解.
【详解】由，得，
由题得，
解得，
所以，
所以的渐近线方程为.
故选：C.
变式2．（2023春·河南平顶山·高二统考期末）双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】A
【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】依题意得，，，
所以，，，
所以渐近线方程为，右焦点为，
所以点到渐近线的距离为.
故选：A
变式3．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】 （或）
【分析】写出双曲线 的一条渐近线方程和一个焦点坐标，根据双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，求得b即可.
【详解】解：双曲线 的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为 ，
因为双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，
所以，
解得
所以该双曲线的渐近线方程为y=
故答案为： （或）
变式4．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的焦点到渐近线的距离是（ ）
A．1B．C．2D．1或
【答案】B
【分析】根据双曲线的方程写出焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离即可得解.
【详解】不妨取双曲线的右焦点，由题可知，设双曲线的渐近线方程为，
所以右焦点到渐近线的距离，
故选：B
变式5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知F为双曲线的左焦点，点，若直线与双曲线仅有一个公共点，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解.
【详解】由双曲线可得，
则双曲线的左焦点，渐近线为，
由题意可得：直线与渐近线平行，则，解得.
故选：C.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程得右焦点坐标和渐近线方程，可得直线l的方程，与双曲线联立方程组，利用韦达定理可求M，N两点的纵坐标之和.
【详解】双曲线C：，右焦点，渐近线方程为．如图所示，
假设直线l垂直于，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
将直线l与双曲线C联立消x得，
设，，故；
同理可得，当直线l垂直于时，解得．
故答案为：
变式7．（2023·四川自贡·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为 ．
【答案】
【分析】先根据直线的交点结合两点间距离公式求出三角形的边长，再由三角形面积等于周长与内切圆半径的积的一半，计算求解即可.
【详解】
双曲线C：的左焦点为，到渐近线的距离,
联立方程组，
解得
可得，
设的内切圆的半径为，在中，，
故答案为：.
变式8．（2023春·陕西西安·高二统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则 ，直线的斜率为 .
【答案】 2
【分析】先根据双曲线的方程求出和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式可求出，过作轴于，可求出点的坐标，从而可求出直线的斜率.
【详解】由，得，渐近线方程为，
所以，
所以，，
由双曲线的对称性，点到两渐近线的距离相等，
不妨取渐近线，则，
在直角中，，
过作轴于，则，
所以，
所以或，
所以直线的斜率为或，
故答案为：2，
考点四：双曲线的离心率问题
求双曲线的离心率
例4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率等于（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】不妨设双曲线的方程为，由条件求关系，由此可求离心率.
【详解】不妨设双曲线的方程为，则
双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以，故，
所以双曲线的离心率，
故选：A.
变式1．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解.
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选：C.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）设分别是双曲线的左､右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出 的方程，与渐近线联立求出P的坐标，进而求出的值，由点到直线的距离公式，求的值，由由求出a，c的关系，进而求出离心率．
【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点，
到渐近线的距离，
由渐近线的对称性，设渐近线为，①
则直线方程为∶ ②，
由①②可得， 则，
左焦点，所以 ，
由，有，得，
即 ， ，则的离心率为
故选∶C·
变式3．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义及正三角形，可得，利用双曲线定义可求解，从而求出离心率.
【详解】由题知双曲线的实半轴长，虚半轴长为，设双曲线的焦距为.
如图，直线与双曲线右支相交于两点，设，则，
由为等边三角形，得，可得，
又由双曲线的性质知，故，
所以，.
所以，所以，；
故选：D.

变式4．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知双曲线的焦点为、，渐近线为，，过点且与平行的直线交于，若在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件联立方程组，求点的坐标，结合点在以线段为直径的圆上，列关系式求离心率.
【详解】由双曲线的对称性，不妨设的方程为，
设双曲线的半焦距为，
因为直线与直线平行，
所以直线的方程为，又直线的方程为，
联立，可得，
故点的坐标为，
因为在以线段为直径的圆上，
所以，为坐标原点，
所以，
所以，
所以双曲线的离心率，
故选：A.

变式5．（2023春·湖南·高二校联考期末）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解.
【详解】延长与双曲线交于点，
因为，根据对称性可知，
设，则，
可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值；
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
变式6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据已知条件求出点的坐标为，得，再根据为的平分线，推出，，由此可得离心率.
【详解】因为为的平分线，所以，
又因为，所以，
设，因为点在渐近线上，所以，
因为，所以，所以，所以，
又点在第二象限内，所以，，所以点的坐标为，
所以，所以，所以，
所以，可得，

故选：C.
变式7．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用向量的中点性质与双曲线的定义求得，，再利用余弦定理得到关于的齐次方程，解之即可.
【详解】依题意，设双曲线的半焦距为，则，，

因为是的中点，所以，
故由得，
因为，，所以，
在中，，
在中，，
所以，则，即双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的运算法则与双曲线的定义，从而得到所需线段的长度，再构造关于的齐次方程即可得解.
变式8．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 .
【答案】/
【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可.
【详解】
如图所示，设，则，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因为，过M作轴于D，，
故，
即，故，
解之得（负值舍去）.
故答案为：
变式9．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知双曲线：的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是 .
【答案】/
【分析】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，利用双曲线的定义即可得到，则得到关于的方程，则得到离心率.
【详解】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，
则.
由双曲线的定义可得，
则，
因为，所以，
则周长的最小值为，结合，
整理得，即，解得（负舍）.
故答案为：.

求双曲线离心率的取值范围
例5．（2023秋·高二校考单元测试）已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当时，曲线为双曲线，得到，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】当时，∴曲线方程化为，曲线为双曲线，
所以，，，
所以，因为，所以.
故答案为：.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意设点并解出Q点坐标为，再根据可得，即可解得，由P为双曲线右支上一点可得，解不等式即可求得离心率的取值范围.
【详解】如下图所示，根据题意可得，
设，则直线的方程为，
所以直线与轴的交点，
由可得，即，
整理得，即；
又因为P为双曲线右支上一点，所以，
当时，共线与题意不符，即；
可得，整理得，即，
解得或（舍）；
即双曲线E的离心率的取值范围为.
故答案为：
变式2．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率即可求解.
【详解】
依题意，可得，则，
又因为直线l垂直平分线段，所以，
因为直线l与C存在公共点，
所以，即，
则，即，解得，
所以双曲线C的离心率的取值范围是.
故选：B
变式3．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上，即可得到，即可得到离心率的取值范围.
【详解】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上.
所以必须满足，得，，，，
又，.
故选：B
变式4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，点P异于坐标原点O，若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得到的距离为及，根据，结合题意转化为的不等式，即可求解离心率的范围.
【详解】由题意，双曲线，
则其中一条渐近线方程为，即
可得到渐近线的距离为，即，则，
设，即，其中，
因为，可得，
整理得，所以，
解得：，
又因为，所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选：A．
变式5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，记为双曲线：的左焦点，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且线段与交于点，若，则的离心率的取值范围为
【答案】
【分析】根据条件，可得，，利用余弦定理，结合直角三角形，通过的范围，推出，的范围，然后求解离心率的范围．
【详解】由为双曲线：的左焦点，
以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且线段与交于点，
可得，，，
记双曲线的右焦点为，，
在中，，
为直角三角形，
，，化简得，
线段与交于点，且，，即，
，即，
，，
故答案为：．
（三）根据双曲线的离心率求参数
例6．（2023·北京石景山·校考模拟预测）已知双曲线的离心率大于，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】由双曲线的离心率公式计算即可
【详解】双曲线的离心率大于，
可得，解得m＞1.
故答案为：.
变式1．（2023·北京密云·统考三模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .
【答案】
【分析】根据已知条件求得，由此求得双曲线焦点坐标和渐近线方程.
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以，解得，
所以双曲线方程为，
则，
所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为.
故答案为：；.
变式2．（2023秋·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为
【答案】
【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可
【详解】因为表示双曲线的方程，
所以有，因此，
因为，
所以由
，
即k的取值范围为，
故答案为：.
变式3．（2023·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用已知条件求解双曲线的离心率，列出不等式，求解，然后求解虚轴长的范围即可．
【详解】因为，所以，
所以，所以，解得，
则，故虚轴长.
故答案为：.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】由双曲线的定义结合勾股定理得出，再由等面积法得出，，再由结合离心率公式以及范围得出k的取值范围.
【详解】设，由题可知，∴.
∴，∴，∴.
又由，可知，∴，解得.
∵，，∴.
∴，依题意，，∴.
故答案为：
考点五：直线与双曲线的位置关系
根据直线与双曲线的位置关系求参数
例7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去，利用判别式研究即可.
【详解】联立，消去得，
当时，方程有解，即直线与双曲线有公共点；
当时，，解得或.
故选：C.
变式1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条．
A．0B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点．
【详解】由双曲线得其渐近线方程为．
①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，
化为得到，解得．
则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条．
故选:.
变式2．（2023·高二课时练习）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是( )
A．4B．2
C．1D．－2
【答案】A
【分析】利用双曲线的图形及性质，求出t的范围，即可得到选项．
【详解】在中，，
当或时，均只有一个交点，
当时，有两个交点，
当时，无交点．
故选A.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
变式3．（2023·高二单元测试）如果函数的图象与曲线C：恰好有两个不同的公共点，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，分、确定函数的图象与方程的曲线必相交于，为了使函数的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．代入曲线方程，可得结论，根据对称性，同理可得时的情形．
【详解】由可得，时，；时，，
∴函数的图象与方程的曲线必相交于，
为了使函数的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，
则代入方程，整理可得，
当时，，交点为，
当时，由于，2是方程的根，
∴当，即时，方程两根异号，满足题意；
代入方程，整理可得，
当时，，交点为，所以满足题意；
由于，是方程的根，
∴当，即时，方程两根异号，满足题意；
综上知，实数λ的取值范围是.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对函数讨论去绝对值再与曲线方程联立，结合公共点的个数求得λ的取值范围，本题考查曲线的交点及二次方程根的问题，考查分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想．
变式4．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将曲线的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根据直线与双曲线的渐近线平行，利用数形结合讨论临界位置结合交点个数即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意得曲线，即，可得；
当时得到即；
当时得到；
由以上可得曲线的如图中所示，
易知直线与双曲线的一条渐近线平行；
把直线向上平移到点时，即与曲线有两个交点，此时；
继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点．
当直线与椭圆的上半部分相切时，
联立直线与椭圆的方程代入整理得
即或（舍），由图示可得；
综上可知.
故选：C
（二）弦长问题
例8．（2023·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【分析】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可.
【详解】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；
故可设，
与双曲线联立可得，
，
由弦长公式知，
则或.
故存在四条直线满足条件.
故选：D
变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得.
【详解】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，，
故选：D
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解
【详解】由题意可设双曲线方程为，，
由得，则，，
不妨假设，则，
由图象的对称性可知，
可化为，
即，解得，
故双曲线方程为：，
故选：C
变式4．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3．
(1)求的方程；
(2)经过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设，表示出分别与，连线的斜率之积，再将化简即可得出答案；
（2）联立直线PQ方程与双曲线方程，结合题意由韦达定理求出的范围，表示出的面积，将韦达定理代入化简即可得出答案.
【详解】（1）由题，不妨设点，，的方程为．
因为在上，则，即有，
则分别与，连线的斜率之积为，
所以的方程为．

（2）由题知，直线的斜率存在，设为，则的方程为，
联立方程组消去，得，
令，，则，
因为直线分别交的左、右支于M，N两点，
则，，
则，的面积，
则，
解得或（舍去），则，所以的方程为．

【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与双曲线相交问题以及双曲线中三角形面积问题，解答本题的关键在于由韦达定理表示出代入的面积，然后通过计算得到的值.
变式5．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线.
(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；
(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）联立方程组，消元后得到，分、两种情况求解即可；
（2）先由题意可得，令直线l与y轴交于点，从而得到，再结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）由，消去，得①，
当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）.
当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时），
综上得的取值是或；
（2）设交点，由，消去，得，
首先由，得且，
并且，
又因为与的左右两支分别交于A､B两点，
所以，即，解得，
故.
因为直线l与y轴交于点，
所以，
故.
解得或.
因为，所以.
变式6．（2023·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由通径长、离心率列方程组求得得双曲线方程；
（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得的范围，由韦达定理得，由弦长公式得弦长，再求得的坐标得线段长，然后计算比值，由的范围各结论．
【详解】（1）由题可知，，解得，所以双曲线的标准方程为；
（2）由题可知，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，
联立消去，得，
所以，解得，
且，
所以
.
联立可得，同理可得，
所以，
所以，
其中，则，所以.
【点睛】方法点睛：直线与双曲线相交弦长问题，一般由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，再由弦长公式得弦长，不需要求得两交点的具体坐标．
变式7．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且.
(1)求双曲线及其渐近线的方程；
(2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，求出，再由双曲线的定义求出，即可得出方程；
（2）设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理及弦长公式求出，
再联立直线与渐近线方程得出的横坐标，再由弦长公式求出，再由即可得解.
【详解】（1）由题意知，，即，
由轴，可知，代入双曲线方程可得，
又，即，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）可知，，所以，
设直线方程为 ，，，，，
由，可得，
，，
，
由可知双曲线的渐近线方程为和，
联立可得，同理可得
由可得，，
化简可得，即，
整理得，，解得.
（三）中点弦问题
例9．（2023秋·河南信阳·高二统考期末）过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可.
【详解】设直线l：，由，
得，（※）
设，，则，由，即，得，此时，（※）式为，由于，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在.
故选：A
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线的斜率，进而得到直线的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.
【详解】不妨设，，
从而，，
由两式相减可得，，
又因为线段AB的中点为，从而，，
故，即直线AB的斜率为，
直线AB的方程为：，即，
将代入可得，，
从而，，
故.
故选：C.
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】D
【分析】设出，，利用“点差法”即可求出结果.
【详解】设，，则有与，两式相减得：，即，
又因为为AB的中点，所以，得到，
即直线AB的斜率为6.
故选：D.
变式3．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.
【详解】因为双曲线的标准方程为，
所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，
所以双曲线的标准方程为，
设，所以①，②，
①-②得，，
化简得③，
因为线段的中点为，所以，
代入③，整理得，
显然，所以直线的斜率.
故选：B
变式4．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解.
【详解】解：设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
变式5．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果.
【详解】设，且，
由得：，即，
为中点，，，，
直线方程为：，即；
由得：，
则，满足题意；
直线的方程为：.
故选：A.
变式6．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，利用点差法结合中点坐标可得，从而可求双曲线C的渐近线方程.
【详解】设，，则，由点差法得．
∵，∴，，∴，又，
∴，∴渐近线方程为.
故选：A．
考点六：双曲线的最值（范围）问题
例10．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知实数满足，则下列正确的选项有（ ）
A．的最小值为
B．的取值范围为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对A，将双曲线方程代入可得，再结合或求解最小值即可；对B，设，根据题意可得与有交点，再数形结合分析的范围即可；对C，根据展开，结合基本不等式取等号的条件判断即可；对D，注意到所求式为二次时，故可根据“1”的妙用，可得，再根据双曲线性质可得，再换元根据基本不等式求解即可.
【详解】对A，因为，故，故，又由双曲线性质可得或，故当时原式取最小值，故A正确；
对B，设，则与有交点，此时分析相切时的临界条件.
联立，即，故，解得，数形结合可得或，故B正确；
对C，，当且仅当，即时取等号，但代入可得无解，故的最大值不能取到，故C错误；
对D，由题，，由双曲线的渐近线可得，，故可设，则，当且仅当，即时取等号，此时，故的最小值为，故D正确.
故选：ABD
变式1．（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，设出，，表达出，配方后求出最小值，从而得到答案.
【详解】由题知：设，，则，
由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，

则
，当时，等号成立，
故，
故答案为:.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设点P(x,y),（x≥1），所以，再对y分类讨论利用函数的单调性求的取值范围.
【详解】设点P(x,y),（x＞1），所以，
因为，当y＞0时，y=,
所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是增函数，
所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.
当y≤0时，y=,
所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是减函数，
所以当y≤0时函数k(x)＞0.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积计算，考查双曲线的简单几何性质，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
变式3．（2023秋·四川·高二成都七中校考期中）若是曲线上不同的两点，为坐标原点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】先整理化简得，设，，得到，分轴和不垂直于轴，两种情况讨论，当不垂直于轴，设:，两方程联立消，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理，代入，化简整理即可得出结果.
【详解】∵，
∴可化为，
设，，
则，
则，，
∴，
若轴，此时，，
∴，
若不垂直于轴，设:，
∴，
∴，
∴，，
则，
∴
，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】分轴和不垂直于轴，两种情况讨论，当不垂直于轴，设:，两方程联立消，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理是解决本题的关键.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】当时，得，要由，解得，故当时，即可得到答案.
【详解】设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得
，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是．
故选：D.
变式5．（2023春·全国·高三校联考开学考试）在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点､，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M的轨迹即可.
【详解】当M在第一象限时，如图，设直线AM，BM与圆分别相切于点E，F，
由题可知，，，
又∵，
∴
∴根据双曲线的可知，M在以A、B为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)，
∴此时M恒坐标；
当M在第三象限时，如图，
同理可得，
∴根据双曲线的定义可知，此时M是以A、B为焦点的双曲线的左支上的点(不能为顶点)，∴此时M恒坐标；
综上，M点的横坐标的取值范围.
故选：A.
变式6．（2023秋·高二校考课时练习）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得，结合点P在双曲线上，可得，利用双曲线的x的范围可推出，再结合，即得答案.
【详解】设双曲线上的点满足，即 ，
即，
又，
，即，
，且，，
则，，
又，实数b的取值范围是，
故答案为：.
考点七：双曲线的向量问题
例11．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解；
（2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.
【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，
又因为双曲线C：过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知：，则，
由题意设直线方程为，令，得，则，
设，则，
因为，
所以，则，
解得，因为点Q在双曲线上，
所以，解得，
所以直线l的斜率为.
变式1．（2023秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）由题意知，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到与关系式，从而求得，进而可求得的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则可得到，的坐标，进而可直接求解的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线的方程和的方程可得到关于的一元二次方程，从而可得到，，代入即可求解的值，综上，即可得到的值．
【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，
所以到的一条渐近线的距离为，所以，
又，解得，所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，解得，
所以，，
所以
．
综上，．
变式2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．

(1)当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离；
(2)当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)2
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由点到直线的距离公式可直接求解；
（2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点Q，再设出点的坐标，根据得出点的横、纵坐标之间的关系式，与双曲线联立消去，由韦达定理即可解答.
【详解】（1）双曲线，焦点在轴上，，
则双曲线左、右焦点分别为，，渐近线方程为，
当直线平行于的一条渐近线时，不妨令，则直线的方程为，即，
则点到直线的距离为.
（2）不存在，理由如下：
当直线l的斜率为1时，直线方程为，因此，
又，所以，
设的右支上的点，则，
由得，
又，联立消去得，
由韦达定理知，此方程无正根，
因此，在的右支上不存在点P，满足.
【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，解题关键是能够利用来构造等量关系，结合韦达定理得到结论.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点A的坐标求得，结合双曲线的定义求得，进一步计算得出双曲线的方程即可；
（2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程.
【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，
则，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
考点八：双曲线的定点、定值问题
例12．（2023秋·重庆·高二校联考阶段练习）已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，是C上一点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出双曲线标准方程，由共焦点得a2+b2=6，再将点代入标准方程联立即可求解；
（2）要证以AB为直径的圆过点M，即证AM⊥BM，设直线l为y=m（m≠0），结合双曲线方程求出，证明即可.
(1)
由已知设双曲线C的方程为，
由已知得a2+b2=12-6=6，且，
解得a2=b2=3，∴双曲线C的方程为；
(2)
证明：设直线l的方程为y=m（m≠0），
与x2-y2=3联立解得或，
不妨设，
由（1）知点，
∴AM，BM的斜率分别为，
，
所以AM⊥BM，
故以AB为直径的圆过点M.
变式1．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上.
(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
【答案】(1)
(2)证明见详解.
【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义求出双曲线的方程联立进行求解即可；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.
【详解】（1）如图：

因为双曲线的实轴长为，
所以，即.又因为C的一条渐近线斜率为，
所以，所以，故双曲线.
则其右焦点坐标为，因为直线l过C的右焦点，且斜率为，
所以直线l的方程为：，设，.
联立得：，
所以由韦达定理得：，.
所以，
点到直线l的距离为：.
所以.
（2）证明：如图

设直线PQ的方程为：，设，.
联立得：.
，即
所以：，.
而，则，.
因为，所以
整理的：，
所以，
所以：，
所以，
整理得：，
代入韦达定理得：，
所以，
整理得：，
即，则或.
当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点；
当时，直线线PQ的方程为：，所以过定点.
即为，因为P，Q为双曲线C上异于点的两动点，所以不符合题意.
故直线PQ过的定点为.
【点睛】与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理建立关系即可解决问题.
变式2．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线：交于点.
(1)求，的方程；
(2)设A是与在第一象限的公共点，作直线l与的两支分别交于点M，N，使得.求证：直线MN过定点.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出双曲线渐近线方程，由已知列出关于a，b的方程组即得方程，代入求出得的方程.
（2）求出点A的坐标，设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及向量数量积探求、计算判断作答.
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为：，
因为的渐近线过，则有，解得，
则，由抛物线过，得，则，
所以，的方程分别为，.
（2）由于点，在双曲线左右两支上，则直线的斜率存在，设的方程为，

由消去y得：，，
即，则，，
，
由，解得，于是，，
由，得，即
，
整理得：，即，
显然不在直线上，即，于是，满足，
因此直线的方程为，即，恒过定点，
所以直线过定点.
【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
变式3．（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为1.
(1)求该双曲线的方程；
(2)过点的动直线（存在斜率）与双曲线的右支交于两点，轴上是否存在一个异于点的定点，使得成立．若存在，请写出点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点
【分析】（1）根据条件列出关于的方程组求解即可；
（2）假设存在定点满足已知条件，故设，结合正弦定理得，则，当直线的斜率为0时，显然不符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线联立，由直线与双曲线的右支交于两点，求得范围，然后结合韦达定理及求解即可.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，点到渐近线的距离为1，
，解得，
双曲线的方程为.
（2）假设存在定点满足已知条件，故设，
，，
在和中，由正弦定理得
，及，
，及，
，
又，
，
直线与直线的倾斜角互补，，

当直线的斜率为0时，显然不符合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，
联立，得，
所以，
又因为直线与双曲线的右支交于两点，
，即，，
则，解得，
，
又，
，即，
，
即，解得，
存在定点，使得成立.
变式4．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意代入相应的点运算求解即可；
（2）设直线的方程以及的坐标，再根据题意结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）易知双曲线关于轴对称，，关于轴对称，故，都在双曲线上，
若，，在双曲线上，
则，解得，不满足；
若，，在双曲线上，
则，解得，满足；
综上所述：双曲线的方程为.
（2）设直线与直线的斜率分别为，
如果直线斜率不存在，则，不符合题设，
设直线：，，，，
联立，整理得，
，化简得：.
则，，
则，
整理得，
即，
化简得：，解得或，
当时，直线的方程为，
令时，，所以直线过定点，
又因为直线不经过点，不合题意；
当时，直线的方程为，
当时，，所以直线过定点；
综上所述：过定点.

【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点．
(1)求的方程；
(2)设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程及焦距求解双曲线的方程即可；
（2）设出直线的方程与双曲线的方程联立得到韦达定理，与直线，，联立最终得到点的轨迹方程，即可求解.
【详解】（1）依题意：.
（2）证明：如图：

设、，，
直线：，即：.
（记，）代入中得：
.
所以，.
又因为直线：、直线：联立得：
.
.
.
.
即或（舍）.
所以.
所以，点轨迹为，以为圆心，2为半径的圆上，所以，.
变式1．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为.
(1)求点的坐标和的方程；
(2)若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)是，3
【分析】（1）将直线化简为即可得出点的坐标，再根据渐近线方程即可求出的方程；
（2）联立双曲线和直线表达出韦达定理，表达出代入韦达定理即可求出结果.
【详解】（1）由直线知，，
得定点.
则，解得，
故的方程为.
（2）
由（1）知，，设，.
联立，
整理得，
则，且，
∴且，
∴，，
∴
所以直线，的斜率之和是为定值，定值为3.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
变式2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4．
(1)求的方程；
(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值．
【分析】（1）由的面积为4可得c，后由离心率可得a，b，即可得椭圆方程；（2）
设，利用导数几何意义可得切线l方程，后可得到M，N坐标表达式，后利用两点间距离公式结合可得答案.
【详解】（1）的面积为4，则，得．由离心率为，得，解得，所以，所以的方程为．
（2）为定值．
设，由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为．
由，可得，所以在第一象限内.
所以，故．
因为，所以，
代入直线的方程，得.
即．由，可得，所以直线的方程为，即．
因为直线的方程为，所以直线与直线的交点的坐标为.
直线与直线的交点的坐标为.
所以.
.
所以，即的值为定值．

【点睛】关键点睛：本题为圆锥曲线中的定值问题，处理定值问题，可用变量去表示需要判断是否为定值的表达式，通过验证表达式是否与变量有关可解决问题.
考点九：双曲线的实际应用
例14．（2023春·河南商丘·高二虞城县高级中学校联考开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】将代入双曲线得到，当得到，得到答案.
【详解】根据题意：，，故，解得，即，
当水面宽度为米时，即时，，
拱顶M到水面的距离为.
故选：D
变式1．（2023春·陕西汉中·高二校联考期中）伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．
【详解】依题意，双曲线的离心率为，
则，解得，
所以双曲线方程为，
则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图，
根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即，
又点P为双曲线上支上的动点，则，
过点P作，垂足为Q，过点作，垂足为M，
则，
所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为．
故选：C．
变式2．（2023秋·高二课时练习）如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）设观察员可能出现的位置为点,由题意可知,即可判断出观察员所有可能出现的位置为双曲线的左支.结合，，即可求出其轨迹；
（2）设轨迹上一点为，利用两点的距离公式则可表示出，再结合点在轨迹上，消元后利用二次函数的单调性，即可得出的最小值.即可写出答案.
【详解】（1）设观察员可能出现的位置为点，
由题意，得，
故点的轨迹为双曲线的左支，
设双曲线方程为，又，，
所以，
故点的轨迹方程为；
（2）设轨迹上一点为，则，
又，所以，
所以|，
当且仅当时，取得最小值，
故扫描半径r至少是．
变式3．（2023秋·高二课时练习）某校兴趣小组运用计算机对轮船由甲地海湾行驶入乙地海湾进行了一次模拟试验.如图，乙地海湾的入口处有暗礁，其中线段AA1，B1B，CC1，D1D分别关于坐标轴或原点对称，线段B1B的方程为y=x，x∈[a，b]，b>a>0，过O有一条航道.有一艘正在甲地海湾航行的轮船准备进入乙地海湾，在点M（-a，0）处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N（a，0）处晚1 s（设海面上声速为a m/s）.若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积），则兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是什么?
【答案】兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支.
【分析】根据题意及双曲线的定义，可判断出轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支，并可以进一步求出双曲线的方程.
【详解】设轮船所在的位置为点P，由题意可得
∵
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支.
设所求双曲线的标准方程为，则
故兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是.
所以兴趣小组观察到轮船当前航线所在的轨迹是双曲线的一支.
1．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
3．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
4．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
5．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
6．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
7．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
一、单选题
1．（2023春·陕西安康·高二统考期末）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）

A．B．24C．32D．
【答案】D
【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径.
【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以.
设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，

所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为.
故选：D
2．（2023秋·高二课时练习）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，代入进行求解m的值．
【详解】由题意得，在双曲线中，，∴．
∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，∴，
∴，即，解得．
故选：A．
3．（2023春·上海虹口·高二统考期末）双曲线的两条渐近线的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.
【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故选：B.
4．（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线离心率可得，根据双曲线定义推出，利用余弦定理即可求得答案.
【详解】由题意双曲线C的离心率为，焦点为F1、F2，点A在C上，
故不妨设为左、右焦点，由可知A在双曲线右支上，
则，故，
由于双曲线C的离心率为，则，即，
在中，
，
故选：B
5．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可
【详解】
如图所示，设双曲线实轴长为，则，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因为，过M作MD⊥轴于D，，
由条件故，
即，故，
解之得（负值舍去）.
故选：A
6．（2023春·河北·高二校联考期末）已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（ ）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【分析】通过的范围，结合曲线，求解焦距，实半轴长，虚半轴长，判断选项即可．
【详解】的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，
实数满足，曲线是双曲线，
实半轴的长为，虚半轴的长为，
显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；
焦距为：，焦距相等，所以D正确；
离心率为：和，不相等，所以C不正确．
故选：D．
7．（2023秋·高二课时练习）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（ ）
A．一条B．两条
C．三条D．四条
【答案】C
【分析】方法一：右焦点为，斜率不存在时直线的方程为，代入双曲线方程可得弦长，斜率存在时设，，设出直线的方程与双曲线方程联立，利用弦长公式求出，求出得值即可得出正确答案.
方法二：求双曲线过右焦点的通径，由此判断当直线与双曲线的交点都在右支上时，满足条件的直线的条数，再求双曲线的实轴长，由此判断直线与双曲线的左右两支各有一个交点时，满足条件的直线的条数，由此确定结论.
【详解】双曲线的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
代入双曲线可得：，即，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
代入双曲线可得：，
方程的判别式，
设，则：，，
所以
化简可得：，解得：，

所以斜率存在且满足条件的直线有条，所以共有条，
故选：C.
方法二：过右焦点且垂直于实轴的弦长为，
因为，
所以当直线l与双曲线的两交点都在右支上时这样的直线只有一条.
又实轴长为，，
所以当直线l与双曲线的两交点分别在左、右两支上时这样的直线应该有两条，
所以满足条件的直线共三条.
故选：C.
8．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线，为的左焦点.经过原点的直线与的左、右两支分别交于A，两点，且，，则的一条渐近线的倾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知可得出四边形为长方形.设，根据双曲线的定义可得.然后在中，根据正弦定理可得出，则有，求解得出的值，根据勾股定理即可得出，，进而即可得出答案.
【详解】
由已知结合双曲线的对称性可得，四边形为长方形.
所以，.
设，，
根据双曲线的定义可得，.
又，在中，有.
又，所以.
由正弦定理可得，，即.
又，
，
所以，，
所以，，即，
解得，，
所以，.
又，
所以，
所以，，，所以.
所以，双曲线的渐近线方程为.
所以，倾斜角为或.
故选：C.
9．（2023秋·高二校考单元测试）已知离心率为的双曲线C：的左、右焦点分别为，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32B．16
C．84D．4
【答案】B
【分析】根据，求出，，再根据以及求出即可得解.
【详解】由题意知，不妨令点在渐近线上，
由题意可知，所以，
由 ，可得，即，
又，，所以，
所以双曲线C的实轴长为16.
故选：B．
10．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与双曲线左支的交点满足，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】在和中，由正弦定理结合已知条件可得，设，由双曲线的定义和勾股定理可得，再由即可求得结果.
【详解】在中，由正弦定理得，①，
在中，由正弦定理得，②，
因为，所以，
所以①式与②式相比，得
，
因为，
所以，
所以，
设，则
由双曲线的定义得，，
因为，所以，
所以，解得，
在中，由勾股定理得，
所以，得，
所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率，考查的关键是在和中利用正弦定理结合已知条件可得，再利用勾股定理和双曲线的定义可求得的关系，考查数学计算能力，属于较难题.
二、多选题
11．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线，则（ ）
A．的焦距为B．的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与有相同的渐近线D．点到的一条渐近线的距离为
【答案】BCD
【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴、虚半轴长，半焦距，再逐项判断作答.
【详解】双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，则半焦距，
对于，的焦距为，A错误；
对于B，的虚轴长，实轴长，则的虚轴长是实轴长的倍，B正确；
对于C，双曲线的渐近线方程为，的渐近线方程为， C正确；
对于D，由选项C知，点到直线的距离为，D正确；
故选：BCD
12．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（ ）
A．
B．的焦点为
C．的渐近线可能互相垂直
D．当时，直线的斜率之积为1
【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程的形式特征判断A、B；求出渐近线，利用渐近线互相垂直求解即可判断C；设点的坐标，求解斜率之积即可判断D.
【详解】若是双曲线，则，解得，
此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，
其焦点为，，故选项A正确、选项B错误；
的渐近线方程为，当时，的渐近线的斜率为，此时两条渐近线互相垂直，
满足题意，故选项C正确；
当时，，其顶点坐标分别为，，
设，则，故选项D正确.
故选：ACD.
13．（2023春·江苏南通·高二期末）双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】AC
【分析】设出切线方程，与双曲线方程联立，根据过点能作该双曲线的两条切线，求得a的取值范围，即可求得双曲线的离心率的取值范围，从而可得答案.
【详解】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，
设切线方程是，
由得，
显然时，所得直线只有一条，不满足题意，所以，
由得，整理为，
由题意此方程有两不等实根，
所以，，
则为双曲线的半焦距，，
即，
代入方程，得，此时，
综上，e的范围是
故选：AC

14．（2023春·山西长治·高二统考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】当点在第一象限时，由余弦定理化简得，求得，当点在第四象限时，由余弦定理化简得，求得，即可求解.
【详解】因为，所以，
根据双曲线的对称性，不妨设直线的斜率小于零，
如图（1）所示，当点在第一象限时，，
由余弦定理可得，化简得，
解得（舍去），此时双曲线的渐近线方程为，
如图（2）所示，当点在第四象限时，，
由余弦定理可得，化简得，
解得（舍去），
此时双曲线的渐近线方程为.
故选：AB.

15．（2023春·湖南衡阳·高二校联考期末）已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的最小值为
C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为
D．设的左焦点为，若的面积为，则
【答案】ACD
【分析】根据题意列关于的等式，从而可得双曲线的方程，计算离心率，的最小值，结合动点满足的方程，列式计算，在焦点三角形中，由双曲线的定义，余弦定理以及三角形面积公式列式即可计算出.
【详解】由已知可得，，所以，
则的方程为，离心率为，A正确；
因为的最小值为，所以B错误；
设，则，，
，所以C正确；
设，由
可得，得，
则，所以D正确．
故选：ACD
三、填空题
16．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期末）若双曲线的渐近线的方程为，则 .
【答案】
【分析】首先判断，再表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可.
【详解】因为双曲线方程为，所以，
则渐近线方程为，所以，则.
故答案为：
17．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是 .
【答案】
【分析】设，由的周长为，得到，再由双曲线的定义得到，联立解得m，n，然后在中，利用余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】解：设，
因为双曲线：（）的离心率为3，
所以，即，
又的周长为，
所以，
由双曲线的定义得，
解得 ，
由余弦定理得 ，
则 ，
所以 ，
故答案为：
18．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为 ．
【答案】
【分析】由双曲线的离心率为，可求出，即可求出双曲线的渐近线，进而求出m可能取的值为，即可求出答案.
【详解】由离心率为可得，解得：，
则的渐近线为，
则m可能取的值为，和为0.
故答案为：0．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】由离心率求出，再由求出可得双曲线方程．
【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:.
故答案为: .
20．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为 .
【答案】
【分析】根据渐近线方程得到，然后代入离心率公式求解.
【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，
所以，所以C的离心率为.
故答案为：
21．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的几何性质以及求出可得结果.
【详解】依题意可知，双曲线的一条渐近线方程为：，，，
所以，所以，又，所以，
所以，所以，，
所以双曲线的方程为.
故答案为：.
22．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 .
【答案】
【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式列式求解的值，即可求出直线的方程，令即可得出答案.
【详解】双曲线双曲线：的渐近线方程为，
而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为，
与双曲线方程联立，化简可得，
由，得或．
设，，则，，
则，所以，
，解得：（舍去）或，
所以直线的方程为，令，可得.
故点P的坐标为.
故答案为：.
四、解答题
23．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线：的离心率为，且过．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点．
【分析】（1）根据题意可得关于的方程组，解得，即可得到双曲线的方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理再化简得，即可得出直线恒过定点．
【详解】（1）根据题意可得，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）设，，
联立，得，
，
，，又
所以
，
所以，
所以直线的方程为，恒过定点．
24．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意得到，得出，再由C的一条渐近线经过点，求得，联立方程组，求得，即可求解；
（2）设直线的斜率为，且，代入曲线方程得到，由，求得，得出直线的方程为，联立方程组，结合方程没有实根，即可得到答案.
【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，
又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，
联立方程组，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，
设直线的斜率为，且，
则，两式相减得，所以，
因为的中点为，所以，所以，解得，
直线的方程为，即，
把直线代入，整理得，
可得，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.
25．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知双曲线C：的右焦点为F，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.
(1)若直线AB的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)若点，在双曲线C的右支上，且，，，过点P且斜率为的直线与过点Q且斜率为的直线交于线段AB上一点M，且，求实数的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】(1)求出双曲线C的渐近线方程，然后分别和直线AB的方程为联立，求出坐标，从而求得线段AB的中点坐标；
（2）设直线PQ的方程为，联立，韦达定理表示出两点间关系, 然后表示出的斜率，反解出与，继而发现的关系，最后根据M在直线上这一条件，找到M与点的关系，从而确定实数的值.
【详解】（1）渐近线为，
由直线AB的斜率为1，点，得直线AB的方程为，
设，分别联立和,
可得，
设线段AB的中点坐标为，则，，
故线段AB的中点坐标为，
（2）
设直线PQ的方程为，
则，解得，
，
∵，∴，，
∴，.
设点则 ，
整理得，
∵，∴，
解得.
又∵，，
∴，
∴，∴.
设直线AB的方程为，，，
则，解得，，
同理求得，，
∴，，
此时点M的坐标满足，，
解得，，
∴M为线段AB的中点，即，
∴实数的值为2.
【点睛】圆锥曲线的解题思路：
(1)设直线方程，设而不求；
(2)联立直线与圆锥曲线方程组，韦达定理表示坐标关系；
(3)根据题目条件转化为坐标间的关系式；
(4)求解参数或者范围问题；
26．（2023春·湖南郴州·高二校考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且左焦点到渐近线的距离为，直线经过且互相垂直（斜率都存在且不为0），与双曲线分别交于点和分别为的中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先由题给条件求得的值，进而得到双曲线的方程；
（2）先利用设而不求的方法分别求得两点的坐标，求得直线的方程，进而得到直线过定点.
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，所以，
左焦点到渐近线的距离为，所以，又，
联立得，解之得，所以双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，令
联立，整理得，，
所以，所以，
，则，
设直线的方程为，令
联立，整理得，
，
所以，所以，
，则，
当，即时，直线的方程为.
当时，
直线的斜率为，
直线的方程为，即，
所以直线过点，又直线过点，
综上，直线过定点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
27．（2023春·浙江·高二校联考期末）已知双曲线离心率为，，分别是左、右顶点，点是直线上一点，且满足，直线，分别交双曲线右支于，两点.记，的面积分别为，.
(1)求双曲线的方程；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，可判断，表示出，，即可求出，再根据离心率求出，从而求出，即可得解；
（2）由（1）可知直线，的方程。联立直线与双曲线方程求出、，由，代入转化为关于的式子，再换元利用函数的性质计算可得.
【详解】（1）依题意设，，，
若，此时，，则，，不符合题意，所以，
则，，又，
所以，解得，又，所以，则，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）可知直线：，：，
由，消去整理得，
所以，又，所以，
由，消去整理得，
所以，又，所以，
综上可得，
所以，，
又，
又
，
所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
所以当时，
即时.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
28．（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）运用双曲线的焦点到渐近线的距离为b，双曲线的离心率公式计算即可.
（2）联立直线PQ方程与双曲线方程，运用韦达定理计算可得，设出直线AP、AQ方程，联立双曲线方程可求得、、、，进而求得的范围，再结合可求得结果.
【详解】（1）由题可知是双曲线的一条渐近线方程，右焦点为，
所以右焦点到渐近线的距离，
又因为，所以，则依题意可得，
由离心率，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）如图所示，

由（1）知，，
设直线的方程：，
由得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以解得，
，
所以，
设，且，
所以，即，所以，
又因为，所以，
由，得，
所以，同理可得，
由得，
所以，同理可得，
所以
，
令，由，得，
所以，
令，
因为在区间上为增函数，
所以的取值范围为，
又因为，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；
虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x