第24讲 抛物线的简单几何性质6种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

这是一份第24讲 抛物线的简单几何性质6种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版），文件包含第24讲抛物线的简单几何性质6种常见考法归类教师版-新高二暑假衔接人教版docx、第24讲抛物线的简单几何性质6种常见考法归类学生版-新高二暑假衔接人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共110页， 欢迎下载使用。

2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用.
知识点1 抛物线的简单几何性质
注：1.范围
当x>0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
2．对称性
观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px (p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴.
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0,0)．
4．离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e表示，e＝1.
5、只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
6、影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
7、抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
8、抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
知识点2 直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
知识点3 弦长问题
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，
如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
（5）求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
1、用待定系数法求抛物线方程的步骤
注：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
2、把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
3、利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点弦：解决焦点弦问题．
4、抛物线焦点弦的相关结论
(1)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(2)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
5、直线与抛物线的位置关系的应用
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
考点一：抛物线方程及其几何性质
（一）求抛物线的标准方程
例1．（2023·广东广州·统考三模）直线经过点且与抛物线交于两点．若，求抛物线的方程；
【解析】因为抛物线经过点，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
变式1．（2023秋·云南大理·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点，求抛物线C的方程；
【解析】因为抛物线：经过点，
则，解得，
故抛物线的方程为.
变式2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点，求的方程.
【解析】由题意，设的方程为，
因为圆经过抛物线的焦点，
所以，解得，
所以的方程为.
（二）抛物线的几何性质的应用
例2．（2024秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出点、的坐标，根据求出的值，即可得出抛物线的准线方程.
【详解】不妨设点在第一象限，则点在第四象限，
联立可得，则点、，
所以，，解得，因此，的准线方程为.
故选：B.
变式1．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）点F是抛物线的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】由题可得坐标，根据可得答案.
【详解】由题，，则.因直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则.
故选：B
变式2．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案.
【详解】根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，
则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得，
所以抛物线的方程为，则，所以，即M的坐标为，
又双曲线的左顶点，一条渐近线为，
而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得.
故选：A
变式3．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设直线的方程为，与抛物线的方程联立，结合韦达定理和抛物线的定义求解即可.
【详解】抛物线的方程为，则其焦点，
设直线的方程为，
由，可得：，
，，
根据抛物线定义，，
因为，所以，
所以
即，解得：.
故选：B.
变式4．（陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期末文科数学试题）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根据圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，可得抛物线经过点，从而可得答案.
【详解】因为圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，
而抛物线的通径与轴垂直，
所以圆的这条通径与轴垂直，
且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，
因为圆的圆心为，半径为，所以该圆与轴垂直的通径的右端点为，
即抛物线经过点，则，即.
故选：C.

考点二：焦点弦问题
例3．（2023春·安徽·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ．
【答案】2
【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解.
【详解】设交点坐标为过的直线为，
与抛物线联立可得，，故．
，
故当时，动直线有且仅有一条，即，故．
故答案为：2.
变式1．【多选】（2023春·广东江门·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
【答案】ACD
【分析】由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.
【详解】
由题，焦点，设直线,
联立，
，
，
同理可得，，
，故A选项正确；
，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；
记中点，则点M到y轴的距离为，
由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；
，记中点，
则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦点弦常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)
(2)弦长 (α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
(5) （定值）.
(6) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
变式2．【多选】（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

变式3．【多选】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ）
A．
B．
C．直线的斜率为
D．的面积为
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的标准方程确定的值，得抛物线方程与焦点坐标，再由抛物线定义求得的坐标，确定直线的斜率与的面积，逐项判断即可得答案.
【详解】由题意得，又，故解得，所以抛物线的方程为，焦点，故A，B正确；

由抛物线定义及，所以代入抛物线方程可得得，
所以，故C不正确；
则的面积，故D正确.
故选：ABD.
变式4．【多选】（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（ ）
A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点
B．为定值4
C．为定值
D．有最小值
【答案】ABC
【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解.
【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为
证明如下：
由于点在抛物线上，
则，
联立
即，，
所以抛物线在其上一点
处的切线方程为
设，，设直线AB的方程为，
联立消去x得，
根据根与系数的关系可得，
又抛物线在点A处的切线方程为，即
同理可知，抛物线在点B处的切线方程为，
由题意知，，
直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，
，
所以，，即点M在以AB为直径的圆上，
联立，
解得，
所以点M的横坐标为，
所以点M在抛物线的准线上，即以AB为直径的圆必与准线l相切于M点，
故A正确;
当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 M为抛物线的准线与x轴的交点，
此时，则，，
又此时，则为定值4，
当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为，
直线MF的斜率为，
，
则，在中，，
又以AB为直径的圆与准线l相切于M点，
设以AB为直径的圆的圆心为，即得，
则点M坐标为，
则，
故B正确;
，
故C正确;
由题意知，，
则
又根据题意知，则无最小值.
故D错误.
故选：ABC.
变式5．【多选】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（ ）
A．
B．直线与抛物线相切
C．点的轨迹方程为
D．可以是直角
【答案】ABC
【分析】分别应用抛物线定义，直线与抛物线位置关系的判定，求轨迹方程的方法，向量法判断垂直进行求解.
【详解】对于选项，设准线与轴交于点，由抛物线知原点为的中点，轴，
所以为线段的中点，由抛物线的定义知，所以，故正确；
对于B选项，由题意知，为线段的中点，从而设，则，
直线的方程：，
与抛物线方程联立可得：，
由代入左式整理得：，所以，
所以直线与抛物线相切，故B正确；
对于C选项，设点，则点，
而是抛物线上任意一点，于是得，即，
所以点的轨迹方程为，故C正确；
对于D选项，因点的轨迹方程为，则设，
令，有，
，
于是得为锐角，故错误.
故选：ABC.

变式6．（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．线段为直径的圆与直线轴相切
C．为定值
D．若，则
【答案】D
【分析】设直线为，联立直线与抛物线可得，由此可得，即可判断A、C选项；由抛物线的定义易证以焦点弦线段为直径的圆与抛物线的准线相切，由此可判断B选项；可证，由此即可判断D选项.
【详解】对于A选项：
抛物线，焦点为，准线方程为，
由题意知直线斜率存在，设直线所在的直线方程为，
由，消去可得，
所以，
则，
当时，，故A、C错误；
对于B选项：

如图：设线段的中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为，
由抛物线的定义可得，
所以，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故B错误；
对于D选项：
已知：，
故
，故D正确；
故选：D
考点三：直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线位置关系的应用
例4．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意，联立方程求解，根据一元二次方程的求解公式，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案.
【详解】由题意，联立可得，消去整理可得：，
则恒成立，则直线与抛物线必定有两个交点，
则显然成立，不成立，
故选：A.
变式1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知点A，B在抛物线上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据和抛物线对称性，知点、关于轴对称．可知，进而根据抛物线和直线方程求得点的坐标，即可求解面积.
【详解】设，、，，
，．
又，，
，
即．
又，均为正数，．
，即．
由抛物线对称性，知点、关于轴对称．
，则．
，将其代入抛物线方程中得，解得，
等边三角形的边长为，所以面积为，
故选：A
变式2．（2023春·上海奉贤·高二统考期末）已知抛物的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为 .
【答案】5
【分析】结合图形，利用相似关系，以及抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由抛物线，可知，即为坐标原点），
过点作轴的垂线，垂足为，由三角形相似可知
所以，所以点到准线的距离为5.

故答案为：5
变式3．（2023秋·四川成都·高二成都七中校考期末）已知抛物线，过点作直线交于两点、，分别过、作的切线交于点.若，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】利用导数求出B，C点的切线方程，联立方程求出P点的坐标即可.
【详解】
设，显然，直线l的斜率是存在的， 设l的方程为，
联立，解得，，并且，
，…①，
，
即B，C点切线的斜率分别为，切线方程分别为，，
即…②，…③；
联立②③，解得，即，由得：
，
将①代入上式得：，即，
，
；
故选：B.
变式4．（2023春·四川达州·高二统考期末）已知是抛物线上的点．当时，．
(1)求E的标准方程；
(2)F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．
【答案】(1)；
(2)4.
【分析】（1）将点代入抛物线方程求解作答.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线定义结合韦达定理求出点B的横坐标作答.
【详解】（1）依题意，抛物线过点，则，解得，
所以E的标准方程为.
（2）由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，

显然直线不垂直于轴且斜率不为0，
设直线的方程为：，点，
由消去并整理得：，则，，
而，解得，于是，，
所以.
变式5．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
(1)求抛物线的方程；
(2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意建立关于的等式，解出即可求得抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，将数量积用表示，再由建立方程，即可求解．
【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）根据题意可设直线的方程为，

联立，得，
设，，，，则，，
，
，
解得，此时都有，
，直线的方程为，
即．
变式6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过作直线与抛物线交于，，求的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据焦半径公式和圆的弦长公式可解；
（2）设直线方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得.
【详解】（1）由题知，点的横坐标为，
∴，，
∴，∴，解得，
∴抛物线的方程为.

（2）由（1）知，设，，直线的方程为，
代入，整理得，∴，即，
∴，，
∴
.

变式7．（2023春·山西长治·高二统考期末）已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2.
(1)求p和m；
(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.
【答案】(1)，
(2)或.
【分析】（1）根据抛物线的性质，求出，然后将代入抛物线的方程即可求出m；
（2）根据D到抛物线C的准线的距离求出D的横坐标，将转为，从而得到，两者结合即可求出，即可求出点D的坐标.
【详解】（1）设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得.
故抛物线C：.
因为M在抛物线C上，所以.又因为，所以.
（2）设，，，直线的斜率为，直线的斜率为.
易知，一定存在，则，.
由，得，即，化简得，即
因为D到抛物线C的准线的距离，所以，
则，即，.
，即，
解得或，则或.
故点D的坐标为或.
（二）弦长问题
例5．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求直线的方程，联立抛物线的方程，用弦长公式可得.
（2）可用点差法解决中点弦问题.
【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又因直线过点，
所以直线的方程为：，即，
联立得，
设，，
所以，，
所以
（2）因、在抛物线上，
所以，，
两式相减得：，
得，
故直线的斜率为4，
所以直线的方程为：，即
变式1．【多选】（2023秋·高二单元测试）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】求得直线AB的方程，代入抛物线方程，由根与系数的关系求解可判断CD；利用数量积的定义计算可判断B；由抛物线的定义求解可判断A．
【详解】抛物线C的焦点为，所以直线AB的方程为，
将代入，整理得，
设，由根与系数的关系得，故D错误；
，故C错误；
，故B正确；
由抛物线的定义可得，故A正确.
故选：AB．
变式2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【答案】
【分析】由题意求出A点坐标，由于直线过焦点，利用点斜式方程求出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求出点B坐标，利用两点间的距离求出即可.
【详解】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为，
因为 经过抛物线焦点，所以 方程为，
整理得，联立，得，，所以，
又，所以，，
所以.
故答案为：.
变式3．（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线过点（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线过点，代入原式方程可得抛物线方程；
（2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得答案.
【详解】（1）∵抛物线过点，
∴．
又∵，∴，
上故的方程为．
（2）设，，
由（1）知，抛物线的焦点为，
∵直线的斜率为，且过点，
∴直线的方程为，
联立得，则．
∴，
故线段的长度为．
变式4．（2023秋·高二单元测试）已知抛物线，点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离为.
(1)求；
(2)设圆，点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求解.
（2）根据已知直线方程，和抛物线联立方程，结合韦达定理，求出点的坐标，从而求出直线的方程，根据弦长公式，求得，结合圆上一点到直线的距离的最大值为，从而求出的面积的最大值.
【详解】（1）由题知准线方程为，则，得.
（2）抛物线的方程为，把点代入到抛物线方程，，又，
所以，则点的坐标为，
依题知过点的直线斜率必存在，
设过点的直线方程为，
设，，的圆心为，半径，
则圆心到该直线的距离为，
由直线与圆相切，所以，解得，，
联立，消y得，，则，又，
不妨设，同理，
故，，得，
所以直线：，即，
（定值），
要使的面积最大，则中边上的高最大即可，
又因为圆心到直线的距离为，
则圆上一点到直线的距离的最大值为，
即中边上的高的最大值为,
所以.

变式5．（2023春·四川达州·高二统考期末）已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
(1)求E的标准方程；
(2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义可知，从而可得抛物线E的标准方程；
（2）设出的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出，，由结合基本不等式求出最小值．
【详解】（1）抛物线的焦点，准线．
∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
根据抛物线的定义可知，，∴，
∴抛物线E的标准方程为.
（2）由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，

设，，，设，
由，消可得，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当且仅当时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为32．
（三）中点弦问题
例6．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用“点差法”，结合线段的中点坐标为，即可求得答案.
【详解】设，则，，
故，
由于线段的中点坐标为，
故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，
故，即，
所以直线的斜率为.
故选：C
变式1．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点差法以及两点斜率公式可得，即可求解.
【详解】设,则，相减得，
由于,所以，
所以,将其代入中可得，
所以 ,故,
故选：C
变式2．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【分析】设，利用中点公式即得，再根据焦点弦公式得到线段的长.
【详解】是抛物线的焦点，
准线方程，
设，线段的中点横坐标为2, .
，线段的长为6.
故答案为：6.
变式3．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求解；
（2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程；
【详解】（1）因为，
所以，
故抛物线的方程为．
（2）
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则
两式相减得，整理得．
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，即.
变式4．【多选】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）抛物线为定值焦点为，与直线相交于两点，为中点.过作轴的垂线，垂足为，过作的垂线，交轴于，则（ ）
A．
B．的纵坐标是定值
C．为定值
D．存在唯一的使得
【答案】BCD
【分析】联立直线与抛物线方程，判别式法可判断A；韦达定理得，，进而求解中点M的纵坐标可判断B；结合弦长公式可判断C；结合点到直线距离公式及弦长公式，利用几何法可判断D.
【详解】设，，，则，
联立，整理得，
则，解得，故A错误；
因为，，
所以，为定值，故B正确；
，
又，，所以，
所以为定值，故C正确；
因为，且过，所以直线MN方程为：，
令得，点P到直线AB的距离，
要使，则，所以，
又，所以，解得，
所以存在唯一的使得，故D正确.

故选：BCD
考点四：抛物线中的参数范围及最值问题
例7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ．
【答案】6
【分析】设，，AB中点，利用点差法得到直线AB的斜率，再利用中垂线求得，然后利用抛物线的定义，由求解.
【详解】解：设，，AB中点，
设斜率为k，则，
相减得：，
∵，即，
设抛物线的焦点为F，，
∴，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
此时满足在抛物线内部，
∴的最大值为6，
故答案为：6．
变式1．（2023春·陕西商洛·高二统考期末）过抛物线的焦点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．15B．18C．21D．27
【答案】D
【分析】设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦半径公式表示出、，再由基本不等式计算可得.
【详解】由题可知，设直线的方程为，，
联立方程组 整理得，，
则，，
所以，，
所以，当且仅当时，等号成立．
故选：D
变式2．（2023春·上海宝山·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
(1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
(2)求曲线上的点到直线的最短距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义得到曲线的轨迹方程，设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理和抛物线定义进行求解即可；
（2）设抛物线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【详解】（1）已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
其标准方程为①，
因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，
则直线的方程为②，
联立①②，消去并整理得，
设点，，由韦达定理得，
此时；
（2）不妨设点是抛物线上的点，
则点到直线的距离，
易知当时，，
故曲线上的点到直线的最短距离为．

变式3．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线的方程为，，与抛物线联立可得，再利用求曲线上一点的切线方程得过与相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得​​​​​​​，再利用两点间的距离公式计算得结论.
【详解】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，
由得，因此，
故.
因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，
因此由得，即，
所以
.
因为，所以，因此，
所以的取值范围是.
故选:C.
变式4．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦半径公式结合韦达定理以及可求得的值，由此可得出抛物线的方程；
（2）写出直线的方程，将代入直线的方程，求出的坐标，然后求出的方程，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，分析可知、、三点共线，可得出，结合可求得的取值范围.
【详解】（1）解：抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）解：设点、，则，由（1）可得，，
又因为直线的方程为，

将代入直线的方程可得，可得，即点，
所以，，
因为，则，
所以，直线的方程为，
联立可得，则，
故，则，
由的中点为，可得，
故、、三点共线，则．
又由，知，
故
.
故的取值范围为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
考点五：抛物线的定值、定点问题
例8．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
(1)求的方程；
(2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线恒过定点，定点坐标为，
【分析】（1）利用抛物线焦点坐标求得，从而得解；
（2）联立直线与抛物线方程得到，再由，与抛物线相切求得，化简即可得到，从而得解.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）直线恒过定点，定点坐标为，

由题意可知直线斜率不为0，设直线，
联立，得，
则，
由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线，与联立得，
则，又，则，解得，
所以直线，即，
同理直线，
又点在上，所以，
消去得，即，
所以，
又，所以，所以，解得，
所以直线，故直线恒过定点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解，
变式1．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
(1)求的方程；
(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论的焦点在或轴上，设出抛物线的方程，将点代入即可得出答案；
（2）设，分别求出直线，的方程，由题意可得，，再求出直线的方程，代入化简即可得出直线过的定点.
【详解】（1）若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为；
若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为，
综上，的方程为或.
（2）证明：由（1）知抛物线的方程为.
若直线不过点，如图，

设，
由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
同理直线的方程分别为，
由直线过定点，可得，
由直线过焦点，可得，
直线的方程为，
由，得，
所以，
即，
又因为，所以.
令解得故直线恒过定点.
若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.
综上，直线过定点.
变式2．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．
(1)求线段中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点的坐标为
【分析】（1）设，其中，利用点差法化简求出线段中点纵坐标的值；
（2）设，由直线过点，化简可得，同理可得，代入直线化简，可得定点的坐标．
【详解】（1）设，其中，
由，得，化简得，
，即，
线段中点纵坐标的值为；
（2）证明：设，
，
直线的方程为，化简可得，
在直线上，解得，
同理，可得，
，
，
又直线的方程为，即，
直线恒过定点．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查定点定值问题，考查点差法的应用，关于定点定值问题的思路，一般有以下两种：
1.先猜再证，通过特殊位置或者特殊点得出要求的定点或者定值，再用一般方法证明，对任意符合条件的直线都成立；
2.边猜边做，直接联立直线与曲线方程，写出韦达定理，将已知条件转化为等式，找出直线所过的定点或者所求的定值．
变式3．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知抛物线，过焦点且斜率为的直线交于，两点，且.
(1)求的标准方程；
(2)已知点是上一点，且点的纵坐标为，直线不经过点，且与交于，两点，若，证明：直线AB过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可得直线方程为，代入抛物线，设，利用抛物线定义即可求解.
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线的斜率之积，由题意可得参数之间的关系，进而求出所求直线恒过定点.
【详解】（1）由题知，
则直线方程为，
代入得，
设，
则，
因为，
所以，即，
所以抛物线方程为.
（2）由（1）知抛物线方程为，
因为点的纵坐标为，
所以，
设直线的方程为，
设，
联立直线与抛物线，
整理可得，
则，①
又，
即，
整理得，
将①代入可得，
即，
所以或，
即或，
所以直线的方程为或，
因为直线不过，
所以直线的方程为，
即，
所以直线恒过点，
即直线AB过定点.

【点睛】方法点睛：直线与抛物线位置关系问题，从以下几个角度分析：
（1）抛物线定义的应用；
（2）解设直线方程，尽量不要考虑斜率是否存在；
（3）通过含参的方程，消去一个，转化为交点直线系方程；
（4）数形结合思想的应用.
变式4．（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)直线MN恒过定点．
【分析】（1）利用导数求解切线方程，即可得切点坐标，由面积公式即可求解，
（2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得M，N的坐标，即可由点斜式求解直线的方程，化简即可求解.
【详解】（1）由题，，
设切点，则切线方程为，,
的坐标代入，得，解得，由于，所以，
由的面积，解得，
所以的方程为．
（2）由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组消去并整理得，，
则，
设，，则，，
所以，
因为为CD中点，所以，
同理可得，
所以，直线MN的方程为，
整理得，所以，直线MN恒过定点．
【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
例9．（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为.
(1)求的方程；
(2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先判断出当点，，，四点共线且点，在，中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解；
（2）设出直线方程，联立抛物线求出，，由解出，再由即可证明．
【详解】（1）由题得，当点，四点共线且点在中间时，取得最小值，

最小值为，又，
解得，
所以的方程为.
（2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立得，
则，所以，又，
所以，所以，
解得或（舍去），
即，所以，
所以，
又，
所以为定值.
【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于难题．利用韦达定理化简，准确计算是解题的关键.
变式1．（2023·河北衡水·模拟预测）已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点.
(1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程;
(2)设为原点，若，求证:为定值.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）先求抛物线的方程，再利用根与系数的关系可得直线的斜率，然后可得方程；
（2）利用向量相等表示出参数，进而通过根与系数的关系整体代入消掉变量即得结果.
【详解】（1）由点在抛物线上，所以，
所以抛物线的方程为.设直线的方程为.
由，得.依题意，
解得且.且.
因为弦的中点横坐标为3，所以，即，
解得或，所以的一般方程为或.
（2）直线的方程为，
又，令，得点的纵坐标为.所以，
同理得点的坐标为.
由，得，.
所以.
所以，即为定值.
变式2．（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N．
(1)求抛物线方程及其焦点坐标；
(2)已知O为原点，求证：为定值．
【答案】(1)，焦点坐标为
(2)证明见解析
【分析】（1）由于在抛物线上，代入求解即可；
（2）设出直线的方程联立抛物线的方程，表示出点M，N的坐标，由，求证为定值即可.
【详解】（1）因为是抛物线上一点，
所以，即，所以抛物线方程为：，
其焦点坐标为：.
（2）证明：如图：

设，，，,
设直线l方程为，
直线l方程与抛物线方程联立得
消去，整理得：，恒成立.
则，，
又直线的方程为：，即.
令，得，则，
同理可得，
则，.
所以.
所以，即，为定值.
变式3．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．

(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定值为1；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，求出a，b得椭圆的方程作答.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立结合中点问题推理计算作答.
（3）利用（2）中信息求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出面积的函数关系，借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，依题意，，，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为，设，
由消去x得：，，
则，而C是AB的中点，即有，于是，
满足，因此，
所以点C的横坐标是定值，该定值为1.
（3）由直线过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线和直线l的斜率互为相反数，
则由（1）得直线的方程为，即，
由消去x得：，，
设，则，
，点到直线：的距离，
由C是AB的中点得的面积，
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以当时，的面积取得最大值，此时.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
考点六：抛物线的实际应用
例10．（2023秋·高二校考课时练习）某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽，当水面上涨时，水面宽变为，求此时桥洞顶部距水面的高度．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设表示水面上涨前水面位置，表示上涨后水面的位置，设抛物线方程，由条件列方程求点的坐标，由此求桥洞顶部距水面的高度.
【详解】如图建立平面直角坐标系，表示水面上涨前水面位置，表示上涨后水面的位置，
故可设抛物线的方程为，
由已知，，，直线与直线的距离为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
所以，
解得，，
所以点的坐标为，
所以水面上涨后，桥洞顶部距水面的高度为.
变式1．（2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形知抛物线经过，设出抛物线方程，求出即可.
【详解】由题意，结合图形可知，，由于该抛物线开口向右，可设，即，解得，于是.
故选：B
变式2．【多选】（2023·福建漳州·统考模拟预测）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（ ）

A．B．的准线方程为
C．的焦点坐标为D．弹道上的点到直线的距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC；根据题意，求出直线的方程，不妨设CE上一点为，判断出当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大，求解最大值即可.
【详解】如图所示，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于.
此时，，，
抛物线的方程为，即，
解得，故A正确；
抛物线的方程为，准线方程为，焦点坐标为，
故B正确，C错误；
因为，，故，
所以直线的方程为即，
不妨设上一点为，，
当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大.
由可得，故，
解得，
此时点到直线的距离为，故D正确.
故选：ABD.

1．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，故选A.
考点：抛物线的标准方程及其性质
4．【多选】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
5．已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
6．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
一、单选题
1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）过抛物线的焦点作斜率为直线与抛物线交于、两点，与抛物线的准线相交于点．若为的中点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立，结合已知点的关系求出交点横坐标作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，直线的方程为，

由消去y并整理得：，设，
则，而点的横坐标为，又是的中点，则有，
由，，解得，因此，又，解得，
所以.
故选：D
2．（2023春·河南许昌·高二统考期末）已知斜率为的直线过抛物线C：的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为3，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设的方程为，联立直线与抛物线方程，设点、，由条件关系结合设而不求法列方程求的值.
【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为，
联立，得，
方程的判别式，
设点、，
由韦达定理可得，，
由已知和抛物线定义知，
所以，得，即，
故，解得.
故选：A.
3．（2023春·湖北咸宁·高二统考期末）已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用点差法得到，再利用重心的性质与基本不等式得到，由此得解.
【详解】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，

因为抛物线为，所以，
则，所以，则，
注意到，故，即，
又，代入可得，
故，即，解得，
当且仅当时，等号成立，
因而.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键有两个地方，一个是利用点差法得到，一个是利用三角形重心的性质得到，从而得解.
4．（2023春·浙江·高二校联考期末）过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设直线的方程为：，，与抛物线联立得到，由斜率公式表示出结合韦达定理化简可得，，解方程求出，即可求出直线的方程.
【详解】因为点作两条直线分别交抛物线于，两点，
在抛物线上，所以直线斜率一定不为，
设直线的方程为：，设，
与联立方程可得：，即，
所以，
则
，所以①，
，
所以②，由①②可得：，
所以，故.
故选：A.
5．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，的面积为，则（ ）
A．2B．8C．D．4
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义以及三角形的面积，转化求解p即可．
【详解】
由已知结合抛物线的定义可得，又，
所以是正三角形，
连接点与的中点，则，
又点到准线的距离为，
所以，，
因为的面积为，
∴，得，
故选：C.
6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过P点作PH⊥准线，根据抛物线的定义及向量的线性关系求出，再转化为求，即可得直线斜率.
【详解】如图，

过点作准线，垂足为点，则，
由，得，
则，
则，
则，
根据抛物线的对称性可得直线的斜率为.
故选：C
7．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校联考阶段练习）设抛物线的焦点为，准线为是与轴的交点，.过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点与相交于点，若，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性关系确定，并确定相似比，再根据抛物线的定义即可求解.
【详解】作图如下

由得，
又因为为，的中点，
所以为的三等分点，且，
又因为，所以，且，
所以，
不妨设，且在第一象限，，
，所以，
因为点在抛物线上，所以，
所以根据相似关系，即点到轴的距离为.
故选：B.
8．（2023秋·广西河池·高二统考期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意求出点坐标，根据直线过焦点的直线，联立抛物线方程求出点的横坐标，根据抛物线的焦点弦的弦长公式求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以，又，所以4），
即，又，
所以，解得或，所以，
又因为，
点到直线的距离，
所以的面积.

故选：.
二、多选题
9．（2023秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．时，以为直径的圆经过点
【答案】AD
【分析】设直线的方程以及点的坐标，联立方程利用韦达定理结合向量的坐标运算逐项分析判断.
【详解】由题意可得：抛物线的焦点为，准线，则，
设直线的方程为，，，
联立方程得，消去得，
可得，解得且，故Ｃ错误；
则，故A正确；
可得，
易知同号，所以，故B错误；
因为，，
所以
，
当时，，此时为直角，即以为直径的圆经过点，故D正确.
故选：AD.

10．（2023春·河南·高二校联考期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点D，线段AB的中点为C，点P的坐标为，则（ ）
A．PA与抛物线相切B．轴
C．D．
【答案】ABD
【分析】结合导数的意义和斜线的性质，可判定A正确；联立方程组求得，根据题意求得，可判定B正确；根据抛物线的定义求得，可判定C不正确；分别求得，，可判定D正确.
【详解】如图所以，由抛物线，可得焦点坐标，
又由直线和轴的交点为，即交点与重合，
由，可得，
设切点坐标为，其中，可得切线的斜率为，
可得，且，代入解得，
将代入抛物线方程，可得，
此时切点满足直线，所以与抛物线相切，
所以A正确；
联立方程组，整理得，
设且，可得，可得，
则，所以，又由，所以轴，所以B正确；
由抛物线的定义可得，
又由，所以，所以C不正确；
由，
又由，所以，所以D正确.
故选：ABD.

11．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，，为上两个相异的动点，分别在点，处作抛物线的切线，，与交于点，则（ ）
A．若直线过焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若点在直线上，则直线过定点
C．若直线过焦点，则面积的最小值为
D．若，则面积的最大值为
【答案】AB
【分析】设，，，与抛物线相切的切线方程为，与抛物线方程联立，求出直线的方程结合韦达定理可得，根据直线过焦点可判断A；根据点在直线上，把，代入直线的方程可判断B；根据直线过焦点，求出，求出点到直线的距离，求出面积由基本不等式可判断C；由弦长公式求出，可得点到直线的距离，再由基本不等式可得面积最大值可判断D.
【详解】设，，，与抛物线相切的切线方程为，
则化简得，
由，可得，
将点坐标代入方程，可得，，
所以过的切线方程为，
同理，过的切线方程为，
所以直线的方程为，
又 ，① ，②
联立①②可得，
因为在抛物线上，所以，
所以，
对于，若直线过焦点，则，故，
所以点一定在抛物线的准线上，故A正确；
对于B，若点在直线上，则，
代入直线的方程得，解得，，
所以直线过定点，故B正确；
对于C，若直线过焦点，则，
直线的方程为，即，

，
点到直线的距离为，
所以面积为，当且仅当时等号成立，故C错误；
对于D，
，可得，
点到直线的距离为
，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为，故D错误.
故选：AB.

【点睛】关键点点睛：利用与抛物线相切的切线方程与抛物线方程联立，由韦达定理得到，在直线与圆锥曲线的位置关系中，常常利用韦达定理解决相关问题.
12．（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，定点和动点A，B都在抛物线C上，且（其中O为坐标原点）的面积为4，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．抛物线的标准方程为
C．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为
D．若，则弦AB的中点N的横坐标的最小值为3
【答案】BD
【分析】对于A，B，由条件列式求出；对于C，设点，利用相关点法求轨迹方程；对于D，利用焦半径公式求解.
【详解】对于A，B，点在抛物线上，，即，
的面积为4，，解得，
，抛物线的标准方程为，故A错误，B正确；

对于C，设点，，
则，
又是抛物线上任意一点，，即，故C错误；
对于D，设，弦AB的中点，
则，
，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，
弦AB的中点的横坐标的最小值为3，故D正确．
故选：BD.
三、填空题
13．（2023春·四川成都·高二期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，若点在以为直径的圆上，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意点在以为直径的圆上，所以，则，即可求出，从而得解.
【详解】抛物线的焦点，显然直线的斜率存在且不为，设直线为，，，
由，消去整理得，，
所以，，
因为点在以为直径的圆上，所以，
则
，
即，即，解得，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
14．（2023春·湖南·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，且的中点到轴的距离为，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的性质，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可.
【详解】由题意知，抛物线的准线方程为．
设的中点为，分别过点，，作准线的垂线，
垂足分别为，，，
因为到轴的距离为6，所以．

由抛物线的定义知，，
所以．
因为，所以．
所以当，即直线过焦点时，取最大值为.
故答案为：
15．（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为 ．
【答案】/
【分析】设出点M的坐标，由点到直线距离公式转化为一元二次函数求最小值.
【详解】设，则点M到直线的距离
，当时取等号.
故答案为：
16．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是 ．
【答案】
【分析】设出直线AB方程，与抛物线方程联立得出与，再代入斜率公式即可得出答案.
【详解】由题意知，抛物线焦点坐标为，从而设直线AB的方程为，
联立方程，得，，
，.
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023春·浙江杭州·高二统考期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；
（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；
（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.
【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线.
（2）（i）设，，直线，
与抛物线联立，得，因此，.
设直线，与抛物线联立，得，
因此，，则.同理可得.
所以.
因此直线，由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以直线过定点.
（ii）因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值.
18．（2023春·河北·高二校联考期末）已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）设，表达出，代入抛物线方程中，求出的轨迹方程；
（2）设出直线MN：，联立抛物线方程，根据等边三角形，得到方程，求出，进而得到.
【详解】（1）设，则
因为点B在抛物线上，即，
化简得，所以曲线E的方程为．
（2）假设存在点使为正三角形．
当MN垂直于y轴时，不符合题意；
当MN不垂直于y轴时，
设直线MN：，MN的中点为，
联立得：，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵为正三角形，∴，
即，
∴，
PK：，令，
∴
所以存在点使为正三角形．

19．（2023春·江西赣州·高二校联考期中）已知F为抛物线的焦点，点，A为抛物线C上的动点，直线（t为常数）截以为直径的圆所得的弦长为定值．
(1)求实数t的值；
(2)若点，过点A的直线交抛物线于另一点B，的中垂线过点D，求m的值和的面积．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设点，从而可求得及的中点坐标，再根据勾股定理求出弦长，再结合题意即可得解；
（2）设，线段的中点为G，联立方程，根据，求出的范围，利用韦达定理求出，进而可求得点的坐标，再根据即可求得，根据弦长公式求出，再求出点E到的距离，即可得解.
【详解】（1）设点的中点为，
直径，
设截得的弦长为，圆心到弦的距离为，则，
则，
得与无关，所以；

（2）设，线段的中点为G，
联立，得，
由于，则，即，
而，所以，
从则有，即，符合，
而，
点E到的距离为，
所以．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
20．（2023春·上海青浦·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为．
(1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程；
(2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；
(3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)过定点
【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得解；
（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；
（3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为，
双曲线的方程为双曲线，即，则，
由题意可知：，则，
故双曲线的方程；
（2）由（1）可知：，
过点P作直线的垂线，垂足为M，则，
∵，且，
∴，
故直线EP的倾斜角，斜率，
∴直线EP的方程为，即；
（3）设直线，
联立方程，消去y可得：，
则可得：，
∵直线，当时，，
∴，
同理可得：，
∵
，
，
则线段MN为直径的圆C的圆心，半径，
故圆C的方程为，
整理得，
令，则，解得或，
故以线段MN为直径的圆C过定点.

【点睛】思路点睛：过定点问题的两大类型及解法：
（1）动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示即可；
（2）动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
21．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线，过点向抛物线引切线，斜率为1，切点为P．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知H，T是抛物线上的两点，，的重心G在x轴上，PG交HT于点M，求直线HT的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得切线方程为，联立方程组得，结合，求得，即可求解；
（2）由（1）求得切点，根据可得M点的纵坐标，设，，求得，设的方程为，联立方程组，结合，得出方程，求得，即可求解.
【详解】（1）解：过点向抛物线引切线，斜率为1，可得切线方程为，
联立方程组，整理得，
由，解得，故抛物线的标准方程为．
（2）解：由（1）知，解得，即点P的纵坐标为2，故，
又由G为的重心，故M为HT的中点，
则由可得M点的纵坐标，
由题意知直线HT的斜率一定存在且不为0，设，，
则，
设的方程为，将代入，整理得，
故，，
因为，所以，即，
整理得，即，解得，
故直线HT的方程为．

22．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）如图，已知抛物线C：，F为其焦点，点在C上，△OAF的面积为4．

(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线，且，求△MNQ的面积．
【答案】(1)
(2)64
【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）根据题意联立方程结合韦达定理求点Q的坐标，根据切线结合判别式求相应参数值，进而可得结果.
【详解】（1）由题意可知：抛物线C的焦点，
将代入抛物线C的方程得：，
且，则，
因为△OAF的面积为，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）由（1）可得抛物线C的方程为，焦点，
设直线，
联立方程，消去x得，
则，可得，
因为点在抛物线上，则，即，
所以直线的方程为，
联立方程，消去x得，
可得，即，
则，即，
因为，可设，
代入得，即，
所以，
联立方程，消去x得，
因为为抛物线C的切线，则，
整理得，解得，
又因为，，
可得，
即，，
可得，
点到的距离，
所以△MNQ的面积.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
y2＝ax
一次项为x项，x轴为对称轴
a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右
a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左
x2＝ay
一次项为y项，y轴为对称轴
a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上
a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下