北师大版数学九年级上册全部教案

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北师大版数学九年级上册全部教案1. 你能证明它们吗(一）本章总体设计介绍本章是八年级下册第六章《证明(一)》的继续，教科书首先给出四条公理,这四条公理与《证明（一）》中给出的两条公理一起作为这一章继续对命题进行证明的逻辑基础。在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识,从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形有关，主要包括：1.等腰三角形的性质和判定定理；2.直角三角形的性质定理和判定定理；3.线段的垂直平分线性质和判定定理；4.角平分线性质定理和判定定理。本章教学建议对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题,教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系,从而形成对相关图形整体的认识.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性,力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。作为初中阶段几何证明的最后阶段,教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。1. 你能证明它们吗（一）一、学生知识状况分析在八年级下册第六章《证明（一)》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程,习得了一些基本的证明方法和基本规范,积累了一定的证明经验；在七年级下,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫.二、教学任务分析本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上,自主地寻求命题的证明,为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容,应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性,提高逻辑思维水平；3．情感与价值目标启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好学习习惯。4．教学重、难点 重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.三、教学过程分析学生课前准备:一张等腰三角形纸片(供上课折叠实验用）；教师课前准备：制作好的几何画板课件.本节课设计了六个教学环节:第一环节:回顾旧知 导出公理；第二环节：折纸活动 探索新知；第三环节：明晰结论和证明过程；第四环节：随堂练习 巩固新知；第五环节：课堂小结;第六环节：布置作业.第一环节：回顾旧知 导出公理活动内容：提请学生回忆并整理《证明（一）》中列出的六条公理：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2。两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3。两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4。两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5。三边对应相等的两个三角形全等(SSS）；6.全等三角形的对应边相等，对应角相等。在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件:（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）,并要求学生利用前面所提到的公理进行证明.活动目的：经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。活动效果与注意事项：由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘,可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。具体证明如下：已知:如图，∠A=∠D,∠B=∠E，BC=EF.求证:△ABC≌△DEF.证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°)，∴∠C=180°—（∠A+∠B)，∠F=180°—（∠D+∠E),∴∠C=∠F（等量代换）.又BC=EF（已知)，∴△ABC≌△DEF（ASA）。第二环节：折纸活动 探索新知活动内容:在提问:“等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中,可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质,然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。→→活动目的：通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式.活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中,教师应注意小组的巡视,提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”。第三环节：明晰结论和证明过程活动内容:1、在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法,给学生明晰证明过程.（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合2、提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上,思考等边三角形的特殊性质，从而得到：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°。活动目的：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动2,则是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。活动效果:学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°"的证明过程：已知：如图，ΔABC中,AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C=60°。证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角）． 同理：∠C=∠A,∴∠A=∠B=∠C（等量代换）． 又∵∠A+∠B+∠C＝180°(三角形内角和定理）,∴∠A=∠B=∠C＝60°．第四环节：随堂练习 巩固新知活动内容:学生自主完成P4第2题：如图(图略），在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求证:△ABD是等腰三角形；（2）求∠BAD的度数。活动目的：巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。第五环节：课堂小结活动内容：让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。活动目的：形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。活动效果与注意事项:教师注意对学生的感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享,如：1、具体有关性质定理；2、通过折纸活动获得三个定理,均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据．3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性．第六环节：布置作业P5习题1，2.四、教学反思本节关注学生已有活动经验的回顾过程,关注了 “探索－发现－猜想－证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程,学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。当然,在具体活动中,如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。第一章 证明（二)1. 你能证明它们吗（二)一、学生知识状况分析在八年级下册第六章《证明(一）》，学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验;在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。二、教学任务分析本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质,以及等腰三角形的判定定理，前者是性质定理的直接运用与拓广，后者则是前者的逆命题，可以发展学生的逆向思维能力，同时后者的证明过程中,需要借助反证法，因而反证法的学习与运用也成为本课时的教学任务之一,为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：①探索——发现--猜想--证明等腰三角形中相等的线段，证明等腰三角形的判定定理,进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；②初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题；2．能力目标：①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；②在命题的变式中,发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；③在图形的观察中,揭示等腰三角形的本质：对称性,发展学生的几何直觉；④引导学生体会蕴含在问题解决过程中的思想方法，如归纳、类比、反证法等.3．情感与价值观要求①鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲．②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．4．教学重、难点重点:经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．结合实例体会反证法的含义．难点：①由一般结论归纳出特殊结论．②探求证明思路，特别是反证法的思路含义．三、教学过程分析本节课设计了八个教学环节：第一环节：提出问题,引入新课;第二环节：自主探究；第三环节：经典例题 变式练习;第四环节:逆向思考,导出反证法；第五环节：适时提问 导出反证法；第六环节：及时巩固 随堂练习;第七环节:．探讨收获 课时小结；第八环节：布置作业。第一环节:提出问题，引入新课活动内容:在回忆上节课等腰三角形性质的基础上,提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗?活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。第二环节：自主探究活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。活动目的：让学生再次经历“探索—-发现——猜想——证明"的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。活动效果与注意事项:活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测?你能证明你的猜测吗?试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”,学生得到了下面的证明方法:已知:如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE．证法1:∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．∵∠1= EQ \F(1，2） ∠ABC，∠2= EQ \F(1，2） ∠ABC，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA）．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠3=∠4．在△ABC和△ACE中,∠3=∠4，AB=AC,∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）．在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难,注意对有困难的学生给予帮助和指导。第三环节:经典例题 变式练习活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议":在课本图1—4的等腰三角形ABC中，（1)如果∠ABD= EQ  EQ \F(1,3） ∠ABC，∠ACE= EQ \F(1,4） ∠ACB呢？由此，你能得到一个什么结论？(2)如果AD= EQ \F(1,2） AC,AE= EQ \F（1，2) AB,那么BD=CE吗?如果AD= EQ  EQ \F(1，3) AC，AE= EQ  EQ \F（1，3） AB呢?由此你得到什么结论？活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导,因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢?从而引出“议一议”。由于课堂时间有限,如果学生全部解决上述问题,时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题,而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求,如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”。在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。下面是学生的课堂表现：［生]在等腰三角形ABC中，如果∠ABD= EQ \F(1,3) ∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．又∵∠ABD= EQ \F(1,3） ∠ABC, ∴∠ACE= EQ \F（1，3） ∠ACB,∴∠ABD=∠ACE．在△BDC和△CEB中,∵∠ABD=∠ACE,BC=CB，∠ACB=∠ABC，∴△BDC≌△CEB（ASA）．∴BD=CE（全等三角形的对应边相等)［生]如果在△ABC中，AB=AC, ∠ABD= EQ \F（1,4） ∠ABC，∠ACE=∠ EQ \F(1,4) ∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE,△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现:在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ EQ \F(1，n） ∠ABC，∠ACE= EQ \F（1,n） ∠ACB，就一定有BD=CE成立．[生]也可以更直接地说：在△ABC中,AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE． ［师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．(教师可巡视指导）下面我们来讨论第(2）问，请小组代表发言．［生]在△ABC中，AB=AC，如果AD= EQ \F（1,2) AC，AE= EQ \F(1，2） AB，那么BD=CE;如果AD= EQ \F(1,3） AC，AE= EQ \F(1,3） AB,那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论:在△ABC中,AB=AC，AD= EQ \F（1,n） AC，AE= EQ \F(1，n) AB，那么BD=CE．证明如下：∵AB=AC．又∵AD= EQ \F(1，n) AC，AE= EQ \F(1,n） AB，∴AD=AE．在△ADB和△AEC中，AB=AC，∠A=∠A,AD=AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）．［生]一般结论也可更简洁地叙述为：在△ABC中，如果AB=AC,AD=AE，那么BD=CE．[师］这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法,它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．第四环节：逆向思考，导出反证法活动过程与效果：教师:上面，我们改变问题条件,得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法,除此之外,我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角"，反过来成立吗？也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？［生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形,使AB与AC成为对应边就可以了．［师]你是如何想到的？ [生]由前面定理的证明获得启发,比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高,都可以把△ABC分成两个全等的三角形．[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．［生］我们组发现，如果作BC的中线,虽然把△ABC分成了两个三角形,但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．［师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．（教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）（证明略）［师］我们用“反过来”思考问题,获得并证明了一个非常重要的定理—-等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．第五环节：适时提问 导出反证法我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件,是否也可获得一个数学结论吗？我们一起来“想一想"：小明说，在一个三角形中,如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗？有学生提出：“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形,观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明,因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢？我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理过程吗?再例如,我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢？引出反证法。都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法,我们把它叫做反证法．第六环节：及时巩固 随堂练习 已知：如图,∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等)，∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角对等边）．第七环节：．探讨收获 课时小结本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段,并由特殊结论归纳出一般结论,接着用“反过来"思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”,最后结合实例了解了反证法的含义．第八环节：布置作业课本P9 习题1．2 第2、3题四、教学反思本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力,但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少,因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容,将部分内容延伸到课外，当然,也可以设计为两个课时,将研究过程进一步展开.第一章 证明(二)1。 你能证明它们吗（三)一、学生知识状况分析在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程,并能基本规范地证明相关命题，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础.二、教学任务分析本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，应该说，这两个定理的证明和探索相对而言,并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节课可以更多地让学生自主探索。但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类思想；第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，因此,教科书中设计了一个学生活动,在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。为此，确定本节课的教学目标：1．知识目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明,并能利用这两个定理解决一些简单的问题。2．能力目标：①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。3．情感与价值观要求①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志，建立自信心。教学重点①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.4．教学难点①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明。②引导学生全面、周到地思考问题.三、教学过程分析学具准备：两个带30度角的三角板。本节课设计了六个教学环节：第二环节：自主探索；第三环节：实际操作 提出问题；第四环节:变式训练 巩固新知；第五环节：畅谈收获 课时小结；第六环节：布置作业。第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢?从而引入新课。活动目的:开门见山，引入新课，同时回顾,也为后续探索提供了铺垫。活动效果:在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况,如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢?下面是实际教学中的部分师生活动实况：[生]等腰三角形已经有两边分别相等,所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．［生］等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．(此时,部分同学同意此生的看法,部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．)［生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边,三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形,满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费!［师]给三个角都是60°,这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可在小组内交流自己的看法．（2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间)第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件,并交流汇报各自的结论,教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：活动目的：经历定理的探究过程,即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力.活动注意事项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形;底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。在学生得出这些结论的基础上,教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路,选择部分命题，给与严格的证明,由于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路．并要求学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到．第三环节:实际操作 提出问题 活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形.拿出三角板,做一做：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗？在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．活动目的：让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．活动注意事项与效果:学生一般可以得出下面两种图形：其中第1个图形是等边三角形,对于该图学生也可以得出BD= EQ \F（1，2） AB,从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。具体的说明过程可以如下:方法1：因为△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．方法2：图(1）中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论.然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC= EQ \F（1，2） AB．分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC,连接AD．证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°。延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示）．∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS）．∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．∴BC= EQ \F（1,2） BD= EQ \F（1,2) AB．第四环节：变式训练 巩固新知活动1:直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗？如果是,请你证明它．在师生分析的基础上,给出证明：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= EQ \F（1，2) AB．求证：∠BAC=30°证明：延长BC至D，使CD=BC,连接AD.∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC,∴BC= EQ \F（1，2) BD．又∵BC= EQ \F(1，2） AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中,∠BAC=30°．注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂,但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示,因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示?活动2 ：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长。分析:观察图形可以发现在Rt△ADC中,AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外角,而∠DAC=×15°=30°,根据在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．解:∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD= EQ \F（1,2） AC= EQ \F(1,2) ×2a= a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．活动目的：在例题求解中巩固新知.第五环节:畅谈收获 课时小结让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论,以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等.第六环节：布置作业P12 习题1.3 1，2，3。四、教学反思本节课，难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”和“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”,由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果。第一章 证明（二）2．直角三角形（一）一、学生知识状况分析直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，因此教科书将其两种证明方法放在“读一读’’中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的．二、教学任务分析本节课的教学目标是：1．知识目标:(1）经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性.（2）结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．2．能力目标:(1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2)进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．3．情感与价值观要求①在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。②积极参与数学活动,对数学命题的获得产生好奇心和求知欲．4．教学重点、难点重点①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．难点①勾股定理及其逆定理的证明方法．②对不是“如果……那么……"形式的逆命题的叙述．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节:创设情境，引入新课；第二环节:讲述新课；第三环节：议一议；第四环节：想一想；第五环节:．随堂练习；第六环节：课时小结；第七环节：课后作业。第一环节：创设情境，引入新课通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。［问题1］一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB,B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？ B1C1呢?解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°,AB=10 cm，∴BC＝ EQ \F（1，2） AB＝ EQ \F(1，2） ×10＝5 cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90°又∵∠A+∠B＝90°∴∠BCB1 ＝∠A＝30°在Rt△ACB1中，BB1＝ EQ \F（1,2) BC＝ EQ \F(1，2） ×5＝  EQ \F（5,2) cm＝2．5 cm．∴AB1＝AB＝BB1＝10—2。5＝7.5（cm)．∴在Rt△C1AB1中,∠A＝30°∴B1C1 ＝ EQ \F(1，2） AB1＝ EQ \F（1,2） × 7。5＝3.75(cm）．解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”．由此提问:“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗？请同学们打开课本P18，阅读“读一读"，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．第二环节：讲述新课阅读完毕后，针对“读一读"中使用的两种证明方法，着重讨论第一种,第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．1．勾股定理及其逆定理的证明．已知：如图,在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a,AC＝b,AB＝c．求证：a2+b2＝c2．证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c,连接ED、AE（如图），则△ABC≌△BED．∴∠BDE＝90°,ED＝a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）．∴四边形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝ EQ \F(1,2) (a+b)(a+b) ＝  EQ \F(1，2） （a+b)2．∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD）＝180°－90°＝90°，AB＝BE．∴S△ABE＝ EQ \F(1，2） c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴ EQ \F（1,2） (a+b） 2＝  EQ \F(1，2) c2 +  EQ \F（1，2） ab +  EQ \F(1,2) ab, 即 EQ \F(1，2) a2 + ab +  EQ \F(1,2) b2＝ EQ \F(1，2) c2 + ab,∴a2+b2＝c2两干多年来，人们对勾股定理进行了大量的研究，给出了多达数百种的证明方法．如果学生有兴趣，鼓励他们查阅有关资料，了解勾股定理的其他证明方法．教师用多媒体显示勾股定理内容,用课件演示勾股定理的条件和结论,并强调．具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反过来，如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形"的结论．你能证明此结论吗?这对同学们来说也是具有一定难度的．于是师生共同来完成．已知：如图:在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求证：△ABC是直角三角形．分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角）相等,可证．证明:作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图），则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理）．∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′∴BC2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠A＝∠A′＝90°（全等三角形的对应角相等）．因此，△ABC是直角三角形．教师用多媒体显示定理内容：定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．2．互逆命题和互逆定理．观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗？通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置,即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行,内错角相等"，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。第三环节：议一议：活动内容：观察下面三组命题:学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系.活动目的：让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……"的形式,以及能够写出一个命题的逆命题。活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析,然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．不难发现,每组第二个命题的条件是第一个命题的结论,第二个命题的结论是第一个命题的条件．在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说，另一个就为原命题．再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断i每组原命题的真假．逆命题呢？在第一组中，原命题是真命题,而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．第四环节：想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论,然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？从而引导学生思考:原命题是真命题吗？逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明。如果有些命题,原命题是真命题，逆命题也是真命题,那么我们称它们为互逆定理。其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理． 能举例说出我们已学过的互逆定理?如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行"．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角"和“等角对等边”等．第五环节：随堂练习说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假；（1)四边形是多边形;(2）两直线平行，内旁内角互补；（3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0[分析]互逆命题和互逆定理的概念,学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题,写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．（2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为正．（3）如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．第六环节：课时小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道,原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．第七环节：课后作业习题1．4第1、3题四、教学反思学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺,显然，作为教师要关注到学生的个体差异,对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法,体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。所以作为教师一定要重视这个事实，不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异,对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.第一章 证明（二)2．直角三角形（二）一、学生知识状况分析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL"之前已经接触过，只是原来仅属于了解阶段。现在是要重新认识这个定理,并且要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题有一个较高的要求。二、教学任务分析本节课的教学目标是：1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL"的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力②初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，体验解决问题的多样性,发展实践能力和创新精神．3．情感与价值观要求①积极参与数学活动，对数学有好奇心②形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯4．教学重点及难点HL定理的推导及应用三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问质疑;第二环节：引入新课;第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：．课时小结；第六环节：课后作业。第一环节:提问质疑 我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．要求学生完成，一位学生的过程如下：已知：在△ABC中， AB=AC． 求证:∠B=∠C．证明：过A作AD⊥BC，垂足为C,∴∠ADB=∠ADC=90°又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD． ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等）在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑.质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道,两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．（如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)” ．也有学生认同上述的证明。教师顺水推舟，询问能否证明:“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入新课。第二环节：引入新课1．“HL”定理．由师生共析完成已知:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′,BC=B′C′．求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′证明：在Rt△ABC中,AC=AB2一BC2（勾股定理)．又∵在Rt△ A’ B' C’中，A’ C' =A'C'=A’B'2一B’C'2 （勾股定理)．AB=A'B’，BC=B’C’,AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A’B'C’ (SSS）．教师用多媒体演示：定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示． 从而肯定了第一位同学通过作底边的高证明两个三角形全等,从而得到“等边对等角”的证法是正确的． 练习活动：利用投影打出题目判断对错，让学生说明理由。活动目的:让学生辨析一个命题的真假不是靠感觉而是依赖于原有的定理或公理.要经过很好的理性思考之后才能判断对错.活动过程如下：判断下列命题的真假,并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； （3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； （4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． 对于(1）、（2）、（3)一般可顺利通过,这里教师将讲解的重心放在了问题(4)，学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明．已知：R△ABC和Rt△A’B ' C’，∠C=∠C'=90°，BC=B'C’，BD、B'D’分别是AC、A’C’边上的中线且BD—B'D' （如图）．求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C'．证明:在Rt△BDC和Rt△B’D'C’中，∵BD=B’D',BC=B’C'，∴Rt△BDC≌Rt△B ’D ’C ' （HL定理)．CD=C'D’．又∵AC=2CD，A 'C '=2C ’D ’，∴AC=A'C’．∴在Rt△ABC和Rt△A 'B ’C ’中,∵BC=B’C '，∠C=∠C '=90°，AC=A’C ’，∴Rt△ABC≌CORt△A’B'C(SAS）．活动效果及注意事项：通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结。这样的评价活动的效果估计应该是更好一些.第三环节：做一做问题 你能用三角尺平分一个已知角吗？ 请同学们用手中的三角尺操作完成,并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法． 学生完成的实况如下：［生］用三角尺可以作已知角的平分线：如图,在已知∠AOB的两边上分别取点M,N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线．［师］同学们表现都很棒．你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB平分线吗?［生]可以．已知：如上图，由作图步骤可知ON=OM，MP上OA,NP上OB，M、N分别为垂足．求证:∠AOP=∠BOP． 证明：∵ MP⊥OA，NP⊥OB，∴∠OMP= ∠ NP=90°． 在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP，OM=ON.∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL定理）．∠AOP=∠ZBOP（全等三角形的对应角相等）．第四环节:议一议如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来． 这是一个开放性问题,答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．（教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战)学生完成的实况如下:［生］观察图形不难发现.在Rt△ACB和Rt△BDA中，除么∠ACB=∠BDA=90°外，它们有一条公共边，根据直角三角形全等的判定可知添加的条件可以是直角三角形的锐角，也可以是直角三角形中的直角边．从添加角来说,可以添加∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD．［生]还可以将BC、AD的交点设为O，若OA=OB，则△ACB≌△BDA．[师］第一位同学的想法思路清晰明了,第二位同学敢打破常规思路．独辟蹊径，并且很有见地．请同学们思考，第二位同学添加的条件可以吗？若可以，请同学们推导证明;若不可以，说明理由．[生］我认为可以，我是这样推导出来的．已知：如上图，AD、BC交于点O，且OB=OA．∠ACB=∠BDA=90°，求证：△ACB≌△BDA．证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中∵AO=BO，∠ACB=∠BDA=90°∠AOC=∠△BOD（对顶角相等），∴△ACO≌△BDO(AAS)．∴AC=BD．又∵AB=AB,∴△ACB≌△BDA(HL定理)．［生］我还有一种方法，如果把刚才添加的条件“OA=OB"改写成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA．[师]请同学们思考这样做可以吗?［生]我认为可以．推导过程如下：已知：如上图，∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD．求证：△ACB≌△BDA．证明：在△AOC和△BOD中∵∠ACB=∠BDA=90°，OC=OD，∠AOC=∠BOD（对顶角相等)，∴△AOC≌△BOD（ASA）．∴AC=BD(全等三角形对应边相等）在△ACB和△BDA中，∵AB=AB，AC=BD,∠ACB=∠BDA，∴△ACB≌BDA(HL定理）．［生］我又有一种想法，若添加∠CAD=∠DBC”，可以得出△ACB≌△BDA吗？［生]我认为不可以,因为添“∠CAD=∠DBC”，则在△AOC和△BOD中，有三个内角对应相等，不能证明△AOC≌△BOD，也就不能获得△ACB和△BDA全等的条件．［师］同学们分析得很透彻，由此我们得到了六种不同的答案．例如。（1）AC=BD；(2)BC=AD；(3)∠CBA∠=∠DAB；(4)∠CAB=∠DBA;(5）OA=OB；(6)OC=OD，等．下面我们再来看一例题． [例题]如图,在△ABC≌△A’B'C’中，CD，C’D'分别分别是高,并且AC＝A’C’，CD=C'D'．∠ACB=∠A’C'B'．求证：△ABC≌△A'B’C’．分析：要证△ABC≌△A’B'C’，由已知中找到条件：一组边AC=A'C’，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求么∠B=∠B’,这样就有AAS；还可寻求BC=B’C’，那么就可根据SAS．……注意到题目中，通有CD、C’D'是三角形的高，CD=C’D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证的Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A’ 就可行．证明:∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C’的高（已知）,∴∠ADC=∠A'D’C’=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D’C’中，AC=A'C’（已知)，CD=C’D' (已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A’D'C' (HL)．∠A=∠A’，(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A’B'C'中，∠A=∠A’ (已证），AC=A’C’ （已知)，∠ACB=∠A’C’B’ （已知)，∴△ABC≌△A'B’C’ (ASA）．第五环节:课时小结本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法,而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大．第六环节：课后作业习题1．5第1、2题四、教学反思本节HL定理的证明学生掌握得比较好,定理的应用方面尤其是“议一议”中的该题灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果。第一章 证明(二）3．线段的垂直平分线（一) 一、学生知识状况分析学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难,这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。二、教学任务分析本节课的教学目标是：1．知识目标：①经历探索、猜测过程,能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2．能力目标:①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节:第一环节：创设情境,引入新课;第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做 ；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。第一环节：创设情境，引入新课教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形,其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等"利用此性质就能完成．进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”教师演示线段垂直平分线的性质：定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．同时，教师板演本节的题目：1．3 线段的垂直平分线（一）第二环节：探究新知第一环节提出问题后，有学生提出了一个问题:“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个,需一个一个依次证明吗?何况不可能呢．”教师鼓励学生思考,想办法来解决此问题。通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了．”教师肯定该生的观点，进一步提出：“我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．"已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明:∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS)． ；∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：第三环节：想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．"写出逆命题后时,就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法.证法一:已知:线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二：取AB的中点C，过PC作直线．∵AP=BP，PC=PC。AC=CB，∴△APC≌△BPC（SSS）．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上．证法三:过P点作∠APB的角平分线．∵AP=BP,∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS）．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB（全等三角形的对应角相等，对应边相等）．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上．证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分线上．四种证法由学生表述后,有学生提问:“前三个同学的证明是正确的,而第四个同学的证明我有点弄不懂．”师生共析：如图(1）,PD上AB，D是垂足，但D不平分AB;如图（2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB．这说明一般情况下：过P作AB的垂直平分线“是不可能实现的,所以第四个同学的证法是错误的．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题,(1)(2)我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线．现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?第四环节：做一做 活动内容：用尺规作线段的垂直平分线．活动目的：探索尺规方法作线段垂直平分线的思路与过程以及体验其中的演绎思维过程。活动过程：用尺规作线段的垂直平分线．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法,体会作法中每一步的依据．［师生共析]已知:线段AB（如图）．求作：线段AB的垂直平分线．作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于 EQ \F(1,2） AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．[师］根据上面作法中的步骤,请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．[生］从作法的第一步可知 AC=BC,AD=BD．∴C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．∴CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．[师］我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时．一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点．活动效果及注意事项：活动时可以先让学生讨论，然后点名学生板演，下面学生可以模仿着做，最后教师进行归纳和总结.第五环节：随堂练习课本P261．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm;如果∠ECD=60°，那么∠EDC= 解：∵AB是线段CD的垂直平分线，∴EC=ED．又∵EC=7 cm，∴ED=7 cm．∴∠EDC=∠ECD=60°．2．已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P．已知:直线l和l上一点P．求作：PC⊥l．作法：l、以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线L相交于点A和B．2．作线段AlB的垂直平分线PC．直线PC就是所求的垂线．第六环节:课时小结本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线． 第七环节：课后作业习题l。6 第1、3题 四、教学反思在这一节中,所介绍的定理实际是在七年级曾经探索过的命题，如线段垂直平分线的性质定理,作为探索活动的自然延续和必要发展,我们作为老师要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果，先得出猜想,然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．第一章 证明（二)3．三角形的垂直平分线（二) 一、学生知识状况分析学生在证明三角形三边垂直平分线交于一点时可能也较抽象．教学时,教师对此不要操之过急，应逐步引导，学生对它的理解要有一个过程． 二、教学任务分析本节课的教学目标是:1．知识目标：①经历折纸和作图、猜想、证明的过程，能够证明三角形三边垂直平分线交于一点②经历猜想、探索,能够作出以a为底,h为高的等腰三角形．2．能力目标：①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．②体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识． ③学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3. 情感与价值观要求 ①能够积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 4．教学重点、难点 重点：①能够证明与线段垂直平分线相关的结论． ②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形． 难点：证明三线共点是难点。三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节:第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：讲述新课；第三环节：议一议； 第四环节:课时小结;第五环节：课后作业.第一环节：提出问题,引入新课活动内容：尺规作图作三条边的垂直平分线。活动目的:让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。活动过程：教师提问：“[师］习题1．6的第1题:利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?(教师可用多媒体演示作图过程)”“三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．"等都是学生可以发现的直观性质。下面请同学们剪一个三角形纸片,通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线,你是否发现同样的结论？与同伴交流．学生会有和习题1．6有着同样的结论．教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的,看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．”这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．[板演题目:§1．3．2线段垂直平分线(二)]活动效果及注意事项：上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。第二环节:讲述新课我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示．通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．" 虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢?师生共析，完成证明已知：在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线交于点P,连接AP，BP，CP．求证：P点在AC的垂直平分线上．证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．同理PB=PC．∴PA=PC．∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上）．∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点,你还能得出什么结论？" （交点P到三角形三个顶点的距离相等．)多媒体演示我们得出的结论：定理　　三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等练习1．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线,说明交点分;别在什么位置．（利用几何画板的现场作图,结合其运动的功能可以显示各种不同的三角形让学生先做，然后教师再演示）2．已知：△ABC中,AB=AC，AD是BC边一上的中线,AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC． 解：1．如图所示:可以发现，锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外．2．证明：∵AB=AC,AD是BC的中线，∴AD垂直平分BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边）．又∵AB的垂直平分线与交于点O,∴OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)．第三环节:议一议 活动内容:借用尺规作图作已知一条边及这条边上的高，求作出相关的三角形。活动目的：让学生体验利用尺规作图作出的三角形是否惟一，即是否确定。活动过程：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗?（2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 由学生思考可得:（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图:已知：三角形的一条边a和这边上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h 从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D），使AD=A1D=h，连接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件,所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．(见几何画板课件）（2）如果已知等腰三角形的底边,用尺规作出等腰三角形,这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点,和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．另外有学生补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．”（3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．教师希望学生能尝试着用尺规作出这个三角形。［师生共析］已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法:1．作BC=a；2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；3．以D为圆心,h长为半径作弧交MN于A点;4．连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示）．完成作图后,可能有学生会后这样的疑问：“满足条件的△ABC应有两个，为什么不作出另一个呢?教师说明，作图分“定位作图”和“活位作图”,前者则对所求作的图形必须作在指定的位置，而后者则对所求作图形的位置没有硬性限制．如“作已知线段的垂直平分线”属定位作图，而“以已知正方形的一边为边作等边三角形”“已知两边及其夹角作三角形"都属于活位作图．对于定位作图，能作出多少个满足条件的图形,就说这个作图题有多少个“解"．对于活位作图，如果所作出的图形彼此全等，那么不论能作出多少个图形，都说这个作图题有一个“解”；如果所作出的图形不都全等，那么不全等的才算不同的“解”．“已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．”属活位作图，虽然满足条件的三角形可作出两个，但因它们全等，故只有一解．从这个意义上说，满足这一条件的等腰三角形是唯一确定的．当然，若没有学生提问，教师不一定要进行作图分类的阐述。活动效果及注意事项:以上问题演示时依次出现．第四环节:课时小结 本节课通过折纸，推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平；分线的交点,及三角形三条边的垂直平分线；交于一点"的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．第五环节:课后作业习题1．7第1、2题四、教学反思本节利用我们已学过的定理和公理证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线．已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从折纸，尺规作图,逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.尤其本节能够充分利用几何画板的动态演示功能，更能增强学生的理解力，我认为这样处理起来是比较好的。第一章 证明（二）４．角平分线（一) 一、学生知识状况分析本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．二、教学任务分析本节课的教学目标是：1．知识目标：①角平分线的性质定理的证明．②角平分线的判定定理的证明．③用尺规作已知角的角平分线．2．能力目标：①进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． ②体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．3．情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点重点①角平分线的性质和判定定理的证明．②用尺规作已知角的角平分线并说明理由．难点①正确地表述角平分线性质定理的逆命题．②正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节:设置情境 温故知新；第二环节：展示思维空间。构建活动空间；第三环节:随堂练习 及时巩固；第四环节：课时小结；第五环节：课后作业第一环节：设置情境 温故知新搭建探究平台问题我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质,步骤如下:从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗？第二环节：展示思维空间。构建活动空间请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2,OP=OP,∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）．(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导）我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗?我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程,我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．此时有学生提问:“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”教师肯定这位同学思考问题很仔细．并加以解释。事实上,从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC（即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上．它是真命题吗？ 你能证明它吗？［生]没有加“在角的内部”时，是假命题． (由大家自己独立思考完成,在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)证明如下：已知:在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上．证明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠ PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP,PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP（HL定理）．∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。你能用什么办法平分一个已知角呢？能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗?请在小组内交流．学生提出：可以用量角器、三角尺、角尺等以前常见的方法．教师提出:学习的是用直尺和圆规平分一个已知角．已知：∠AOB（如图)求作：射线OC,使∠AOC=∠BOC．作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．2．分别以D、E为圆心,以大于 EQ \F（1,2） DE的长为半径作弧,两弧在么AoB内交于点C．3．作射线OCOC就是∠AOB的平分线．（教学时,教师可以边介绍作法,边让学生动手完成整个操作过程)完成做法后,请学生说明OC为什么是∠AOB的平分线,与同伴交流．从作图的过程中，不难发现OD=OE，CE=CD，OC=OC,△OCEC≌△OCD(SSS）．∴∠1=∠2，即OC是∠AOB的角平分线．第三环节:随堂练习 及时巩固 如图,AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？解：∵AD平分∠CAB．∴又∠1=∠2= EQ \F(1，2) ∠CAB又∵AE平分∠CAF．∠CAB+∠CAF=180°，∴∠3=∠4=  EQ \F(1，2) ∠CAF∵∠CAB+∠CAF=180°∴∠1+∠3=  EQ \F（1,2) （∠CAB+∠CAF)= EQ \F(1，2) ×180°=90°，即AD⊥AE．第四环节：课时小结这节课我们在折纸的基础上，证明了角平分线的性质定理和判定定理,并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识和能力．第五环节：课后作业1．习题1．8第1,2，3题．2．阅读“读一读”，使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”,开阔他们的视野，体会数学家坚忍不拔的科学探索精神．四、教学反思教学时,主要运用启发式教学，采用‘‘实验——猜想—-验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论,充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题,而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。第一章 证明（二）４．角平分线(二） 一、学生知识状况分析学生的知识技能基础:通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。二、教学任务分析本节课的教学目标是：1．知识目标：（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．2．能力目标：（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．（2)培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．3．情感与价值观要求①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点重点①三角形三个内角的平分线的性质．②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．难点角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：展示思维过程，构建探究平台；第三环节:例题讲解；第四环节：课时小结;第五环节：课后作业。第一环节：设置情境问题，搭建探究平台问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明.第二环节：展示思维过程,构建探究平台已知:如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上,∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带"的成果呢？(PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等．下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理问题2如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？要求学生思考、交流。实况如下：[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．[生]我找到四处．（同学们很吃惊）除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1（如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理,可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3教师讲评。第三环节：例题讲解 ［例1]如图,在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4 cm，求AC的长;（2）求证:AB=AC+CD．分析：本例需要运用前面所学的多个定理,而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法,并能综合运用它们解决问题．第(1）问中，求AC的长,需求出BC的长,而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第（2)问中,求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE,CD=BE．(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC（等边对等角）．∵∠C=90°，∴∠B= EQ \F(1,2) ×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE（等角对等边）．在等腰直角三角形BDE中BD=2DE2.=4 2 cm（勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．(2)证明:由(1）的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．［例2］已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）OC=OD；（2)OP是CD的垂直平分线．证明：(1）P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等）．在Rt△OPC和Rt△OPD中,OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理）．∴OC=OD（全等三角形对应边相等)．（2）又OP是∠AOB的角平分线，∴OP是CD的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理)．思考:图中还有哪些相等的线段和角呢？第四环节：课时小结本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．第五环节:课后作业习题1．9第1、2题四、教学反思本节对学生能力的要求很高,如例1中问题作为教师要善于 利用这个典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现,达到以点带线，以线带面的功效。如果课堂时间允许还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解。第二章 一元二次方程1．花边有多宽（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程;学生在八年级已学过二元一次方程组的概念,经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程;学生已理解了“元”和“次”的含义,具备了学习一元二次方程的基本技能。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看,还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：自主探究问题一；第二环节:自主探究问题二；第三环节:自主探究问题三；第四环节：总结归纳；第五环节：学以致用；第六环节：反思;第七环节：布置作业。第一环节：自主探究问题一活动内容:出示问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。让学生根据这一问题情境提出问题：根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？活动目的：提出了半开放性的问题：根据这一情境,结合这些已知量,你想求哪些量？旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。教学要求与效果:教学中，为了帮助学生理解题意,可以首先提出问题:你能找到图中的地毯、花边和中央长方形吗？并让一生指出对应的三部分；接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。教学中教师可以一次完成下列任务：(1)罗列学生提的问题；（2)引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式；（3）引导学生列出相应的方程并整理。从实际效果来看，学生提出的问题多样有：（1)花边的宽,(2)中央长方形的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样,依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是，整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。第二环节：自主探究问题二活动内容：在学生的疑问处提出问题：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。在难以找到的情况下，归结为方程去解决。活动目的:上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。教学要求与效果：找到等式102+112+122=132+142之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同.有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决.首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必要的指导。然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索—发现—归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。从实际效果来看，学生的学习积极性很高,课上到这儿达到一个小高潮.第三环节：自主探究问题三活动内容：8m如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m。那么梯子的底端滑动多少米?活动目的：通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数,列出适合条件的方程.活动的实际效果：先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程,问题解决得很顺畅.第四环节：总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程,观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。活动目的：关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解.活动的实际效果：学生基本能识别一元二次方程及各个部分.第五环节:学以致用活动内容：1、把方程（3x＋2）2＝4（x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试,不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．活动目的：及时巩固一元二次方程的有关概念,巩固学生通过实际问题列出相应方程。活动的实际效果：问题（1）中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大，但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时,部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。当然，教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题，如给出各项系数,请写出事故和条件的方程;也可以在第四环节中，直接和学生辨析到底各项系数是什么.问题（2），实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程,教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示出来。第六环节：反思活动内容:让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？活动目的:让学生学会自己梳理知识要点,提高归纳总结的能力。活动的实际效果：绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题。第七环节：布置作业作业：P45 习题2、1四、教学反思我们学校地处城乡结合部，生源成分复杂，针对学生的基础如此设计，但是时间还是很紧。建议基础薄弱的地区：课前复习整式的乘法、完全平方公式，熟知10—20的平方;在第四环节中，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称后，举例反问，以加强对概念的理解及其对各部分名称的认识。第二章 一元二次方程1．花边有多宽（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础:学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程。因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解"的概念不难理解；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中,学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题.同时通过上一节课的学习,学生发现,一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的.在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中,经历估计近似解的过程，寻找方程的解。同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教科书基于学生已有的估算意识和能力以及对方程的解的理解的基础之上，提出了本节课的具体学习任务：经历一元二次方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《花边有多宽》内容从属于“方程与不等式"这一数学学习领域,因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此,本节课的教学目标是：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解,发展学生的估算意识和能力。3、进一步提高学生分析问题的能力,培养学生大胆尝试的精神,在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识,学会在合作学习中相互交流。三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入;第三环节:做一做;第四环节：练习提高；第五环节:课堂小结；第六环节：布置作业。第一环节：复习回顾活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：,即：；,即：。发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用.上一节课的两个问题是否已经得以完全解决?你能求出各方程中的x吗？活动目的：上述两个问题是承上一节课的现实问题，通过对这两个问题情境的回顾，学生自然会产生求解的欲望，符合学生的学习心理。适当的回顾也是引导学生不仅要学会将现实问题转化为数学问题，而且还应该关注对该数学问题进行解答。实际效果：学生能够意识到上一节课只是找到了解决问题的途径,即列方程,但并没有将方程的解求出来，也就是说并没有最终找到问题的答案,因而产生了彻底解决这些问题的欲望，因而十分自然地引出了本节课的主要内容：探索一元二次方程的解.第二环节：情境引入活动内容：1、有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通,现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处?与同伴进行交流。2、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x（m），得到方程:，即：；(1）x可能小于0吗?说说你的理由．(2）x可能大于4吗？可能大于2．5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．（3)完成下表：（4)你知道地毯花边的宽x（m）是多少吗？ 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．活动目的:设计问题1，目的在于激发学生的学习兴趣，同时让学生体会和理解“夹逼”的思想，为2的解决提供铺垫；问题2,顺应第1环节，设法求出花边的宽度，这里引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程,为后续其他问题的解决提供了范本、样例。实际效果：通过对问题1提出的方法进行讨论,学生能够比较自然的得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤：①在未知数x的取值范围内排除一部分取值,②根据题意所列的具体情况再次进行排除；③列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.然后用这种方法解决接下来的问题2。问题2,第(1)问，因为x表示的是地毯的宽度，学生能意识到x不可能小于0；第（2)问,学生大多数能够从实际情况出发,意识到当x大于4和当x大于2。5时，将分别使原地毯的长和宽小于0，不符合实际情况；第（3)问,学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x=1时，代数式2x2-13x+11的值等于0;花边的宽度为1m。由于方程的解是整数解，学生都能通过列表计算直接找到方程的解，这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而增强了学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.当然，解决第(4)问时，有的学生发现在方程中,等式的左边是一个乘积，右边等于18，而36=18，所以令8—2x=6，5—2x=3，凑出x=1,这些学生的想法很巧妙,要及时肯定。第三环节：做一做活动内容:上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x（m)满足方程，把这个方程化为一般形式为（1)你能猜出滑动距离x(m）的大致范围吗?(2）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？（3）底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么？（4）x的整数部分是几?十分位是几?活动目的：在本环节中，使学生充分体验探求方程解的过程,这既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中，引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法，进而体会无限逼近的思想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。同时，对于近似解的讨论,一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力，另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。需要指出的是，在这一环节的计算中，应提倡学生使用计算器。实际效果:由于在解决上一环节问题的过程中,学生对用估算的方法求解已经有了一个初步的认识。本环节中,我将课本中的第三问直接提前到第一问，目的是让学生体会应首先从实际生活中找到x的取值范围，学生说理情况非常不错!然后再将找到的0＜x＜4的范围通过以下的几问继续“夹逼”,使x的范围进一步缩小。通过这两步的“夹逼”，让学生充分体会无限逼近的思想。 附学生对第（1）问的说理过程如下：在此题中,我认为x的取值范围是0＜x＜4.首先，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC=6m，而BD＜10m,因此CD＜4m。所以x的取值范围是0＜x＜4。学生完成下面的表格：同时发现：没能在这些整数取值中找到方程的解，但却通过表格分析发现，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是—2和13,而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大。因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间.从而确定x的整数部分是1。教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解。以下分了两种不同的做法：甲同学的做法：所以1＜x＜1。5进一步计算:所以1。1＜x＜1。2因此x的整数部分是1，十分位是1.乙同学的做法： 所以1.1＜x＜1.2因此x的整数部分是1，十分位是1。对于这几种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较。通过这一练习，可要求学生整理用“夹逼”思想解一元二次方程的做题思路,并可展示课本中小亮的求解过程.第四环节：练习与提高 活动内容：五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方.您能求出这五个整数分别是多少吗？活动目的：为了检测学生对本课教学目标的达到的情况，进一步加强知识的应用训练,我给出了课本上的这道题目，这也是上一节课中的一个数学问题的延续。引导学生从知识获得途径、结论、应用、数学思想方法等几个方面展开，引导学生自主归纳完成，这有利于强化学生对知识的理解和记忆,提高分析和小结能力。教学中应关注学生对五个连续整数的不同表示方法，让学生比较异同，并在比较中找出最好的表示方法。同时这一题目也是对本节知识进行的巩固练习。实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习学生基本都能准确表示出五个连续整数，但因设法的不同,所列方程各不相同。在计算该方程的解时，很难确定x的取值范围，而且在列表的过程中,符合条件的解共有两个，教师可在学生练习中给与适当的引导和提示。第五环节:课堂小结活动内容:师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。活动目的：鼓励学生结合本节课的学习,谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）实际效果：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了本节课的基本思路和过程。第六环节:布置作业课本47页习题2.2第1题、第2题四、教学反思1、关注只是发生发展过程、关注数学活动过程由于在旧教材当中,解方程的过程大多是根据方程的特点，运用不同的解法直接求精确解,学生掌握的更多的是解方程的技巧和准确度。《标准》中明确要求加强学生估算意识和能力的培养，这一方面可以促进学生对方程解的理解，另一方面又为方程精确解得研究作了铺垫。本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境:让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型；体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣；由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤,这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念。学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯。当然,学生是不可能满足于所获得的近似解的，必然产生精确求解的内在要求,在此基础上自然引入方程的精确求解，从教育心理学角度讲，是符合学生认知规律的，是不可或缺的一个重要过程。2、创造性使用教材在第三环节的做一做中，我将问题串的顺序稍作改动，使得问题的解决更加流畅。3、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言以及小组合作学习等方式，帮助学生形成积极主动的求知态度。本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，在此过程中，教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学。4、注意改进的方面本节课的学习中，重点是使学生在求解的过程中体验方程解的含义，教师应引导学生讨论并探索求解的过程，防止学生在求解过程中只注重表格的数据的计算，而忽视了对数据特点的分析，忽视了探求解的意识。在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。第二章 一元二次方程２．配方法（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在初二上学期已经学习过开平方，知道一个正数有两个平方根,会利用开方求一个正数的两个平方根，并且也学习了完全平方公式。在本章前面几节课中，又学习了一元二次方程的概念，并经历了用估算法求一元二次方程的根的过程，初步理解了一元二次方程解的意义;学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用计算器估算一元二次方程解的过程，解决了一些简单的现实问题，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基于学生的学习心理规律，在学习了估算法求解一元二次方程的基础上，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教科书基于学生用估算的方法求解一元二次方程的基础之上，提出了本课的具体学习任务:用配方法解二次项系数为1且一次项系数为偶数的一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。而数学教学的远期目标,应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《配方法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程,体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此,本节课的教学目标是：１、会用开方法解形如的方程,理解配方法，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程；２、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,增强学生的数学应用意识和能力；３、体会转化的数学思想方法；４、能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾;第二环节：情境引入;第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.第一环节：复习回顾活动内容:1、如果一个数的平方等于，则这个数是 ，若一个数的平方等于7,则这个数是 。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？2、用字母表示完全平方公式。3、用估算法求方程的解？你喜欢这种方法吗?为什么?你能设法求出其精确解吗？活动目的:以问题串的形式引导学生逐步深入地思考，通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式，通过后一个问题的回答让学生进一步体会用估计法解一元二次方程较麻烦，激发学生的求知欲，为学生后面配方法的学习作好铺垫。实际效果：第1和第2问选两三个学生口答，由于问题较简单，学生很快回答出来。第3问由学生独立练习，通过练习,学生既复习了估算法，同时又进一步体会到了估算法较麻烦,达到了激发学生探索新解法的目的.第二环节：情境引入活动内容：（1）工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM2正方形，请你帮他想一想，这个正方形的边长应为 ；若它的面积为75CM2,则其边长应为 .（选1个同学口答）（2)如果一个正方形的边长增加后，它的面积变为,则原来的正方形的边长为 .若变化后的面积为呢？（小组合作交流）（3）你会解下列一元二次方程吗？(独立练习)； ； .（4）上节课,我们研究梯子底端滑动的距离满足方程，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?（合作交流）活动目的：利用实际问题，让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。实际效果：在复习了开方的基础上,学生很快口答出了第1问，为解决第二问做好了准备。第2问让学生合作解决,学生在交流如何求原来正方形的边长时,产生了不同的方法，有的学生直接开方先求出了新正方形的边，再减增加的边长，求出原来的正方形的边长；有的同学用了方程，设原正方形的边长为，根据题意列出了一元二次方程然后两边开方，根据实际情况求出了原来正方形的边长,这样，再一次经历了用一元二次方程解决实际问题的过程，并初步了解了开方法在一元二次方程中的简单应用.在第2问的基础上，学生很快解决了第3问。但学生在解决第4问时遇到了困难，他们发现等号的左端不是完全平方式,不能直接化成 的形式，因此大部分同学认为这个方程不能用开方法解，那么如何解决这样的方程问题呢？这就是我们本节课要来研究的问题(自然引出课题），为后面探索配方法埋好了伏笔.第三环节:讲授新课活动内容1:做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方)填上适当的数，使下列等式成立.（选4个学生口答） 问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如的式子如何配成完全平方式？（小组合作交流)活动目的:配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征,在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半"，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备.实际效果:由于在复习回顾时已经复习过完全平方式，所以大部分学生很快解决四个小填空题。通过小组的合作交流，学生发现要把形如的式子如何配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方即加上即可。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使如何配成完全平方式的方法更加透彻。事实上,通过对配方的感知的过程，学生都能用自己的语言归纳总结出配成完全平方式的方法，这就为下一环节“用配方法解一元二次方程”打好基础。由此也反映出学生善于观察分析的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观.活动内容2：解决例题 （1）解方程:x2+8x—9=0.(师生共同解决）解：可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x＝9两边都加上（一次项系数8的一半的平方)，得x2+8x＋42=9＋42.(x+4）2=25开平方，得 x+4=±5，即 x+4=5,或x+4=—5。所以 x1=1, x2=—9.（2)解决梯子底部滑动问题：（仿照例1，学生独立解决)解：移项得 x2+12x=15，两边同时加上62得,x2+12x+62=15+36，即（x+6)2=51两边开平方，得x+6=±所以:，，但因为表示梯子底部滑动的距离所以 不合题意舍去。答：梯子底部滑动了米.活动内容3：及时小结、整理思路用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么?（小组合作交流)活动目的：通过对例1和例2的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成形式，同时通过例2提醒学生注意：有的方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍。由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的。最后由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么？”引出配方法的定义。实际效果：学生经过前一环节对配方法的特点有了初步的认识，通过两个例题的处理，进一步完善对配方法基本思路的把握，是对配方法的学习由探求迈向实际应用的第一步。最后利用两个问题，通过小组的合作交流得出配方法的基本思路和解决问题的关键，结论的得出来源于学生在实例分析中的亲身感受，体现学生学习的主动性。活动内容4、应用提高例3：如图，在一块长和宽分别是16米和12米的长方形耕地上挖两条宽度相等的水渠，使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半,试求水渠的宽度。（先独立思考，再小组合作交流）活动目的：在前两个例题的基础上,通过例3进一步提高学生分析问题解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。实际效果:大部分学生通过独立思考，结合图形很快列出了方程，在交流过程中小组成员之间产生了分歧,有的同学认为，如果设水渠的宽为米，则方程应该是；有的同学认为如果设水渠的宽为米,则方程应该是，并且给出了合理的解释；有的同学则认为，如果剩余的耕地面积等于原来的一半则意味着水渠的面积也等于原来长方形面积的一半，所以方程可以列为:.面对这些问题,组织学生解他们所列出的几个方程，然后再让小组成员合作交流讨论,通过讨论，学生发现这三种方法都正确，并且指出第一种方法可以利用平移水渠，把分割成的四部分拼在一起，构成了一个较大的矩形（如下图），然后再利用矩形的面积公式列出方程，此种方法在解决此类问题时最简单。这样通过学生之间的争论、辩论提高了课堂效率，激发了学生学习数学的热情,达到了资源共享。第四环节：练习与提高活动内容：解下列方程活动目的：对本节知识进行巩固练习。实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习,学生基本都能用配方法解解二次项系数为1、一次项系数为偶数的一元二次方程,取得了较好的教学效果,加深了学生对“用配方法解简单一元二次方程”的理解。第五环节：课堂小结活动内容：师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键,以及在应用配方法时应注意的问题。活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言,教师给予鼓励）。实际效果：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了配方法的基本思路和过程。第六环节：布置作业课本50页习题2.3  1题、2题四、教学反思1、 创造性地使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在初一、初二已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，而且普遍掌握较好,所以本节课从这两个方面入手，利用几个简单的实际问题逐步引入配方法。教学中将难点放在探索如何配方上，重点放在配方法的应用上。本节课老师安排了三个例题，通过前两个例题规范用配方法解一元二次方程的过程,帮助学生充分掌握用配方法解一元二次方程的技巧,同时本节课创造性地使用教材，把配方法(3）中的一个是设计方案问题改编成一个实际应用问题,让学生体会到了方程在实际问题中的应用,感受到了数学的实际价值.培养了学生分析问题，解决问题的能力。2、 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作,为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学。3、注意改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.第二章 一元二次方程２．配方法（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期,学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式,在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。学生活动经验基础:上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想",为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力。三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节:第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节:练习提高;第五环节：课堂小结;第六环节：布置作业。第一环节 复习回顾活动内容：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤。活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2—6x-40=0移项，得 x2-6x= 40方程两边都加上32（一次项系数一半的平方)，得 x2-6x+32=40+32即 （x-3）2=49开平方,得 x-3 =±7即 x—3=7或x—3=—7所以 x1=10，x2=—4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路,掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。配方法的两节课连贯性强,作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触，熟练掌握基本的步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力.一般的一元二次方程配方解法的步骤(移项，配方，开平方，求解)及注意事项。移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数项调整到右边;配方是将方程的两边添加一个常数项（一次项系数一半的平方)原理是根据公式(a＋b)＝a＋2ab＋b进行的；开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；求解的过程是解两个一元一次方程，要注意符号的变化。第二环节：情境引入活动内容:1。将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.1.x2+2x+________=(x+______)22。x2—4x+________=（x-______）23.x2+________+36=（x+______）24。x2+10x+________=(x+______)25. x2—x+________=（x—______）22。请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别1.x2+6x+8=02。3x2+18x+24=0探讨方程2的应如何去解呢？活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练,熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系,第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式,联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式同解方程。学生们作了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路。实际效果：学生对第一部分五个口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态;比较第二部分中两个方程系数之间的区别与联系，学生们发现二次项系数为1仅是方程中的一小部分，怎样将其它类型的方程转化成这类方程非常关键，这个比较也点明了转化的方向和思路，为后续解这个方程做好了充分的铺垫，学生解决它已是轻车熟路的事情。第三环节：讲授新课活动内容1：讲解例题例2 解方程3x2+8x-3=0解：方程两边都除以3,得移项，得配方，得 活动目的:通过对例2的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程。让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路，关键是将方程转化成形式，特别强调当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理,树立解题的信心。另外，得到 后，在移项得到要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错。实际效果:经过这一环节，学生对配方法的特点有了深入的了解，通过例题的处理，进一步把握了配方法的基本思路，熟悉了其步骤。活动内容2：应用提高：做一做:一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h（m）与时间t(S)满足关系：h=15t—5t2,小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得 15t—5t2=10方程两边都除以-5，得 t2—3t=-2配方,得活动目的：在前边学习的基础上，通过例3进一步提高学生分析问题，解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用,也为后续学习做好铺垫。实际效果:大部分学生通过独立思考,根据题意很快列出了方程，解方程的过程比较顺畅，最终得到两个时间t的值分别为1和2，根据实际情景怎样理解这两个时间呢？这就是很好的数学应用，体现数学的价值，很多学生能想象出当时间为1秒时，小球上升到离出发点10米的地方，当时间为2秒钟时，小球是处于下降状态，离出发点也是10米，激发了学生学习数学的热情。第四环节：练习与提高活动内容：课本习题2.4第1题印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起?大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。解：可设猴子的总数是x，由题意可得(x)2+12=x解得x1=16 x248答:这群猴子可能是16只，也可能是48只.活动目的：对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力、数学建模能力。实际效果：这个题中的等量关系不易发现，课堂上,我给学生们适当的空间，培养学生独立思考的习惯，然后鼓励思维敏捷的同学展示自己的思路,用学生的语言带动学生们学习。第五环节：课堂小结活动内容：1。学生总结解一元二次方程的基本步骤；2.利用一元二次方程解决实际问题的思路，对于结果的理解。活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想实际效果:学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了配方法的基本思路和过程。第六环节:布置作业(1）课本53页习题2.4第2题;⑵一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱)与年龄x（岁）大致满足关系:p=0.01x2+0。05x+107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱,那么她的年龄大概是多少？⑶有能力的同学请课余时间用配方法交流探究方程： ax2+bx+c=0 (a不为0)的解法.四、教学反思1、创造性的使用了教材:这节课作为配方的第二节主要是以习题训练为重点，所以我依照书上的例题为重点展示了解方程的基本步骤，另外，添加了辅助性的3个习题；将书上的做一做转化成一个例题，让学生体会利用一元二次方程解决问题的感受；另在作业中配套了一道血压方面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关。2、注意改进的方面基础较好的学生对于基础性的计算比较快，与此同时，班级中的有7-8名学生对于数据计算有懒惰的思想,速度慢，时间长，如果不能及时解决，这部分学生将落队,或者整节课堂冗长无味，因此如何调控教学进度成为教学中的一个难点。我的办法是老师准备好几个不同层次的习题,当大部分学生做完后，可以为他们提供更高层次的习题，继续引领他们的思维前进，而加强对基础薄弱的同学动手动脑的监督.第二章 一元二次方程２．配方法（三)一、学生知识状况分析学生的知识技能基础:学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础.学生活动经验基础:学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历,经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力,这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。二、教学任务分析课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系,列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理。本节则主要在于熟练运用配方法解方程，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是：（1）通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义,增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程；（2)通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性。三、教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行。第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答;第五环节：学以致用;第六环节:反思归纳；第七环节：布置作业。第一环节：知识回顾活动内容:你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？活动目的：帮助学生回忆起一元二次方程及如何用配方法解一元二次方程,为后面说明设计方案的合理性作铺垫。第二环节：情境引入活动内容：师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？活动目的:以情境引入课题，以同学生平等的身份提出问题，改变教师的权威地位，成为学生真正意义上的合作者.通过问题情境的设计，让学生主动的投入到学习过程中，使学生真正成为数学学习的主人，激发学生的探究愿望.教学效果：学生兴趣盎然。第三环节：方案设计活动内容：学生先自己设计,画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品.活动目的:通过征集设计方案，激发学生的内在动力。先独立思考,独自设计,再合作交流、互相补充,充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者。教学效果：学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种。 （1） （2) (3) (4） （5) (6) （7）在学生自行设计和展现作品时,教师可以提出具有挑战性、开放性的问题，以激发学生的学习热情的问题：(1)怎样知道你的设计是符合要求的？你能说明你的设计是符合要求的吗？（2）以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？同时让学生知道设计得对与否，数据是最好的说明,如何来计算数据，通过列一元二次方程来解决，这样顺利引入本课的研究内容.此外，课堂上没来的及展示的可以留作课后探讨,这样做也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，既没超出教材的要求,又达到了适当拔高、激发学生学习兴趣以及培养能力的目的。第四环节:问题解答活动内容：问题解答:如何设未知数？怎样列方程？分组解答图（5)、（6）所列的方程。图（5)的解答： 解：设小路的宽为xm，由题意得：(16-2x）(12—2x）=16×12×整理,得：x-14x+24=0 x-14x+49=-24+49 （x-7) =25 x1=12 ,x2=2答：(略）问题：你认为小路的宽为12m和2m都符合实际意义吗？图（6）的解答：解：设扇形的半径为xm,由题意得： πx=16×12× πx=96 x=± ≈±5、5 x1≈5、5 ，x2≈—5、5( 舍去）3、集体解答图（7)：根据学生所列的方程进行解答.活动目的：通过问题的解答和验证,使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程。教学效果：由于时间关系，分组解答图（5）和（6），部分同学忽视了验证解的合理性，这也是难免的，在学生发生这些问题时,适时提醒即可。第五环节:学以致用活动内容：在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72％,那么金边的宽应该是多少？（1） （2） (3）出示图(2)和图(3)做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？解:设金边的宽为xm,由题意得：（90+2x ）（40+2x） ×72％=90 ×40活动目的：增强用数学的意识，进一步巩固用配方法解一元二次方程。教学效果：解答时准确率较低，原因有两点:一是本例数据较繁，而是学生毕竟刚学习解方程，解一元二次方程尚未熟练,教学中如有可能可以给学生更多的时间。第六环节：反思归纳通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？第七环节：布置作业作业：P67 第4、6题，P55、第2题四、教学反思1、本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题，以导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识。引入新课时,提出了这样的问题:在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半。提出问题：你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进.2、利用多媒体课件帮助学生理解问题的实质，从而理清设计者的思路。第二章 一元二次方程３．公式法一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0（a≠0）,并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程。学生活动经验基础:学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识,并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化,然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程.其中,引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力。③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流,进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：公式的推导；第三环节：看一看、练一练，巩固新知;第四环节:收获与感悟；第五环节：布置作业.第一环节；回忆巩固活动内容:①用配方法解下列方程：（1)2x2+3=7x （2）3x2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找两位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x2+3=7x解：将方程化成一般形式： 2x2—7x +3=0 两边都除以一次项系数：2 配方：加上再减去一次项系数一半的平方 即： 两边开平方取“±” 得： 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=第二题： 3x2+2x+1=0解:两边都除以一次项系数：3 配方：加上再减去一次项系数一半的平方 即: ∵∴原方程无解活动目的:（1）进一步夯实用配方法解方程的一班步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动:没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。（2）选择了一个没有解的方程,让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习。活动的实际效果：通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦,调动了学生的学习热情,唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。第二环节 公式的推导活动内容：提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.解：两边都除以一次项系数：a 问:为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 即： 问:现在可以两边开平方吗？ 答：不可以,因为不能保证 问：什么情况下 学生讨论后回答： 答: ∵ a≠0∴ 4a2>0要使只要 b2-4ac≥0即可∴当b2—4ac≥0时，两边开平方取“±” 得： 问:如果b2—4ac〈0时，会出现什么问题？答：方程无解活动目的：学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程,他们才能发现问题、汲取教训、总结经验,形成自己的认识。在集体交流的时候，才能有感而发。活动的实际效果：学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：（1）中运算的符号出现错误和通分出现错误（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方(3）两边开平方，忽略取“±”。大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。第三环节：练一练，巩固新知活动内容:１、判断下列方程是否有解:(学生口答）(1） 2x2+3=7x (2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 （5)16x2+8x=3 (6) 2x2—9x+8=0学生迅速演算或口算出b2—4ac,从而判断是否有根问第（3)题的判断,与第一环节中的第（2)题对比,那种方法更简捷？２、上述方程如果有解,求出方程的解学生口述，教师板书第（1）题例：解方程 2x2+3=7x先将方程化成一般形式 解： 2x2—7x+3=0确定a，b，c的值 a=2, b=—7， c=3判断方程是否有根 ∵b2—4ac=(-7）2—4×2×3=25>0∴写出方程的根 即x1=3,x2=-问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）３、课本随堂练习2。一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,求这个三角形的三条边长.活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。活动实际效果:教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答,对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。 出现的问题1、 对于（1）（2)（5)小题，有个别学生因为没有化成一般形式，从而把a,b，c的符号弄错了；2 、学生比较容易得出当a，c异号时，方程一定有解。第四环节：收获与感悟活动内容： 提出问题:1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的求根公式是什么?2、用公式法解方程应注意的问题是什么？3、你在解方程的过程中有哪些小技巧？让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。活动目的:鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获,解题技能方面有哪些提高,通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习,感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能,在使用公式解方程的过程中,感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根,通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。 第五环节：布置作业用公式法解下列方程(教师可根据实际情况选用)2x2-4x-1=05x+2=3x2(x-2）(3x-5）=02x2+7x=4x2—x+2=0列方程解应用题1、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少？２、一张桌子长4米，宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽３、某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，没见盈利40元,为了扩大销售,增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施,如果每件降价1元，商场每天可以多销售2件,(１）若商场平均每天要盈利１２００元，每件衬衫要降价多少元？（２)选作题（供学有余力的学生选作）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？四、教学反思1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整.本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。2、要为学生的终身学习奠基这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程,而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程,提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.第二章 一元二次方程４．分解因式法一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了分解因式，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方)熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中,学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力,也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中,学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于用分解因式法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法的基础之上，提出了本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x－a)=0”和“x2－a2=0"的特殊一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标.数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系.本课《分解因式法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域,因而务必服务于方程教学的远期目标:“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。”同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标.为此,本节课的教学目标是：知识与技能目标1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程;3、通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。过程与方法目标1、通过学生探究一元二次方程的解法，使学生知道分解因式法是解一元二次方程的一种简便、特殊的方法,通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程；2、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中,多角度地思考问题,寻求从不同角度解决问题的方法，并初步学会不同方法之间的差异,学会在与他人的交流中获益。情感与态度目标1、经历观察，归纳分解因式法解一元二次方程的过程，激发好奇心；2、进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节:情境引入,探究新知；第三环节:例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：拓展延伸;第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。第一环节:复习回顾内容:1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为（x+m)2=n（n≥0）的形式。 2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式.3、选择合适的方法解下列方程: = 1 \＊ GB3 ①x2—6x=7  = 2 \＊ GB3 ②3x2+8x—3=0目的:以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法,有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫.实际效果：第一问题学生先动笔写在练习本上,有个别同学少了条件“n≥0”。第二问题由于较简单，学生很快回答出来.第三问题由学生独立完成，通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用,提高了学生自信心。第二环节：情景引入、探究新知内容:1、师：有一道题难住了我,想请同学们帮助一下，行不行？生：齐答行。师:出示问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：学生独自完成,教师巡视指导，选择不同答案准备展示。附:学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程x2=3x∴x2-3x=0∵a=1，b= -3，c=0∴ b2—4ac=9∴ x1=0, x2=3∴ 这个数是0或3。学生B：：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 x2-3x+（3/2）2=（3/2） 2 （x—3/2) 2=9/4 ∴ x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2 ∴ x1=3， x2=0∴这个数是0或3.学生C：:设这个数为x，根据题意,可列方程 x2=3x ∴ x2—3x=0 即x(x—3）=0 ∴ x=0或x—3=0 ∴ x1=0， x2=3 ∴ 这个数是0或3。学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x 两边同时约去x,得 ∴ x=3 ∴ 这个数是3。2、师：同学们在下面用了多种方法解决此问题,观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适？为什么?说明：小组内交流,中心发言人回答，及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。超越小组：我们认为D小组的做法不正确，因为要两边同时约去X,必须确保X不等于0,但题目中没有说明。虽然我们组没有人用C同学的做法,但我们一致认为C同学的做法最好,这样做简单又准确。学生E：补充一点，刚才讲X须确保不等于0，而此题恰好X=0，所以不能约去，否则丢根.师:这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个棒!（及时评价鼓励,激发学生的学习热情)3、师:现在请C同学为大家说说他的想法好不好? 生：齐答好学生C：X(X-3）=0 所以X1=0或X2=3 因为我想3×0=0, 0×（—3)=0 ， 0×0=0反过来，如果ab=0，那么a=0或b=0,所以a与b至少有一个等于04、师：好，这时我们可这样表示： 如果a×b=0，那么a=0或b=0 这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或"，而不用“且”。所以由x(x—3）=0得到x=0和x—3=0时，中间应写上“或”字。我们再来看c同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积,然后利用a×b=0，则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程,从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用分解因式法来解一元二次方程。目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法.在操作活动过程中，培养学生积极的情感，态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知，教师要关注每一位学生的发展。问题3和4进一步点明了分解因式的理论根据及实质，教师总结了本节课的重点.实际效果：对于问题1学生能根据自己的理解选择一定的方法解决，速度比较快。第2问让学生合作解决，学生在交流中产生了不同的看法，经过讨论探究进一步了解了分解因式法解一元二次方程是一种更特殊、简单的方法。C同学对于第3问的回答从特殊到一般讲解透彻,学生语言学生更容易理解。问题4的解决很自然地探究了新知——分解因式法.并且也点明了运用分解因式法解一元二次方程的关键：将方程左边化为因式乘积，右边化为0，这为后面的解题做了铺垫。说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或"是“二者中至少有一个成立”的意思,包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立.“且”是“二者同时成立”的意思.第三环节 例题解析内容:解下列方程 (1）、 5X2=4X (仿照引例学生自行解决） (2)、 X-2=X（X—2） (师生共同解决) （3）、 (X+1）2—25=0 （师生共同解决） 学生G:解方程(1）时，先把它化为一般形式,然后再分解因式求解。解：（1）原方程可变形为 5X2-4X=0 ∴ X(5X-4）=0 ∴ X=0或5X-4=0 ∴ X1=0, X2=4/5 学生H：解方程(2）时因为方程的左、右两边都有（x—2),所以我把（x-2）看作整体，然后移项，再分解因式求解。解：（2）原方程可变形为 （X—2）-X(X-2)=0 ∴ （X-2)（1—X)=0∴ X-2=0或1—X=0 ∴ X1=2 ， X2=1学生K：老师，解方程（2）时能否将原方程展开后再求解师：能呀，只不过这样的话会复杂一些,不如把(x-2)当作整体简便。学生M：方程（x+1) 2— 25=0的右边是0，左边（x+1) 2—25可以把（x+1)看做整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式。解：(3)原方程可变形为［(X+1)+5］［（X+1）-5]=0 ∴ (X+6）(X—4)=0 ∴ X+6=0或X—4=0∴ X1=—6 , X2=4师：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法.由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种,我们在选用时,以简便为主。问题：1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么？步骤是什么？ （小组合作交流)2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解？ （课下交流完成）目的:例题讲解中,第一题学生独自完成,考察了学生对引例的掌握情况，便于及时反馈。第2、3题体现了师生互动共同合作,进一步规范解题步骤，最后提出两个问题。问题1进一步巩固分解因式法定义及解题步骤，而问题2体现了解题的多样化.实际效果：对于例题中(1)学生做得很迅速，正确率比较高；(2)、(3)题经过探究合作最终顺利的完成，所以学生情绪高涨，讨论热烈，思维活跃,正是因为这，问题1、2学生们有见地的结论不断涌现,叙述越来越严谨。说明：在课本的基础上例题又补充了一题，目的是练习使用公式法分解因式。第四环节：巩固练习内容：1、解下列方程：（1） (X+2）（X—4)=0 （2 ） X2-4=0 （3 ） 4X（2X+1)=3(2X+1）2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？目的：华罗庚说过“学数学而不练，犹如入宝山而空返”该练习对本节知识进行巩固，使学生更好地理解所学知识并灵活运用.实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习,通过练习基本能用分解因式法解一元二次方程，收到了较好的效果。第五环节 拓展与延伸师：想不想挑战自我？学生：想内容：1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h（m），与时间t（s)满足关系:h=15t—5t2 小球何时能落回地面？2、一元二次方程(m—1)x2 +3mx+（m+4)（m-1)=0有一个根为0，求m 的值 说明：a学生交流合作后教师适当引导提出两个问提，1、第一题中小球落回地面是什么意思?2、第二题中一个根为0有什么用？ b这组补充题目稍有难度，为了激发优秀生的学习热情。目的：学生在对分解因式法直接感知的基础上，在头脑加工组合,呈现感知过的特点，使认识从感知不段发展，上升为一种可以把握的能力。同时学生通过独立思考及小组交流，寻找解决问题的方法，获得数学活动的经验，调动了学生学习的积极性，也培养了团结协作的精神，使学生在学习中获得快乐，在学习中感受数学的实际应用价值.实际效果：对于问题1，个别学生不理解问题导致没列出一元二次方程;问题2由于在配方法时接触过此类型的题目，因此掌握比较不错.说明:小组内交流时，教师关注小组中每个学生的参与积极性及小组内的合作交流情况。第六环节 感悟与收获内容:师生互相交流总结1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键.2、在应用分解因式法时应注意的问题。3、分解因式法体现了怎样的数学思想?目的：鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。实际效果:学生畅所欲言,在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人.第七环节 布置作业1、课本62页习题2.7 1、2（2) (3）2、预习内容：P62—P643、预习提纲：如何列方程解应用题四、教学反思评价的目的是为了全面了解学生的学习状况，激励学生的学习热情,促进学生的全面发展.所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考,能否清楚的表达自己的观点，及时发现学生的闪光点，给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中的应用。拓展了学生的思路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力。本节中应着眼干学生能力的发展，因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透，才能更好地达到提高学生数学能力的目标.第二章 一元二次方程５．为什么是0。618（一)一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生，对于实际问题的应用，学生虽然已经在七年级、八年级进行了有关的训练,但还是有一定的难度.学生活动经验基础：由于本节内容针对的学习者是九年级上学期的学生，已经具备了一定的生活经验和初步的解一元二次方程的经验，乐意并能够与同伴进行合作交流。二、教学任务分析本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例,在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力.因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题,并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的,而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是:①通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般过程.②经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义；③能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；④在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节：做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节:收获与感悟；第五环节：布置作业。ABCDE第一环节；回忆巩固，情境导入活动内容:提出问题:①记得黄金分割中的黄金分割点和黄金比吗？是多少？怎么求出来的? ②学习了一元二次方程之后，能否从方程的角度来解决这个问题呢？分组讨论，怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用比例式来列方程？③涉及到解的取舍问题，应提醒学生根据实际问题进行检验,决定解到底是多少。活动目的：以学生所熟悉的黄金分割中的黄金比的求法为素材，以前面所学的黄金点的作法为切入点,用熟悉的知识点来激发学生解决问题的欲望！并进一步让学生体会数形结合的思想.黄金分割中的黄金比是,其实学生已经很熟悉并在以前学作黄金点的作图过程中给出了的来源。可以让学生先回忆,进而提出问题:能否从数的角度来考虑黄金比?（与前面的知识对比去考虑）活动的实际效果：部分学生能够联系以前学过的黄金比的作图以及和黄金分割有关的知识对这三个问题进行思考，能够在老师的引导下主动地思考问题,取得了比较理想的效果,而且也调动了学生的学习热情,激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础.第二环节 做一做，探索新知活动内容：1、数字问题问题：有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少,其和等于20，积等于96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱？引导学生分析问题、解决问题:第一步:弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数.第二步：本题里，表示应用题全部含义的相等关系是(1）两笔钱的和=20（2)两笔钱的积=96第三步：根据相等关系，写出需要的代数式（关系式），从而列出方程。第四步：检验解的合理性。巩固练习:一块面积是600m2的长方形土地，它的长比宽多10m，求长方形土地的长与宽。①教师指出上题中的线段MN叫做△ABC的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？并在在练习本上画出△ABC的一条中位线DE ②学生思考：三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线有什么区别？ ③猜想三角形的中位线与第三边有怎样的关系?。2、面积问题问题：如图，现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题（1）因为要做成底面积为77cm2的无盖的长方体型的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽＝长方形面积,便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．（2)求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形过长为13时，得到底面的宽为－11,则不合题意，所以舍去.巩固练习：在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向,一条横向，横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽?说明:设道路宽为x米，其中两条长为20米，一条长为32米，但要注意路的交叉部分。引导学生继续思考:若将图中的三条路分别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列方程求解？结果一样吗?哪种更简单？3、平均增长（或降低)率问题问题:一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少（精确到0.1％）？分析：如果设利润平均月增长率为x，那么2月份的利润是 2500（1＋x)元3月份的利润是 元由此，就可以列出方程了教师引导，点拨、板书，学生回答．注意以下几个问题：(1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．（3）用直接开平方法做简单,不要将括号打开．巩固练习：若设每年平均增长的百分数为x,分别列出下面几个问题的方程．（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．（把原来的总产值看做是1)（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．（把原来的总产值看做是1)活动目的：一元二次方程的应用我认为大体可分为五个方面的问题：（1）数字问题；（2）面积问题;（3）平均增长（或降低）率问题；（4)数形结合问题；（5）利润问题;第一课时：数字问题；面积问题；平均增长（或降低)率问题。第二课时：几何问题；利润问题.本节课我把教材作为出发点,作为素材来呈现，依据《数学课程标准》,创造性的开发,使用教材。由于本节“一元二次方程的应用”与九年级下册中的“二次函数"的应用联系密切,所以学好本节课可以为后续知识打下坚实的基础。活动实际效果：每种类型的问题设置都经过精心准备.通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意;寻找等量关系;正确求解并检验解的合理性.采取的是一讲一练,从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。第三环节：练一练，巩固新知活动内容：1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800 cm2.求原正方形钢板的面积。 2、某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几？活动目的：通过两道问题的解决,查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。 活动实际效果：教师引导学生分析完毕，学生板书,笔答,评价，对比，总结．引导学生对比“增长”、“下降”的区别．大部分学生能够独立解决问题。 第四环节：收获与感悟活动内容： 问题:1、列方程解应用题的关键2、列方程解应用题的步骤3、列方程应注意的一些问题让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中;并且通过对三个问题的解决，加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力。活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧,进一步提高自己解决问题的能力。 第五环节：布置作业两个数的差等于4，积等于45，求这两个数。2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246㎡，求小路的宽度.3、甲公司前年交税40万元，今年缴税48。4万元，该公司缴税的年平均增长率为多少？选作题（供学有余力的学生选作)：有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2,求这两位数。四、教学反思1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况调整了教学内容和顺序。如课本例1难度较大，调整到第二课时,将原来的两课是调整为三课时等。符合了学生的认知规律。2、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会无论是例题的分析还是练习的分析,尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度。3、 针对学生实际，灵活选择例习题在第二环节“做一做，探索新知”中，本设计选择了3个例题和3个习题，根据学生情况可以灵活取舍.第二章 一元二次方程５．为什么是0.618(二）一、学生知识状况分析初三学生的思维应该说已经具有一定的水平，对于方程的理解也不是第一次接触，在学习一元一次方程及其应用和二元一次方程组、分式方程及其应用时，学生就已经经历了“问题情境－建立方程模型－解决问题"这一数学化的过程,理解了学习方程的意义，对于简单的实际问题也能够通过寻找其中的数量关系来解决。本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现。但是学生的思维需要逐渐培养，在学生具备一定的思维水平的基础上，教师是引导学生学习的关键，在学习难度较大的知识点时，兴趣是关键。教师还应从学生的积极性入手，努力去挖掘学生的主动性和合作性,以增强学生克服困难的决心。二、教学任务分析本节课的主题是发展学生的应用意识,这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例,在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用,并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中须要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中,促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成.显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的,而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是：①通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。②经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义；③能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；④在问题解决中，经历一定的合作交流活动,进一步发展学生合作交流的意识和能力。三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：前置诊断,开辟道路；第二环节：做一做，探索新知;第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业. 第一环节；前置诊断，开辟道路活动内容：请同学们回忆并回答利用方程解决实际问题的步骤和关键是什么？活动目的：通过回顾，使学生进一步巩固解题的方法和步骤.活动实际效果：学生掌握得比较理想，能够比较详细的说出解决实际问题的步骤和关键。第二环节：做一做，探索新知活动内容：4、数形结合问题见课本P63页例1：如图：某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）ABCDEF 这部分是难点，一定要给学生充分的时间去体会题意，分析题意，不能急于求成。在讲解过程中可分为几部分来分解难点：①理解题意；②找各条有关线段的长度关系；③建立方程模型、求解。读懂题意是本题的关键,因此教师在这儿不能急于求成,要给学生充分的时间自己去理解、分析题目中的已知条件，并在这个前提下看懂图形中各条线段所表示的意思。教师可以设置问题串分解难点: （1）要求DE的长，需要怎样来设未知数？ （2)如何建立以DE为未知数的等量关系？根据已知条件能找到吗? (3）要用勾股定理来做题,如何构造直角三角形？ （4）DE2=DF2＋EF2DE,DF，EF分别是多少？学生在老师提问的基础上分组讨论找到题目中的等量关系即：V军舰=V补给船×2相遇时S军舰=S补给船并知道图形中AB=BC=200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程.学生在以上基础上设未知数列方程求解，并判断解的合理性.巩固练习：ACBPQ6cm8cm如图:在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？5、利润问题新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？（做了改动，降低难度）分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度.所以，教学时我采用列表的形式分析其中的数量关系：本题的主要等量关系:每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为 元.填完上表后,就可以列出一个方程,进而解决问题了。当然，解题思路不应拘泥于这一种,再利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索,找寻其他解题的思路和方法.如求定价为多少?直接设每台冰箱的定价应为x元,应如何解决?巩固练习:某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？请你利用方程解决这一问题。6探索与创新：一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少？活动目的：本节课是第二课时，在教学过程中我体现“学生为主体，教师为主导，训练为主线，思维为核心”的教学思想，尊重学生的人格及创造精神，把教学的重心和立足点转移到引导学生主动积极的“学"上来，引导学生想学、会学、善学。通过发现式、启发式、讨论式等先进的教学方法，才能调动学生的主动性、自觉性，激发积极的思维，采取启发、引导、积极参与等方法，指导学生独立思考，寻找问题的可能性答案;培养学生敢于批判、勇于创新的精神；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的勇气和能力。对于学生的评价,应关注学生在学习过程中的表现，如能否积极的参加活动，能否从不同的角度去思考问题等等，而不是仅局限于学生是否会列方程.培养学生的创新精神，对有创新的学生要提出表扬。鼓励学生使用数学语言，有条理的表达自己的思考过程，鼓励学生大胆质疑和创新。活动实际效果：每种类型的问题设置都经过精心准备.通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难,体会到列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看,学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。第三环节：练一练，巩固新知活动内容：1、如图：在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米？2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件,每件盈利40元，为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?活动目的：通过两道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。活动实际效果：选用大量的实际问题，通过列方程解决问题,并且在问题解决过程中,促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的进一步形成.第四环节：收获与感悟活动内容：通过两节课的学习，你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗？有哪些收获？活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高,通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；并且通过对三个问题的解决，加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力。活动实际效果：学生能说出利用方程解决实际问题的关键和步骤：关键:寻找等量关系步骤：其一是整体地、系统地审清问题;其二是把握问题中的“相等关系”；其三是正确求解方程并检验解的合理性。学生通过回顾本节课的学习过程,体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力.第五环节：布置作业AB北东P66页随堂练习1、习题2.9 1选作题:某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里(包括50海里）范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由.四、教学反思1、采用“创设问题情境-—建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程进行教学。在教师创设的“获得一定的利润”“面积的规划”等问题的情境下，激发学生兴趣，构建新旧知识的衔接，让学生投入自然解决问题的实际活动中，全方位展示自己的思维。通过两种不同的解法，引发方法之间的比较；通过教师形象的比喻，使方程的出现自然流畅。引导学生自觉运用方程建模思想去研究、探索，经历数学建模的过程,从而体会方程是现实世界的数学模型，体会数学建模的思想与方法，掌握方程建模思想的有效运用，从而提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力.2、遭遇的困惑与挑战及调整观念提升认识：本节课面临一个时间的问题,在例1上花费的时间比较多，为了让学生在课堂教学中进行充分的探究和讨论，教师按计划完成教学任务,从备课来看具有一定的难度，这也是新课改以后所要经常面临的一个问题:如果过分控制时间，则探究和讨论难免流于形式而不够深刻；如果让学生尽情展开探究,则教学任务完成起来就会有一定的难度。3、针对以上问题我的思考和认识：（1）在教学过程中教师的导引作用不可忽视，应该引导学生沿着一条正确的猜想和讨论模式进行高效率的探究和讨论，而不要在一些有歧义的无价值的问题上过分纠缠，以至于浪费了课堂时间。（2）练习题不宜太难,但要注意抓住重点题型，只要能有效突破建模的关键即可，不然既加重了学生的学习负担，也加重了教师的教学负担。此外，如果学生完成任务有困难，建议教学时对内容适度删减,或者增加一个教学课时。第三章 证明（三）1．平行四边形(一)本节主要探索、证明平行四边形的性质、判定,三角形中位线等结论,学生将进一步学习推理论证的方法，加深对图形的认识和理解，对证明意义的体会．授课时，证明的方法和过程会对学生更具挑战性。本节内容共分三课时:第一课时，主要证明平行四边形的性质以及与等腰梯形有关的性质和判定；第二课时，主要证明平行四边形的判定；第三课时，主要证明三角形的中位线及其运用，如四边形的四条边中点连线的有关结论。第一课时与第二课时中涉及的很多命题，在前几册中已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，所以学生们了解这些结论,对于这些命题，可在课前准备中尝试让学生们进行专题总结，例如利用手抄报的方式。根据学生的能力不同,可以进行平行四边形性质结论的汇总，可以进行知识体系的归纳，可以归纳不同的思维方法、不同的探究方法,也可以分析不同性质结论之间的联系,形式多样。然后授课中利用公理和已有的定理证明它们，以完善证明体系.在证明的过程中，可让学生分组探究验证，让每一个小组选择不同的任务,同时应力争将证明的思路展现出来，而原来结论的探索方法,往往会对证明的思路有所提示，所以也建立了直观与抽象的结合。此外，教师还应注意渗透数学思想方法,如特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等.如在证明等腰梯形的两个底角相等时,在分析证明思路时可指出将等腰三角形的两个底角转化为等腰三角形的两个底角，从而证明其相等。同样，在第三课时中还涉及到一些以前没有探索过的命题，如“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”等，对于这些命题，我们尽可能地创设一些问题的情景，为学生提供自主探索发现的空间，然后再进行证明，从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索-发现—猜想—证明”的过程，体会合情推理与逻辑推理在获得结论中各自发挥的作用。此外还应注意引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论,开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴交流"一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：证明（三）是证明（一)、证明（二)的继续，平行四边形的性质已经在前几册中让学生通过直观的方法探索过了，学生对其结论都已经有所了解，本节课主要是对这些结论进行理论的证明.前面学生借助折纸、画图等方法进行直观探索的过程为本章的证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路.纵观整个初中平面几何教材，本部分内容是在学生掌握了平行线、三角形及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。本节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习菱形、矩形及正方形等知识的基础，起着承前启后的作用。学生活动经验基础：北师大教材对于图形认识的教材处理基本采用“2阶段"的方式:“实验操作—-—-演绎"，第1阶段，实验、操作、测量+说理，认识图形的基本性质；第2阶段，进一步认识图形的性质，重点是证明意义的体会和学习演绎推理论证。证明（三）是第二阶段的内容,是证明（一）和证明（二）的延续，是对八年级所探索、猜想出的平行四边形性质的有关结论做逻辑推理论证，是初中几何证明阶段的完结篇。本节课从学生年龄特征、文化知识的实际水平出发，让学生动脑思考，与同伴交流、探索、总结归纳,这样的安排使抽象的定理让学生更易于接受,并能在整个教学过程中真正享受到探索的乐趣。二、教学任务分析基于平行四边形的性质已经在前几册中让学生通过直观的方法探索过了，提出本课的具体学习任务：1、利用证明（一）和证明(二）中已有结论来证明平行四边形的性质中有关的结论。在熟悉大量几何事实的基础上，帮助学生进一步体验几何证明的基本要求和范式，以提高其准确表达论证过程的技能；同时，还让学生感受探究几何事实的过程对证明思路的启发与影响,使活动经验真正成为发现证明思路的支持系统。2、让学生经历探索、猜测、证明的过程除了学生已经探索过的命题外,还有一些命题是新学习的,对这些命题创设一些问题情景，由问题情境出发，使学生经历“探索——发现-—猜想——证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展。3、关注命题的拓展、引申,引导学生发现规律，发展概括抽象的能力，感受到“抽象与拓广"是重要的数学思维方式。4、倡导学生探索证明思路和不同的证明方法.在授课中和例题后经常设置这样提问，“你还有其他的证明方法吗?”“你是怎样思考的，请与同伴交流"，以及在练习和习题中也编排了一些可以变式训练或可一题多解的题目，让学生呈现他的证明思路和求异思维，关注学生证明思路获得的过程和方法的多样性。5、展示证明思路、知识之间的联系，渗透数学思想方法.使本节课中转化、类比、归纳、方程等思想得到很好的渗透。如把平行四边形转化为三角形、梯形转化为平行四边形和三角形来处理。为此,本节课的教学目标是:1、掌握平行四边形的概念、性质及条件，了解它们之间的关系。2、能够用综合法证明平行四边形性质定理及等腰梯形相关结论。3、经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证能力和深化对证明必要性的理解。4、体会在证明过程中所运用的归纳、类比和转化的数学思想方法，体会计算和证明在解决问题中的作用。三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：一、课前准备——专题总结；二、情景引入,提出问题；三、分组验证,明确定理；四、活动探究；五、运用巩固;六、课堂小结;七、布置作业。第一环节:课前准备活动内容：专题总结（提前一周布置)布置课前任务：以4人合作小组为单位,制作手抄报，总结有关平行四边形的知识(根据学生的能力不同,通过不同的角度）：（1）可以进行平行四边形性质结论的汇总（2)可以进行知识体系的归纳（3）可以归纳不同的思维方法、不同的探究方法（4)也可以分析不同性质结论之间的联系，形式多样。在必要的情况下，教师可以对学生的专题总结给予一定的指导，使其更合理。活动目的：在八年级，平行四边形的性质已由学生们通过一些直观的方法进行了探索,所以学生们了解这些结论，对于这些命题，教师可利用专题总结的方式使学生们联想回忆起它们，培养学生善于观察、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识；在活动中，学生通过对他们感兴趣的问题进行总结，培养学生勇于探索、团结协作的精神，极大地激发了学生学习的积极性与主动性；专题总结，为学生提供了知识前后衔接的空间,引导学生将证明作为探索活动的自然延续和必要发展的过程,体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用。活动的实际效果：活动充分展现了学生对数学探究的高涨热情和小组团结合作的精神，取得了较好的效果。第二环节：情景引入，提出问题活动内容：ABCD图3－11、各个活动小组派代表展示专题总结,其他同学补充，分析不同专题总结的切入点、思维方法.(幻灯片展示）2、针对平行四边形性质结论的汇总提出问题:(1）右图是什么图形?有什么特征？(2）平行四边形的定义是什么？活动目的：通过展示各个活动小组的专题总结，先让各个小组代表发言，再互相补充，从而得到结论，充分发挥学生们的探究意识和合作交流习惯,同时也锻炼学生的语言表达能力;同时这些知识也是后续要证明的内容，为后续学习做好准备。活动的实际效果：在展示各个活动小组的专题总结过程中，通过黑板、Z+Z 教育平台、ppt课件交互使用，发挥各自长处，ppt课件中的图形力求形象、美观，以引起同学们的注意,对平行四边形的边、角(线段、角）特别用醒目的色彩、动感的画面、悦耳的声音,牢牢抓住学生的注意力，激发起学生探求未知的欲望;同时借助现代教育技术手段，营造一个创新的学习环境，创设自由、全面发展的时间和空间。第三环节:分组验证，明确定理活动内容：1、如何运用公理和已有的定理证明平行四边形的有关性质？可以分小组探究验证，每一小组选择一个不同的的任务,对平行四边形的各个性质进行证明。然后，小组间交流展示证明思路、一题多解等.证明过程中注意（1）平行四边形的定义既是性质又是判定，可直接应用；（2）帮助学生进一步体验几何证明的基本要求和范式，提高其准确表达论证过程的技能。2、明确定理如下：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质:定理1:平行四边形的对边平行。（由定义得)定理2：平行四边形的对边相等。定理3：平行四边形的对角相等。定理4:平行四边形的对角线互相平分.活动目的：利用公理和已有的定理证明平行四边形的有关性质定理并明确定理.活动的方法与实际效果：在证明的过程中，教师应注意引导学生探索证明的不同思路和方法,并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴交流”；展示各个活动小组的证明过程时，要让学生畅所欲言,谈自己的想法，切身感受在活动的过程中的实际收获，确保学生主体作用得到充分发挥，让学生从被动学习到主动学习、自主学习。ABCD图3－2第四环节：活动探究 活动内容：1、等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？ 结论：等腰梯形在同一底上的两个角相等2、这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请你证明它.学生证明。明确结论：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3、证明：等腰梯形的两条对角线相等活动目的：展示证明思路，明白等腰梯形与所学知识之间的联系，渗透数学思想方法（把等腰梯形转化为平行四边形和三角形来处理，使本节课中转化、类比、归纳、方程等思想得到了很好的渗透）.EFHGABDC图3－3活动的实际效果：由问题情境出发，验证等腰梯形结论过程中,使学生经历“探索-—发现--猜想-—证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用,使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展。第五环节：运用巩固活动内容:1、证明:夹在两条平行线间的平行线段相等。已知:如图，AB∥CD，EF∥GH。求证：EF=GH2、学生独立练习。(1)已知：如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F。ABCDEFO图3－4求证:OE=OF。（2）已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F,ABCDEF图3－5求证:AE=CF.（3）已知:在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE.①线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论. ②若去掉题设中的AF=CE，请添加一个条件使BE与DF有以上同样的性质。DABCFE图3－6活动目的：本部分内容以逻辑证明为主，在题目的选取上尽可能地增强代表性与挑战性,从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，同时也使学生体会到逻辑证明严密性.对于一些综合性，灵活性比较强的题,学生能够顺利解决，对培养他们学好数学的信心大有好处。第（3）小题是条件型开放题,答案不唯一.设计此题的目的是：培养学生的发散思维，力求使学生不停留在重复与模仿的阶段。活动的实际效果:本部分内容关注了命题的拓展、引申，引导学生严谨的推理证明,发展了逻辑证明能力。使学生感受到“抽象与拓广"是重要的数学思维方式。第六环节：课堂小结活动内容：平行四边形的主要性质有: 　定理 平行四边形的对边平行。　定理 平行四边形的对边相等。　定理 平行四边形的对角相等.　定理 平行四边形的对角线互相平分.　定理 夹在两条平行线间的平行线段相等　定理　　等腰梯形在同一底上的两个内角相等　定理 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形　定理 等腰梯形的两条对角线相等活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想活动的实际效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。第七环节：布置作业1、课本习题2、体会本堂课你所获得成功的经验，写好数学日记，同学交流。活动目的：让学生写“数学日记"这种作业形式，能够培养学生善于归纳总结的能力，逐步养成良好的学习习惯。四、教学反思1、 创造性地使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整.我们所涉及的很多命题在前几册中已由学生们通过一些直观的方法进行了探索,而且普遍掌握较好，因此没有必要再逐一证明.2、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过专题总结以及问题的证明，为学生提供展示自己聪明才智的机会，这一过程，有利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解,以及思维的误区，以便指导今后的教学。3、关注证明思路的获得以及证明过程中所蕴含的思想方法证明的重点放在怎样根据研究问题,从而培养学生逻辑思维，以及特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等4、注意改进的方面在证明之前，应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组合作给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。第三章 证明（三）1．平行四边形（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：本节所涉及的很多命题在前几册中已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，所以学生们了解这些结论。学生的活动经验基础：学生在前面的学习过程中已经能够通过探索、猜测、合作、交流、质疑等基本的数学方法去发现问题、提出问题、并猜测问题解决的基本策略,具有了初步的推理论证能力.二、教学任务分析使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性.注意渗透数学思想方法，如特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等。尽可能地为学生提供自主探索发现的空间，然后再进行证明，从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索—发现—猜想-证明”的过程,体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用。注意引导学生探索证明不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野,培养学生的思维能力,注意提高学生的逻辑证明的能力三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：环节１:回顾、导入新内容；环节２:探究、质疑找方法；环节３：中途小结、强化思路；环节４：应用、深化认识；环节5：课堂总结。环节１:回顾、导入新内容内容:师：前面我们已经学习过平行四边形的判定，现在我们来回顾一下判定的具体内容.生：平行四边形的判定有4条两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形师：很好.那有没有同学能够从命题的角度指出到这四条判定的相同和不同之处？生：这4个命题是平行四边形性质的逆命题。生：他们都是真命题。生：我们特别关注第一条,它是平行四边形的定义，既是平行四边形的判定，又包含着平行四边形的性质，这是它与其它3条不同的地方。师：大家刚才的发言都非常好，但是大家注意到没有它们都不是我们现在知识体系中的公理?它们的正确性是需要我们证明的.生：原来数学这么严密、只会用是不行的，还必须知道为什么.师：很好的体会,今天我们就来解决这个问题。师：下面请同学们充分发挥你自己的聪明才智和团队的力量，去寻找解决问题的策略，或者找到解决问题路上的“坎儿”。目的:充分调动学生的积极性，使他们能够在自己已经构建的知识结构基础上，提出符合其个人认知层次的问题，从而为“教——学”找到良好的切入点。实际效果：为本节课找到了较为符合学生已有的知识建构良好的切入点，并且调动了学生的积极性，为后续学习作了良好的知识、热情的准备。环节２：探究、质疑找方法内容：学生自由组合,探索有关平行四边形判定的问题,自由交流、质疑、寻求帮助.目的：尽可能以学生“生成的问题”和寻求解决问题策略的过程作为课堂重要的支撑点。充分调动每个学生的原认知、和已有的知识构建去解决新问题.实际效果：自由组合，主动探索,激发了学生学习的主动性,取得较好的教学效果，课堂气氛活跃。下面是一个教学片断：生：老师我们发现这种命题没法证明。师：为什么?生：比如说下面这个题:它有已知条件（AD//BC, CDB＝DBA）吧？师：对.生：它有让我们解决的问题（四边形 ABCD是平行四边形吗）吧?师：对。生：那你说在上面的命题中,哪一个有这些？找不到已知条件还怎么证明阿？师：这一组同学找到了解决问题途中的一个坎儿，看看其他同学又没有好的建议或方法？生：我们认为任何一个命题都由“条件"“结论”两部分构成，比如下面这个命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形中，“一组对边平行且相等”是它的条件，而“四边形是平行四边形”就是我们要解决的问题.我们小组的坎儿是:虽然能够找到“条件和要解决的问题”但是它不象我们以前解决过的问题有图形。师：没有图形对我们解决问题有影响吗？生：当然有。那一组平行且相等的边没有标记,会导致我们没有办法写过程 ,就算我们根据题意自己构造了下面这个四边形，哪一组对边是命题里说的那一组？你知道吗？难道能随便选择一组对边就可以?师:看来上一组同学的问题（找不到已知条件）已经解决了。对于这一小组同学的问题那些同学可以发表一下自己的见解？生:我们也不确定．．．．．．师:那好,每一组同学分成两部分，一部分选择ＡＢ，ＣＤ为“平行且相等的对边"另一组同学选择ＢＣ,ＤＡ为“平行且相等的对边”看看我们能不能完成对一组对边平行且相等的四边形是平行四边形这个命题的证明。生：我们选择“ＡＢ，ＣＤ为“平行且相等的对边”"这样命题一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就变成了“四边形ＡＢＣＤ中,ＡＢ//ＣＤ且ＡＢ＝ＣＤ,求证四边形ＡＢＣＤ是平行四边形”证明:连接ＢＤ∵ＡＢ//CD ∴ ∠ ABD=∠CDB 又∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＢＤ　　　　　∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ　　　　　∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ　　　　　∴ＣＢ//ＡＤ　　　　　∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形.生:老师他们的这个题目连接ＡＣ也可以用同样的方法证明.师：很好，我们不仅解决了这个问题，同学们的思路也很开阔，能从不同的角度对这个问题加以验证.那选择“选择ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边”"的同学得到结论了吗？　生：我们选择“ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边””　这样命题一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　　就变成了“四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ//ＤＡ且ＢＣ＝ＤＡ,求证四边形ＡＢＣＤ是平行四边形"证明：连接ＢＤ　　　　　∵ＢＣ//ＤＡ ∴ ∠ ＣBD＝∠ＡDB 又∵ＢＣ＝ＤＡ，ＢＤ＝ＢＤ　　　　　∴△ＣＤＢ≌△ＡＢＤ　　　　　∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ　　　　　∴ＡＢ//ＣＤ　　　　　∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形.我们也可以连接ＡＣ再证明.环节３：中途小结、强化思路内容：师：大家看我们构造了两种符合题意的图像，并且用不同的方式进行了验证，我们却最终同样验证了结论的正确性。其实也就是说．．．．生：只要我们构造的图像符合命题的原本意思就可以.师：非常好.通过我们共同的交流合作已经比较好地解决了自己提出的问题，现在我们来试着总结一下我们的探索过程遇到新问题：（命题的证明）―――＞同学们根据自己已有的知识建构探索求解策略或提出解决问题时遇到的难以解决的问题(寻找已知求证、如何构造图象）―――＞我们合作交流各个击破每一个小问题―――＞使新问题得到解决师：哪位同学试着总结一下对于命题的证明其主要的过程应该是怎样的？生：我们要根据命题构造出符合其真实意思的图像,写出明确的已知、求证然后再去寻求解决问题的具体方法。师：既然大家已经通过自己的探索找到了证明一个命题的基本思路，下面我们来证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形生：由前面的证明我们可以很简单的得到证明的过程:　　首先画出符合题意的图像，写出已知求证。　　　已知：四边形ＡＢＣＤ中ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ　　　求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形　　　证明：连接ＢＤ　　　　　∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ 又∵ＢＤ＝ＢＤ　　　　　∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ　　　　　∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ　　　　　　∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ　　　　　∴ＡＢ//ＣＤ,ＢＣ//ＡＤ　　　　　∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。同理我们也可以连接ＡＣ来证明。师:这位同学对于基本的证明命题的思路已经掌握得比较好。那还有没有不同的思路?生：老师既然刚才我们已经证明了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形所以只要将刚才的思路稍加改动就可以得到另外一种思路　　证明:连接ＢＤ　　　　　∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ 又∵ＢＤ＝ＢＤ　　　　　∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ　　　　　∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ　　　　　∴ＡＢ//ＣＤ　　　　　∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。师:很好，这种思路同时透露出一个重要的信息。这里有必要再次回顾一下我们的公理体系：　　这些都可以作为我们证明的依据,但当一个命题的正确性一旦被验证我们称之为定理。可以直接成为我们证明一个新命题的依据.（如上一同学的方法）目的:使学生养成良好的从思考中掌握方法、提出猜想、大胆突破的好的数学品质。实际效果：通过这种阶段性的小结，学生从知识和学习品质上的收获都比较大。环节４：应用、深化认识内容:师：下面我们来处理一些具体问题已知：如图求证:四边形MNOP是平行四边形生１展示其证明过程：证明: （x-3）2-(x—5）2=42x=8MN=5=POPM=3=ON∴四边形MNOP是平行四边形。师：还有不同的思路吗？生２展示其证明过程：证明：(x—3)2—(x—5)2=42x=8 PM=11—8=3PM2+MO2=PO2PMO=90PM//ON且ON=8—5=3四边形MNOP是平行四边形。生３分析证明过程：　　我们还可以在得知ｘ＝８以后，证明△ＭＰＯ≌△ＯＮＭ，从而得到内错角相等，利用两组对边分别平行得证。目的:巩固本节课的基本知识点、在探索过程中所渗透的基本的数学方法、数学品质，期待其思维能受到一定的冲击、有所突破。实际效果：学生运用所学知识解决实际问题的能力有明显的加强，并且恰当地选择贴近学生生活的情景又能够更好地激发学生的学习激情.环节5：课堂总结内容：师：刚才大家的分析都非常好。下面我们总结一下本节课生:学习了命题证明的方法。生:解决新问题可以把它分解为几个简单的小问题生：互相合作可以解决个人解决不了的问题生：老师还有几个问题我希望课后我们能有时间我们再交换一下意见。．．．．．．．．．．目的：培养学生及时总结、回顾的品质，以及从回顾中找到自己学习中还存在的不足、问题的求实的作风。实际效果：通过总结对掌握本节课的知识点以及思维方法有很大的帮助。四、教学反思１、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。比如本节课就是以学生在学习过程中生成的问题为主轴来完成本节课，而没有机械的套用课本的设计。2、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过小组合作社会调查、课堂展示，为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，帮助学生形成积极主动的求知态度。3、注意的方面:这种以学生的生成问题为主导的课，对大部分学生来说效果都非常好，但是对于一部分思维特别活跃的学生来说，其潜能力往往出乎我们的预料，所以如何更好地预测这一部分学生的思维动向，为其上课备好充足的“营养"需要我们继续加强.第三章 证明(三)1．平行四边形(三)一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在八年级（上)已经对平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这些特殊四边形的性质和判定进行了大量探索,在探索的同时，也经历了推理过程，具备了一定的推理能力。八年级（下）最后一章和九年级（上)第一章，又学习了证明，已经能够对前面探索过的一些图形性质进行严格的证明,具备了证明三角形中位线定理的基本技能；学生活动经验基础：在证明（一）、证明(二）的学习过程中，对于一个以前没有探索过的命题，学生已经经历了“探索-发现-猜想—证明"的过程，体会到合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，获得了证明一个新命题所必须的一些数学活动经验的基础；同时在前面的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教科书提出了本节课的具体学习任务：理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题。但这仅仅是这堂课外显的具体的教学目标,或者说是一个近期目标.数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成,因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标.通过本课的学习，学生进一步经历“探索—发现—猜想—证明"的过程,发展推理论证的能力，积累自己的数学活动经验.为此，本节课的教学目标是： ①理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题; ②进一步经历“探索—发现-猜想—证明”的过程,发展推理论证的能力； ③在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力; ④在证明过程中体会所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境；第二环节：提出问题;第三环节：猜想结论；第四环节:验证明确结论；第五环节：运用巩固；第六环节：课堂小结；第七环节:布置作业.第一环节：创设情境A .B.MCN活动内容：提出问题:①如图:A、B两地被池塘隔开，现要测量出AB两地的距离，给你的工具只有皮尺，你能想办法测量出来吗？②小明是这样做的:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M，N，再测出MN的长，由此他就知道了AB间的距离.你知道他是怎么算的吗?你能设法验证吗活动目的:根据我校学生的学习基础和实际学习水平，我认为教材中创设的问题情境难度较大,学生不容易突破，可能会在此耽误时间，影响了后面定理的探索.因此我设置了这个问题情境，一方面贴近学生的生活，帮助学生复习串连了旧知识，另一方面通过对所提问题的思考和解决,自然而然地引出三角形中位线的概念，过渡到本节课的学习内容上。通过活动①,培养学生运用所学知识解决实际问题的能力.由于学生在前面已经学习过利用三角形全等测距离，所以这道题学生不难解决,这样既复习了旧知识，同时也给学生提供了不同的解决问题方案。活动②,通过对所提问题的思考和解决,引出三角形中位线的概念，指向本节课的学习内容.活动的实际效果：部分学生能够联系全等三角形的知识构造出图形,确定出测量方案，教师给予总结鼓励，提出问题②。对于问题②，学习程度较好的同学能够运用相似三角形的知识给予解释，对于这两个问题的思考，调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础.第二环节：提出问题活动内容： ①教师指出上题中的线段MN叫做△ABC的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线?并在练习本上画出△ABC的一条中位线DE； ②学生思考：三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线有什么区别? ③猜想三角形的中位线与第三边有怎样的关系？。活动目的：活动①承接上面的问题自然引出，通过学生尝试定义，动手画图促使学生理解掌握三角形的中位线概念。活动②的目的既为后面的练习埋下伏笔，又对学生进行学法指导，引导学生通过抓住概念间的区别和联系来掌握概念。活动③将问题直接指向本节课的研究重点——三角形中位线定理的探索与证明。活动实际效果：通过学生自己尝试定义三角形的中位线以及对比三角形的中线定义，学生能够抓住三角形的中位线是两个中点这一本质特征，对于这一概念掌握得非常牢固。第三环节：猜想结论活动内容:学生基于个人不同的学习水平和学习能力，通过不同的方法给出猜想活动目的：问题③的提出激发了学生的探索热情，由于学生的学习水平和学习能力不同,教师放手给学生后,学生的方法各异，教师通过巡视，掌握信息，给予指导。活动实际效果：有的学生是基于相似三角形的知识给予合情推理得出的，有的学生是动手测量猜想结论的,但多数学生能够猜想出数量上的关系，而忽略了位置上的关系，教师可加以适当地提示点拨。第四环节：验证明确结论活动内容： ①引导学生把刚才的猜想转化成数学符号语言,写出已知、求证。 ②学生小组合作尝试证明，教师巡视指导，给予适当引导、启发(教师可以通过这些问题启发学生：问题1证明直线平行的方法有哪些?启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等。问题2证明线段的倍分的方法有那些？启发学生将较长的线段分割，或将较短的线段补长). ③学习小组间互相交流不同的证明方法,彼此开拓思路，同时选取最优方法，个人独立写出证明过程. ④明确结论，教师板书三角形中位线定理活动目的：这一环节采用小组合作学习方式，由于这个结论的证明思路和方法对学生来说有一定的难度,学生通过合作学习，彼此互相启发，共同研究,能够自己解决这一问题。对于学生思考未果的小组,教师可以通过上面的问题引导启发学生找到证明思路。通过小组间的交流，能让学生了解不同的证明方法,开阔思路,在听取他人意见的同时，优化自己的证明方法.这些方法充分发挥了学生主动学习、合作学习和探究性学习的功能，培养了学生探究问题的能力。B CADE 活动实际效果：在教师的适当点播下，学生思维活跃，得到多种证明方法。大致总结出2种方法。附:学生的证明方法已知:如图,DE是△ABC的 中位线求证：DE∥BC，DE＝BCB CADE F证法一:延长DE至F，使EF＝DE,连接CF∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE∴AD＝CF,∠ADE＝∠F∴BD∥CF∵AD＝BD∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC，DF＝BC∴DE∥BC,DE＝BCB CADE F证法二：过C点作CF∥AB交DE的延长线于F∵ CF∥AB∴∠ADE＝∠F∵∠AED＝∠CEF,AE＝EC∴△ADE≌△CFE∴AD＝CF∵AD＝BD∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC，DF＝BC∴DE∥BC，DE＝BC第五环节:运用巩固活动内容：①已知三角形三边长分别为6，8,10,顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？如果△ABC的三边的长分别为a、b、c，那么△DGE的周长是多少？②你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?③任意做一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形.这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论④问题③变式：四边形ABCD是平行四边形时， 四边形EFGH是什么特殊图形四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是什么特殊图形四边形ABCD是菱形时,四边形EFGH是什么特殊图形活动目的：对三角形中位线定理进行巩固，同时灵活应用三角形中位线定理解决其他问题。实际效果：学生基本都能应用三角形中位线定理解决问题①，收到了较好的教学效果.问题②由于在前面做了铺垫，学生能够画出一个三角形的三条中位线，因此解决起来也相对顺利.问题③回应前面定理的探索过程,进一步经历“探索—发现—猜想-证明”的探究过程，同时进一步训练学生严谨的逻辑证明能力。问题④面向程度较好的学生，进一步深化思路，只要抓住特殊四边形的性质就能顺利地解决问题。第六环节：课堂小结活动内容:师生互相交流总结本节课学习的知识。活动目的:鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高,通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会“探索-发现—猜想—证明"这样的科学探究过程，通过回顾本节课辅助线的添加，进一步丰富自己的解题经验,提高解题能力和一题多解的能力。第七环节:布置作业教科书85页 习题3.3 1.2.3。4四、教学反思要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。教材中创设的问题情境个人感觉难度较大,学生不容易突破，可能会在此耽误时间，影响了后面定理的探索.因此我设置了另外的问题情境，一方面复习串连了旧知识，另一方面通过对所提问题的思考和解决,自然而然地引出三角形中位线的概念，过渡到本节课的学习内容上。2、小组合作学习，更能发挥学生的主体地位通过小组合作探索定理的证明过程，为学生提供展示自己的机会，并且在此过程中更有利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。3、注意改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.在小组合作学习中不能让好学生包办一切，学习基础较弱的学生只充当听众。教师应通过巡视及时发现小组合作学习中出现的问题和遇到的困难，及时给予适当的指导，使小组合作学习更具实效性。第三章 证明（三)２．特殊平行四边形（一）一、学生知识状况分析学生知识技能基础:学生在初二平行四边形一章中,已经学习了三种特殊平行四边形矩形、菱形和正方形，对三种图形的性质和判定已经非常熟悉并能运用这些知识解答简单的几何问题;同时，通过《证明（一）》和《证明（二）》两章的学习，学生也已经有了一定的推理论证能力，并且在前一节的学习中，进行了对平行四边形性质和判定的证明,学生具备了独立证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能;学生活动经验基础：在相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动,特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，从而初步具备了证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力；同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想,锻炼了学生的能力,使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。二、教学任务分析课本基于目前学生的知识和能力水平,对本课内容提出了具体的学习任务:进一步发展推理论证能力,运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法.对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上,因为本节课的知识,对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法,所以,在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程.能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标,更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中,还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，作到让每一个学生都能在课堂上有所收获。为此，本节课我们要达到的具体教学目标为:能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力,使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用;学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；通过学生独立完成证明的过程,让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度,从而养成良好的习惯。三、教学过程分析本节课设计了六个环节：第一环节，课前准备;第二环节，课题引入，对比思考；第三环节，教师引导，独立证明；第四环节，实际应用，练习提高；第五环节,课堂小节，回顾思考；第六环节，作业布置.第一环节：课前准备活动内容:办一期数学手抄报（本章开始时布置）可以以分组或者独立完成的形式，以平行四边形和特殊平行四边形的相关知识为主要内容办一期数学手抄报。手抄报中必须要包含平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系图，对相关的性质和判定定理的总结。对平行四边形的题目中经常用到的数学思想方法进行简单的归纳.要有典型例题的讲解归纳.活动目的：通过这个活动，首先是学生能够主动地对平行四边形的相关知识有一个系统的认知，让学生以一种比较有趣的形式对这部分知识进行自主的复习和预习，激发学生对本节知识的学习兴趣。同时，对平行四边形进行归纳，可以使学生清楚地认识到平行四边形与特殊平行四边形之间的关系，为后面连续几节研究特殊的平行四边形提供有力的支持。此外，这个活动，也可以激发学生的积极性和主动性.活动的注意事项：办手抄报这样活动,在八年级平行四边形相关知识的复习中，就可以出现，如果当时学生已经有了比较系统的归纳总结,教师可在学习本章知识时，将学生以前办的手抄报再发给学生,让学生进行对照比较，从而提高学生的认识，特别是可以让学生关注八年级这部分知识是否经过了严格的数学证明，现在学生又是否能证明这些知识。在本章开始时，就把这个任务布置给学生,不仅可以让学生在学习知识前有一个预习的过程，更主要的是，这张手抄报可以作为每一节的知识点体系出现，学生在课堂上可以对照自己所总结的知识体系,进行有针对性的学习，这张手抄报通过在这章学习中的不断使用，可以得到完善，使学生在结束本章知识时，自然地有了一套完整的复习资料。同时,强调学生对知识、方法和典型例题进行总结，还可以锻炼学生归纳概括知识点的能力，为学生摸索出适合自己的学习方法提供帮助.在这项活动中,不必要求每个学生都独立完成，对于学有余力的学生,应当鼓励他们独立完成，但对于学困生，可以让他们通过与他人合作的形式进行这项活动，使他们也能有所收获.对于学生作品，可以在班级内进行一个小评比,让学生从内容的完整性、内容的严谨性、版式设计等方面进行比较，选出比较好的作品，在班级中展示。通过这样的小活动，可以再次把学生的兴趣提升，对于接下来学生融入本节知识是非常有利的。八年级平行四边形的学习中，学生已经接触了分类关系图，所以在此学生可能的设计形式有很多，但在教学中,教师要注意学生是否对自己的分类做出了说明,特别是从平行四边形过渡到矩形和菱形时是否正确运用了二者的定义或者判定定理，还应鼓励学生用多种方法来说明。在典型例题的设计中，要让学生注意到自己所使用的思想方法，并尽量让学生提炼出自己的方法.学生在这里可能不能很完整地用语言说明,教师可在课堂上进行实物展示时,引导学生进行说明，如下面一例:本班学生金某在自己设计的好题回放环节中，选择了一个题目：已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积。本题恰好是本节要研究的矩形的性质和判定的应用,在实物投影时，金某结合自己的解法进行分析,说明自己首先通过平行四边形入手,得到AC、BD互相平分，又通过等边三角形得到AO=BO,从而推得四边形ABCD是矩形.在这个分析过程中,恰当地运用了综合法,从而通过分析这道题，不仅使学生对本节要研究的矩形知识有了准备,更对综合法这个思想方法有了认识。第二环节:课题引入，对比思考活动内容：将选出的比较好的手抄报进行实物投影，请学生对自己设计的关系图进行说明并把自己选的典型例题进行简单讲解。再请学生对比前面所学的平行四边形的性质和判定定理的证明过程,来思考如何证明矩形的性质和判定定理。然后通过小组合作,将定理的证明严格的完成，最后通过实物投影的形式，各小组之间进行交流。对比前一节学习的平行四边形性质定理，引导学生对矩形独有的性质定理进行证明:定理1 矩形的四个角都是直角；定理2 矩形的对角线相等;定理3 有三个角是直角的四边形是矩形；定理4 两条对角线相等的平行四边形是矩形。学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证;对比平行四边形性质定理的证明,对已知、求证进行分析；请学生交流大体思路；用规范的数学语言写出证明过程；同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。活动目的：矩形的性质学生已经非常熟悉，但还未经过严格的证明，这里的证明首先可以让学生对这两条矩形的性质和判定有更深刻的认知，同时，通过教师引导和独立思考,培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时,逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风.通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。活动注意事项：对于本节矩形的四个定理,学生已经非常熟悉，而且通过对比平行四边形的相关证明，学生不难证明四个定理。所以,教师在这里可以不必让每个学生都去证明四个定理,而是通过分组的形式，让学生选择自己要证明的定理，加入那个小组，每个小组去证明一个定理,这样不仅有利于学生的合作交流，同时还能合理安排课堂时间，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。同时,采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见,特别是有没有更多的方法来证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示.此时，教师应该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路.这四个定理，对学生的证明要求不高,但需要学生画图,并写出已知求证，这对部分学生来说有一定困难,教师在此时可以注意引导，让学生首先分析出定理中的条件和结论，然后让学生仿照前面平行四边形的证明，写出已知和求证，同时对他们做出分析，这个学生分析的环节是发展学生推理论证能力的关键。对于定理1，可以由矩形的定义推出，同时，还要使用“对角相等，邻角互补”这一性质，这个性质的证明,对学生不存在太大困难。对于定理2，可以由定义和全等三角形证明。但这个证明过程，有的学生可能会出现这样的错误，把对角线相等当作条件使用，教师需要重点关注这种情况，对于出现这种错误的学生，应该让他再次对题目的已知和求证进行分析,并且引导他注意观察自己的思路存在混乱的问题，理清他的思路。对于定理3，利用“同旁内角互补，两直线平行"证明平行四边形是比较简单的方法,如果学生采取其他方法，也应当鼓励。对于定理4，学生采取的方法大多利用全等三角形证明平行四边形某两个邻角相等，又互补从而推出直角，这里也要注意鼓励学生采取不同的方法证明.在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理由，同时，还要关注学生的证明过程是否严谨清晰。第三环节：教师引导，独立证明活动内容：1．通过学生对议一议的讨论,在教师的引导下，得到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"这个结论,并证明；教师给出书中例一，学生进行分析，并解决这个问题，然后互相交流解法。活动目的：运用刚刚证明的两个性质解决问题,进一步发展学生的推理能力，同时，通过对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"的证明，让学生体会转化的数学思想.在活动2的证明中,通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。活动注意事项：1．议一议的目的是通过一个问题情境让学生探索直角三角形斜边中线与斜边的关系，对于“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"的证明有着重要作用，学生通过讨论“议一议”，可以发现后面证明时把直角三角形转化为矩形的方法。而同时,议一议的研究，不仅用到了矩形特有的对角线相等的性质，也用到了对角线互相平分的性质，教师在此可以结合这一点，再次强调特殊平行四边形具有一般平行四边形的所有性质.通过议一议,学生可以比较容易的观察出结论.2．对于“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明，应当注意的是,它与议一议中问题的条件并不是相同的，因此，在得出这个推论之后，应该要求学生说明原因。这个推论的证明，也是可以有许多方法的，有的学生可能会想到用度量直接求出，这是教师应该首先鼓励，然后引导学生用证明来说理.对于不同层次的学生,考虑的方法也会有区别，教师都应该鼓励学生大胆尝试，用自己的方法去试着解决.有的学生可能会想到用前面刚学的中位线的方法来添加辅助线,然后用比例推导结论，这种想法就非常值得鼓励；还有的学生可能会马上想到用议一议的方法来构造辅助矩形,从而把直角三角形的问题转化到矩形中来解决。对于每一种方法，教师都应让学生先说清自己的思路,然后严格的证明,特别对于学困生，要求要有所侧重,让他们也能找到一种自己可以成功的方法，从而有所收获。对于教材提供的构造方法，也可以有多种方法,如下面两种：已知直角三角形ABC，∠B是直角,E是AC中点A DB C E方法一：过A点作BC的平行线，与BE的延长线交于点D，连接CD，然后证明三角形BCE和三角形DAE全等，得到BC=AD，进而证明四边形ABCD是矩形，再利用“矩形的对角线相等且互相平分"即可得到.方法二：在BE的延长线上取线段ED,使ED=BE，连接AD、DC，然后证明四边形ABCD是矩形，再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可得到。对于这种构造方法，学生接触得还不多,可能有很多学生不明白,此时教师应该多引导，特别注意与议一议的对比,力求使学生能够明白这里的转化方法。同时，可以对学生加以引导，让学生注意构造的妙用,特别是鼓励学有余力的学生尝试使用这种方法，为下面知识的学习打下基础。3．通过前面的练习，在例1的解答过程中，学生能够比较容易想到这个题目也有多种解法，教材上提供了两种证明方法，教师应该先让学生思考分析题目,并口述解题思路，然后独立完成证明,不要让学生一开始就看书,在学生的证明中,要鼓励学生不同的解法，同时关注学生的证明过程是否严谨.对于层次不同的学生，还是要分别关注,让他们各有收获.第四环节：实际应用，练习提高活动内容：在本环节中，教师给出一个实际问题:一位工人师傅在检查一个矩形门框时，手上只有一把刻度尺,他怎样才能判断一个四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程。如果允许换工具,你还有其他方法吗？活动目的：通过这个实际问题，首先考查了学生对矩形判定定理的运用，也是对本节课效果的一个考察，题目最后允许学生更换工具，可以让学生进行发散思维，使学生可以更加灵活地运用本节课的知识，满足学生个性化学习的需要,使学生的知识得到巩固和运用。同时，还可以让学生再次了解到数学在现实生活中的重要作用。活动注意事项：“怎样用刻度尺检查一个四边形是不是矩形？"这个问题是对矩形判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”的实际运用,同时，也是对本节课教学效果的一个检验。在这里，对不同层次的学生,要求要有所侧重，对于有能力的同学，应当鼓励他们独立完成全过程。而对于能力有所欠缺的学生,应该侧重于说明为什么,然后再加以引导完成全过程。在问题的分析中,要让学生注意刻度尺仅可以测量长度，不能测量角度。在后面一问中，就可以让学生充分进行发散思维，学生可能会想到直接运用三角板、量角器测量角度，也可能有的学生会想到运用绳子，教师在此可以把时间充分交给学生，让他们发挥聪明才智，特别是学生有比较新奇而又可行的想法时，要给予鼓励。对于学困生,则要让他们积极参与讨论，这时往往是他们展现自己的好机会，教师应抓住这些机会给他们以帮助。第五环节：课堂小节,回顾思考活动内容:学生互相交流矩形的性质与判定定理，何时该选用性质定理,何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。活动目的:鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力,并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识.活动注意事项：鼓励学生互相补充,畅所欲言,不要由老师替学生总结，特别要关注一些在数学学习中有困难的学生,要通过这个环节来给他们树立信心,同时帮助他们发现困难以便今后更好的解决困难。第六环节:作业布置作业布置不能一概而论，对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求。课后习题3.4的要求较低,要求学生都能独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求，如：试用多种方法证明“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形”等。同时，对于数学学习存在困难的学生，应该要求他们在课后,把课堂上讲过的题目进行再整理,加深印象。四、教学反思1．灵活处理教材对于本节课的知识,不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。在学生已经对矩形相关知识非常了解的情况下，可以加大课程中的教学容量,加深对学生的要求，把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标。分层次教学对于不同层次的学生,在课堂上的要求要有所不同，一味的提高难度满足有能力的学生和降低难度适应困难学生都不是明智的做法,在教学中选择因材施教，使每个学生都有所得才是课堂教学效果的关键。在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注,获得解题的成就感,这就对我们的备课和选题提出了更高的要求.充分给学生以时间和空间课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。应当注意的问题几何教学有时对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有一些学生可能要差一点，课堂教学不能过急;此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法；还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生.第三章 证明（三)２．特殊平行四边形（二）一、学生知识状况分析在八年级教材中,学生已经对菱形、正方形的性质及其判别方法，通过一些直观的方法进行了大量的探索，所以学生对所要学习的结论已经有所了解。其次经历了《证明(一）》、《证明(二）》的学习,通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。再次在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析因为这节课所涉及的很多命题，学生已有所了解，对于这些命题,教科书利用提问的方式让学生联想回忆，然后利用已有的定理证明它们，让学生从中体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式,初步感受公理化思想。因此，本节课注重新旧知识的结合及学生推理能力的提高，而不要追求证明题的数量和证明的技巧。对证明方法和证明过程的体验,成为本节课的重点.此外，这部分题目多数有多种思路，注意引导学生选用不同的知识点、从不同的角度思考问题；注意让学生对解题思路和办法进行辨析，从而能对众多解法作优化选择；注意渗透归纳、类比、转化等数学思想方法，而不是给学生一个固有的模式往题目中套。三、教学准备1、课前布置学生动手制作一个菱形和一个正方形。2、课前需要对学生进行分组，前后桌4人一组，每组包括能力不同的学生，设组长1名，中心发言人1名.组长主要负责引领和鼓舞同学学习积极性。四、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节:探究新知（分为两部分）；第三环节:归纳应用（分为两部分)；第四环节:感悟与收获；第五环节：布置作业。(一)设置问题情境，引入新课我们曾在前面探讨过另一种特殊的平行四边形—-—-菱形,大家还记得它吗?——我们来共同回忆一下.1、菱形的定义2、菱形的性质3、菱形的判别方法师:菱形的这些性质和判别方法我们是怎样得到的?那么你能用几何推理过程来证明它们吗？这节课我们就来证明菱形的性质和判别方法。设计意图：（1）以问题串的形式引入新课，让学生明确本节课所要解决的问题.（2)让学生回忆菱形性质和判定的探索过程及其得出的结论，目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。实际效果：因为前面对平行四边形及矩形的学习，学生回答问题比较有针对性，能概括地从“边、角、对角线”等几个方面回答，较有条理。当然也有个别学生语言表述不到位,需老师同学适时点拨、补充、鼓励。(二）探究新知Ⅰ师：同学们自己推证菱形性质，行吗？说明:小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。学生A:平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分而菱形是特殊的平行四边形，所以菱形也具有平行四边形具有的一切性质。学生B:菱形是一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等可以获得菱形的四条边都相等。学生C：因为菱形的两条对角线将菱形分割成了四个全等的三角形，所以我们可以得到菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角。师:谁能说出B、C两个同学所说的菱形性质的已知，求证呢？学生D:已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=BCDA 求证：AB=BC=CD=AD证明：∵四边形ABCD是菱形BC ∴AD=BC，AB=CD 又∵AB=BC ∴AB=BC=CD=AD学生E：已知:如图,菱形ABCD的对角线相交于O点 求证:AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC ABDCO证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD，OB=OD ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD （等腰三角形的三线合一） 同理得：AC平分∠BCD BD平分∠ ABC和∠ADC设计意图：首先引导学生类比平行四边形的性质感知菱形性质的特殊性，符合学生的认知规律。其次整个过程重新回顾了命题证明需经历的步骤,为进一步发展学生的推理论证能力奠定了基础。再次整个过程采用合作学习的策略，鼓励学生多层面、多角度地思考菱形性质的论证过程，目的在于加深学生对性质本身的理解和掌握,同时也丰富了交流的内容,激发了交流的气氛，使新旧知识融会贯通，达到同学间的沟通、互补、共同提高的目的。实际效果：课堂学习气氛浓厚，大多数同学会象B同学和C同学那样运用合情推理的方式论证,对于D同学的问题,个别学生在回答已知时,只写了已知：如图，四边形ABCD是菱形，未注明里面已隐含的一组相等的邻边，导致证明时，遇到了困难。另外对于E同学的问题,学生们回答的思路也是多角度的，有想到利用等腰三角形三线合一的,也有利用三角形全等的。在多种思路中老师引导同学做了优化选择，并且利用课件作了展示，加深了印象。(三）归纳应用Ⅰ1、菱形的性质:（1）菱形具有平行四边形的一切性质ADCBE(1)菱形的四条边都相等.(2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角师：接下来我们来看一个例题以熟悉巩固菱形的性质。2、利用性质解决问题例2 如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm。通过以上已知条件你能获得哪些结论？若将菱形ABCD的边长改为10cm。你又能获得那些结论？并说明你的理由。设计意图：设置开放性题目是培养学生的创造性思维的有效方式之一，同时也有利于学生积极地参与数学活动。本环节将教材的例题加以改编，以开放题的形式呈现，让学生从多角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极性.两个问题的设置渗透了从一般到特殊的思维方法。实际效果：由于问题开放性较大,不同层次的学生都能根据自己的发现,提出不同的问题。所以学生情绪高涨,讨论热烈，思维完全放开，有见地的结论不断涌现.课堂上利用课件展示了对角线AC及菱形面积的求解过程，使学生进一步感受了数学几何语言的严谨性。师：同学们再来看例题的图形,你还会发现什么？ 3、方法总结：学生F:菱形的每一条对角线可以把菱形分成两个全等的三角形，菱形的两条对角线可以把菱形分成四个全等的直角三角形，因此关于菱形问题往往可以转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决.学生G：如果菱形的两条对角线长分别为a、b则菱形面积为abCFBEAD设计意图:由于学生的智力差异，每道例题学完后，总有部分学生对例题所讲的思想方法、解题思路掌握得不牢靠，在例题教学后回顾和总结解题思路则显得十分必要。在反思中，学生对例题进行再认识、再理解、再提高，既培养了学生归纳、概括的能力，又训练了学生思维的深刻性。4、试一试:（1）已知：菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点且BE=DF. 求证:（1)△ABE≌△ADF （2）连接AC你能确定AC与EF的关系吗? （３）已知菱形的对角线长分别为6、8，则周长为20 面积为24 设计意图:华罗庚说过：学数学而不练,犹如入宝山而空返，该练习将新旧知识联系起来，深化对菱形性质的理解，提高学生对问题的转换能力与探索能力。5、想一想:请同学们拿出课前准备的正方形，观察它与我们刚学习的菱形有什么不同?正方形是怎样定义的？正方形具有哪些性质？你能证明他们吗？设计意图:学生经历了矩形、菱形性质的探索、论证过程，不难想到：从正方形的定义出发探讨正方形所具有的性质,这既是对矩形、菱形性质本身及探索方法的巩固,又把证明作为了探索活动的自然延续和必要发展，更有利于学生对证明的全面理解.实际效果：虽然学生对于正方形的书面定义有所淡忘，但大多数学生都知道正方形是特殊的矩形和菱形，应该具有矩形和菱形具有的一切性质。对于正方形性质的证明，课堂上学生们采用的是合情推理的方法,只要条理清楚，言之有据,老师均给予了肯定和鼓励，另外在学生叙述的基础上，老师利用课件进行了总结，加深印象。师：同学们归纳、论述的很好，但不知在具体的问题情景中大家是否会用，不妨试一试！ADBCEF6、例3如图，四边形ABCD是正方形,延长BC至点E,使CE=AC，连结AE，交CD于F，你能求出∠AFC的度数吗？解：∵正方形ABCD∴∠BAD=90° ∠DAC= ∠BAD= ×90°=45° ∠D=90°, AD∥BC∵AD∥BC ∴∠DAE=∠E∵CE=AC∴∠CAE=∠E∴∠DAE=∠CAE= ×45°=22.5°∴∠AFC=∠DAE+∠D=22。5°+90°=112。5°练一练：若AC=4，则正方形边长 ；正方形面积 8设计意图:既是对正方形的性质的落实，又进一步发展了学生的推理能力，根据学生的回答,利用课件加以演示,引导学生使用规范性的几何语言清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据.对于正方形面积的求法可以借助于勾股定理，也可以用对角线之积的一半来完成，对于想到后者的同学要肯定其思维的灵活性.实际效果：课堂上学生们探索了各种不同的解题思路，通过交流比较能作优化选择。（四）探究新知Ⅱ内容：问题引入:请大家将课前准备的菱形拿出,以小组为单位用自己手中的工具：直尺、三角板或圆规迅速检查一下你们小组成员所做的四边形是不是菱形,你是怎样检查的?你为什么要这样做?用你的检查方法判断你们小组有几个人做得不标准?你还记得怎样判别一个平行四边形是菱形吗？那么满足什么条件的四边形是菱形？你能证明吗?设计意图：每一个学生都经历了制作菱形的过程，做前学生就必然要考虑怎样做，并且他会以自己做的标准检测同伴所做的图形，达到了同学间知识的交流与互补。另外培养了学生良好的思维习惯，通过直觉感知的知识，还须得到理论的证明，形成辨证唯物主义的思维方式。实际效果：因为所用工具及在测量过程中出现的误差，小组成员间有了争议。被测者想了各种方法去说服测量者，达到了让学生进一步体会证明的必要性的目的。另外经历了平行四边形、矩形的学习,个别学生想到判定定理与性质定理是互为逆命题,由菱形的性质定理想到菱形可能具有的判别方法。归纳要点Ⅱ：菱形的判别方法:1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3、四条边都相等的四边形是菱形。说明：利用课件将学生能想到的判别方法作了总结，除定义外，其他的判别方法要求学生：选择其中一个画图，写已知、求证，并思考证明过程,老师巡视指导，然后小组间交流，中心发言人回答，通过引导学生反思本题是否还有其他解法,比较哪种解法较为简捷,进一步拓宽学生的解题思路,培养思维的灵活性.ABDCO学生H：已知： ABCD中，对角线AC ⊥BD于O点。 求证: ABCD是菱形证明：∵ ABCD ∴AO=CO 又∵AC ⊥BD ∴AB=BC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） 又∵ ABCD ∴ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）BCAD学生I:已知： 在四边形 ABCD中,AB=BC=CD=AD 求证: 四边形 ABCD是菱形 证明：∵AB=CD,BC=AD ∴ABCD是平行四边形 又∵AB=BC ∴四边形 ABCD是菱形ABCPQMABCD实际效果：个别学生在书写已知、求证时存在困难,有将条件、结论混淆的，有语言叙述罗嗦、不严谨的。同样，在证明的论述过程中也有学生出现了语言罗嗦、不严谨的情况。为此，老师不要急于求成，多找几个同学补充,使学生参与到使用规范的数学语言表述论证的过程中,培养学生清晰而有条理地表达自己的观点并理解他人思维的能力.（五）应用Ⅱ1、求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形2、已知两条对角线,怎样用尺规作一个菱形3、拓展延伸:已知△ABC中AB＝AC，M为底边BC上任意一点，过M点做AC，AB的平行线交AC于P，交AB于点Q.则M位于BC什么位置时，四边形AQMP为菱形，并说明理由。设计意图：旨在体现因材施教、分层教学的原则,让不同层次的学生都能得到提高，学生完成各自任务后，小组间先交流,讲解，后集体订正。练习1是菱形判定方法探究的继续，对于练习2,其做法需要作一些分析转换，在操作过程中让学生体验对角线互相垂直平分的四边形是菱形。练习3是分析法、综合法的综合运用，目的是：培养培养学生思维的广阔性和灵活性。4、想一想:师：你手中的正方形是怎样制作的？除了利用定义我们可以判断正方形外，你还有哪些方法？你能证明它们吗？说明:小组内交流，教师关注各小组中每个学生参与的积极性及小组内的合作交流情况，对于正方形的判别,大多数学生习惯于合情推理的论述方式，教师要重视学生语言表述的条理性及严谨性。另外教师利用课件及时总结，让学生学以致用.(六）感悟与收获:师：通过本节课你学习到了哪些知识?对你有什么帮助?(师可以从以下几个方面进行提示：⒈整节课的感悟；⒉探索总结的规律；⒊某个知识点的困惑；⒋你的新发现；⒌学到的数学思想方法.）设计意图:学生畅所欲言,在民主的氛围中培养学生归纳、概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。(七)布置作业必做题：书P96第6、7题；选做题：P90第3题，P94第2题。五、教学反思1、在教学中,着重采用了“回顾-引导—类比-探索"的教学方法，配合小组合作，教学中鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法；提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，有利于提高学生的逻辑思维水平。另外小组合作学习，极大地调动了学生学习的积极性、主动性,满足了学生的表现欲，课堂气氛活跃。2、设置开放性的例题及习题,采用分层练习，满足了不同层次学生的学习需要，加大了课堂容量，实现了在合作中共同提高的目的。3、注意改进的方面：提出问题以后，应该留给学生充分的独立思考时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。另外课堂上学生口述的时间过多，书写时间少，有必要进一步加强巩固。此外，教学关键在于适应，教学中需要根据自己班级学生的状况,对例习题进行修缮，对于学生学力一般的班级,建议删去部分例习题.第三章 证明（三)２．特殊平行四边形（三）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在八年级已经借助折纸、画图、测量等活动直观的探索过平行四边形、菱形、矩形、正方形等性质和判定，本章教材主要是对这些结论进行理论的证明，而前面的探索过程和方法又为本章证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路.本章前几节课中，学生又学习了“三角形中位线定理”，这些都为探究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了探究该命题的基本技能；学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索-发现—猜想—证明”的过程，并初步体会了获得猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与论证推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，并且学生具有了一定的推理证明的能力。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于学生对特殊平行四边形认识的基础之上,提出了本课的具体学习任务：理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系.但这仅仅是这堂课外显的具体的教学目标,或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标,或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系.本课《特殊平行四边形(3）》内容从属于“空间与图形"这一数学学习领域中的“图形与证明”，因而务必服务于推理与论证教学的远期目标：“让学生经历‘探索—发现-猜想—证明’的过程,体会证明的必要性,掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想，发展空间观念”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标.为此，本节课的教学目标是：①再次经历“探索—发现—猜想-证明"的过程，发现决定中点四边形形状的因素,熟练运用学过的各种特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别，并能对自己的猜测进行证明，进一步发展学生推理论证的能力。②使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.③通过平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、任意四边形等凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。④通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美,激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节:第一环节：问题引入；第二环节：猜想结论；第三环节：分组探究，验证结论；第四环节:运用巩固;第五环节:课堂小结；第六环节:布置作业。第一环节:问题引入FECABCGHFEDABCGHFEDAB活动内容：图3—6-1 图3-6—2 图3-6-3问题：1。如图，在ΔABC中,EF为ΔABC的中位线,①若∠BEF=30°，则∠A= . ②若EF=8cm， 则AC= 。2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？3.四边形EFGH的形状有什么特征?活动目的：通过问题串，复习三角形中位线性质定理，探索新命题“依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形”。。活动的实际效果：老师在提问时选择了平时学习数学有困难的学生，由于是前面已经学过的知识，学生们回答得很流畅，这种低起点的问题引入，也增强了学生学习数学的自信心。此外，课件的运用，直观形象，也分解了难点。第二环节：猜想结论活动内容：问题：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？活动目的：在一个开放的情景中，引导学生体会由一般到特殊的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法，同时培养学生的积极探索、勇于创新的精神。活动的实际效果：有的学生猜测还是平行四边形,有的学生猜测是正方形，有的学生猜测是矩形，有的学生猜测是菱形,甚至有的学生猜测是梯形。经过师生的共同探讨，达成一致的结论：一定是平行四边形，而非梯形。于是老师顺势提出问题“会不会是特殊的平行四边形呢？从结论来探索有一些困难,那么我们可以换一种角度思考：四边形ABCD可以为哪些特殊的四边形？”学生的回答多种多样,原四边形可以为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形,甚至还有学生回答为梯形和直角梯形。于是老师请学生选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，从而顺利进入下一环节.此环节的设置引发了学生对特殊四边形的中点四边形的思考，学生们畅所欲言，互相补充完善,气氛热烈，进一步发展了学生合作交流的能力和数学表达能力,同时也是对之前所学的特殊四边形进行回顾。老师在这一环节中，对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，再一次增强了学生学习数学的自信心。第三环节：分组探究,验证结论活动内容1:学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形,菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形,并验证结论的正确性。活动目的：由学生非常熟悉的、常见的特殊四边形得到结论，为后面的知识形成作好铺垫,并把学习的主动权让给学生，目的在于激发学生的学习兴趣，使学生真正成为学习的主人;同时让学生再一次体会由一般到特殊的归纳思想、类比、转化的思想方法，进一步提高学生的合作交流和数学表达能力。活动的实际效果：学生结合前面学过的各种特殊四边形的识别与性质、三角形中位线定理等知识，人人参与、积极进行探究和交流，通过类比和转化共归纳出以下几种情况.各小组派代表展示自己小组的猜想和验证，讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使验证的过程更加严谨.把学习的主动权交给了学生,真正体现了学生的自主性，也激发了学生学习数学的兴趣.ABCDEFGHABCDEFGH图3—6-4 图3—6-5 图3-6-6 图3-6—7图3—6—8 图3-6—9 图3—6-10得出结论:平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形；等腰梯形的中点四边形是菱形；直角梯形的中点四边形是平行四边形；梯形的中点四边形是平行四边形。在这一环节中,老师走入学生中适时地进行指导，引导学生进行归纳总结，提高学生的概括能力.对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学习能力较强的学生鼓励他们研究第2个甚至更多个图形，使以上7个图形的结论能够顺利得出，并对学生的回答给予充分的肯定和鼓励.学生们展示完自己的结论后，老师利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况,体会图形运动变化的过程,验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生直观的感受。活动内容2：问题：1。矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？3.你是从什么角度考虑的？4。你从哪儿得到的启发？5。你能用你的发现解释其它的图形变化吗?例如:原四边形为菱形,其中点四边形为矩形?活动目的：以问题串的形式引导学生逐步深入思考，前2个问题的设置帮助学生回忆特殊四边形的性质与判定定理，第3、4个问题帮助学生揭示变化的原因：矩形和等腰梯形的对角线有相同的性质“对角线相等”，而且其它中点四边形的变换也和原四边形的对角线有关系.有了前4问的铺设,第5个问题可以通过类比的思想解决；同时让学生体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法,进一步提高学生的数学表达能力。活动的实际效果：这一环节紧紧围绕“中点四边形”再次提出问题串,是对上一活动的拓展。通过问题串的解答,使学生对决定中点四边形形状的因素更加明了。教师引导学生对研究的问题归纳总结。概括出规律：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.若对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形；若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH为矩形；若对角线既相等,又垂直，则中点四边形EFGH为正方形；若对角线既不相等，又不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形.BCDAHGFE图3—6—11 图3—6-12 图3—6—13 图3-6-14这里让学生通过归纳，学会把知识整理成一个系统，也就是我们常要求的：教学过程贵在让学生掌握学习的方法，让学生真正地“会学"，既学法指导.这里正是渗透了这种思想.老师再次利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性,给予学生们直观的感受。第四环节：运用巩固活动内容1：（图形发散练习）利用几何画板，拖动A点使四边形ABCD的图形变化进行研究。图3—6-15 图3—6-16 图3-6-17 图3—6—18活动目的:用动画的形式让同学们观察四边形的不断变化过程中,中点四边形的变化情况，体会变化中存在的不变的几何关系：图中几何图形的位置关系处在相互依存的状态之中，静态图形只是动态图形在变化过程中的某一瞬间，意在培养学生的发散思维能力，提高学生研究数学的兴趣和创新意识.在题目的设置上，采用逐步递进的策略，其中图3—6-15是ABCD为凸四边形，图3—6—16是AB、 AD在同一线段上，图3—6-17是ABCD为凹四边形，图3—6-18是ABCD为扭曲四边形。活动的实际效果：利用几何画板演示，学生们表现出了极大的学习兴趣，学生们畅所欲言，互相补充完善，课堂气氛异常活跃.经过师生共同探索，得到结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形。特别是图3-6-18，学生理解有困难，老师引导学生转换思考角度，即四边形EFGH可以看作四边形ADBC的边AD、BC的中点和对角线AB、CD的中点的四边形,这样就解决了问题。老师在这一环节中,对学习能力较弱的学生进行个别指导,对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，再一次增强了学生学习数学的自信心。活动内容2:（应用拓展练习)1.四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn。(1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形； (2)写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnCnDn的面积; （4）求四边形A5B5C5D5的周长。2。 如图，矩形ABCD的长为4，宽为3，连续取三次中点后的最小四边形的面积为多少？图3-6—19活动目的：利用三角形中位线定理进行有关计算是一类重要的应用,而教材中没出现计算应用题，因此教师在教学中编写了这样2道计算类拓展练习，让学生体会计算和证明在问题解决中的作用.又因为探索规律类的题目是中考的重点和难点,所以教师希望把命题向一般化、规律化拓展,同时想借助此题目向学生展示数学的图形美，激发学生的学习兴趣。活动的实际效果:由于教师所教的2个班，一个是双语班，一个是普通班，2个班的学生无论是基础,还是成绩都有着巨大的差异，因此在教学时教师为双语班的学生展示的是练习1，为普通班的学生展示的是练习2，同时教师考虑到普通班有部分能力强的学生,又把练习2进行了以下的拓展：（1）若上题连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的面积为多少呢?（2)若上题改为菱形，边长为4，连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的面积为多少呢？（3)若上题改为正方形，边长为4，连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的面积为多少呢？（4）若以上题目改为求连续取n次中点后的最小四边形AnBnCnDn的周长为多少呢？以满足不同层次学生的学习需求，通过平日的因材施教，学生们不再感到学习数学有多么困难，大大激发了学生的学习兴趣，增强了学生学习数学的自信心。第五环节：课堂小结活动内容：1、本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学方法？2、决定中点四边形形状的主要因素是什么？3、通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做?活动目的:培养学生的归纳能力,使学生形成完整的知识结构，总结研究数学问题的一般方法。活动的实际效果：学生们畅所欲言自己的收获，比如:有的学生说：通过这节课我知道中点四边形的形状与原四边形对角线有关;有的学生说:通过这节课我了解了类比、转化和归纳概括的数学思想，我要把这些运用到平日的学习和生活中；还有的学生说：通过这节课我发现了数学的美，我更加喜欢数学了；……老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓励.第六环节：布置作业用所学中点四边形的知识，设计一个基本图形，然后在方格纸内通过平移、旋转或轴对称进行图案设计.P91“做一做"，还可以变式图形（向正方形外内作等边三角形)。ACDXBAXDCB图3-6-20 　　　　　图3—6-21四、教学反思 要创造性的使用教材在新教材中，课本只是一个载体,因此，本节课教师充分利用这个载体和学生已有的知识、经验,教学设计不拘泥于教材,由一般到特殊再到一般，符合学生的认知基础和认知规律，体现了新课标的观念,水到渠成，效果非常好。充分利用现代技术，提高课堂容量本节课容量较大，但由于采用了电脑辅助教学手段，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换,使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法,并且学生在老师的启发下,一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意识。注意改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。第四章 视图与投影1．视图（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在初一已经学习过《从不同的方向看》〉、对主视图、左视图、俯视图的特点有所了解，初步理解了三种视图的概念，具备了绘制三种视图的基本技能；学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些绘制三种视图活动,解决了一些生活中简单的现实问题，感受到了数学和现实生活的密切联系，获得了数学来源于生活的切身感受和体验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析基于学生在初一对三种视图认识和了解的基础之上，教科书提出了本课时的具体学习任务：理解三视图的具体特点和他们之间的相互联系,并能根据不同问题选择适当的方法解决问题。但这仅仅是这节课具体的教学目标,或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标,或者说，数学教学的远期目标,应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标.为此，本节课的教学目标是:①经历探索基本几何体（圆柱、圆锥、球）与其三视图之间的关系；②能根据三视图描述基本几何体或实物图形，培养和发展学生推理能力和空间观念;③让学生在课堂活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；④结合具体实例,初步体会视图在现实生活中的应用,感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识.三、教学过程分析本节课共分两个课时，第一课时主要是对以前学习过的简单的几何体的三种视图的画法进行回顾，并学习组合图形的三种视图，第二课时主要研究棱柱的三种视图。第一课时设计了六个教学环节:第一环节：情境问题引入；第二环节：活动探究；第三环节：合作学习;第四环节：练习提高;第五环节：课堂小结；第六环节:布置作业。第一环节：情境问题引入活动内容:1还记得一个物体的主视图、左视图和俯视图吗？2你能自己或者与同伴画出下图的主视图、左视图和俯视图吗？附答案1、主视图: 2、左视图:3、俯视图：活动目的：通过第1个活动,帮助学生复习和回顾七年级上册的内容，为下面的活动做准备.在第2个活动中,首先让学生经历把实物抽象成几何体的过程，学生通过自己的判断思考或者与他人交流,经历一个探索的过程,并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神。同时这两个活动在课堂中用源于学生日常生活中的情景和问题展开教学，必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性。活动的实际效果：这两个活动既帮助学生达到了温故知新的目的，又对本节课的教学任务的实施进行了非常好的铺垫,起到了承上启下的作用。同时通过这些活动既培养了学生解决问题的能力，又锻炼了他们的团结合作的精神。第二环节：活动探究（获取信息，体会特点）活动内容：99页的图中物体的形状分别可以看成什么样的几何体?从正面、侧面、上面看这些几何体，他们的形状各是什么样的？活动目的：首先让学生经历将实物抽象成几何体的过程，培养学生的抽象能力和想象能力,并通过亲身体验归纳总结三种视图的不同特点,及在现实生活中的实际意义。实际效果:学生在一个放松的环境下通过自己的探究，从中获取了大量的信息和体验，亲身体会和经历了不同物体的三视图的抽象过程。而且小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈，使三视图知识信息的获取更加全面。事实上,通过对各种视图特点的一个自然感知的过程,学生都能用自己的语言归纳总结出三种视图的特点，这就为下一课时打好了基础.第三环节：合作学习活动内容:(1）在下图中找出上图中各物体的主视图.（1） （2） (3） （4） （5） （6）上图中各物体的左视图是什么？俯视图呢？与同伴进行交流。活动目的:以问题串的形式引导学生逐步深入地思考三种视图的区别与联系。前一个问题的设置帮助培养学生的空间想象能力，问题（2）的设置帮助学生体会：三种视图在长、宽、高等方面的联系.在以上两个问题的铺设下，图表的设置起到归纳总结的作用 。实际效果：学生经过前一环节对三视图的特点有了全面的认识,通过问题（1)、（2）的回答，使学生经历由圆柱、圆锥和球三种视图的转化过程,发展了学生的空间观念；进一步完善了学生对三视图的把握，对三视图的学习又迈出了一大步。同时通过这些设置问题的活动既培养了学生解决问题的能力，又锻炼了他们团结合作的精神。（附)在实物图中物体的形状分别可以看成圆柱、圆锥和球。圆柱、圆锥和球的三种视图如下表所示：. 几何体 主视图 左视图 俯视图圆柱 圆锥 球第四环节:练习提高活动内容：如图是一个蒙古包的照片。小明认为这个蒙古包可以看成下图所示的几何体，并画出这个几何体的三种视图，你同意小明的做法吗？.主视图 左视图 俯视图 活动目的：对本节知识进行巩固练习.实际效果:使学生经历把蒙古包抽象成几何体、认识其三种视图的过程，进一步掌握简单组合体的三种视图,进一步培养和提高学生对较为复杂问题的综合分析能力与应用能力。第五环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结三视图的特点，主视图、左视图、俯视图的区别与内在的联系,及各自在合作交流学习过程中的体会与感受等。活动目的：引导学生养成一种习惯、形成一种学习方法，为以后的自学和钻研打下一定的基础.实际效果:学生基本都能进行适当的自我总结，收到了较好的教学效果。第六环节:布置作业1、（1）请你自己观察你家里的一些日常生活用品并尝试画出它的三视图，并与同伴进行交流；（2）本课时随堂练习（做到书上）；（3）习题4.1的1、2题。四、教学反思1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在初一已经学过一些基本的三视图的特点，而且普遍掌握较好，因此没有必要再以问题的形式逐步总结认识,教学中将重点放在怎样根据“研究问题的需要、三视图本身的特点”科学合理地选择实物，、让学生通过亲自体验去感受三视图的内在变化与联系,在实际生活中的应用、体现，体会数学的实际价值。2、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过课堂小组合作解决有关问题的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区,以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度。3、注意改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。第四章 视图与投影1．视图（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：本小节共分2课时，这是第2课时,主要内容是学习如何画出直棱柱的三种视图。学生在七年级已经学习了画小立方块的三视图,又在本节的第一课时学习了圆柱、圆锥、球及其组合图形的三种视图，初步了解了视图的作用，为进一步学习较复杂图形三种视图的画法，打好了基础。学生的活动经验基础:经过7、8年级的数学学习，学生已经形成了一定的探究能力，思维形式也已经从一般的操作层面上升到了理性思考的层面，对平面与空间的感受更加深刻，这也是学好本节课的基础.二、教学任务分析教科书基于学生对简单几何体三种视图认识的基础之上,提出了本课的具体学习任务：掌握棱柱(主要是三棱柱和四棱柱）的三种视图的画法,这是本课时主要的的教学目标,或者说是一个近期目标。本课《视图》的内容从属于“空间与图形"这一数学学习领域，尤其与立体几何有着密不可分的联系，因此本课时的教学不能仅仅是学生掌握最终的结果，还应注重得到结果的过程和对学生动手操作能力的培养。为此，本节课的教学目标是：使学生想象直三棱柱和直四棱柱的三种视图，经历由直三棱柱和直四棱柱到其三种视图的转化过程；引导学生发现同一个几何体三种视图之间的关系;能根据几何体的俯视图尝试画出它的主视图和左视图；在教学过程中培养学生的动手操作能力和合作交流意识。三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节:知识回顾；第二环节：探索实践；第三环节：延伸提高；第四环节:巩固练习；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。第一环节:知识回顾活动内容：复习上一节课所学过的三种视图的画法,(1）提问：如何画一个几何体的三种视图？（顺序和位置)应先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的下面画出俯视图，在主视图的右面画出左视图.（2)三种视图分别反映几何体长、宽、高中的哪几方面？主视图反映长和高，俯视图反映长和宽，左视图反映高和宽(3)画出下列几何体的三种视图：活动目的：前两个问题用来复习绘制视图的基本要求，第三个问题先复习简单几何体三种视图的画法，为本节课继续作较为复杂的棱柱的三种视图做出铺垫。长方体是棱柱的一种，它的三种视图是第一节课之中没有画过的，学生在第一节课之中画的几何体的主视图和左视图都是一样的,而长方体的主视图与左视图的宽度是不同的,与下面将要绘制的普通棱柱视图类似,这也是为下面的教学做出铺垫.实际效果：学生在绘制第三小题三个视图时有一些问题，例如圆柱得主视图和左视图画得不一样，第二个图形的俯视图没有画圆心,长方体的主视图和左视图画的相同等.发现这些问题后，教师没有直接订正,而是把这些问题拿出来交由学生讨论，讨论中学生相互争论，互相补充，自然的对视图的画法和要求进行归纳总结，为下一步的教学打下了良好的基础。第二环节:探索实践活动内容：绘制三棱柱的三视图如右图,出示一个三棱柱（最好有实物模型）（1)提问:你能想象出这个几何体的三种视图分别是什么形状吗?动手试一试在过去学习的基础上，学生对主视图和俯视图做出正确的猜想是较容易的,但想象左视图有一定困难，可引导学生结合实物讨论。（2)小亮画出了这个几何体的三视图，你同意他的画法吗？主视图左视图俯视图（3）学生动手画出上述三棱柱的正确的三种视图。俯视图主视图左视图俯视图活动目的：使学生掌握三棱柱三视图的画法。视图绘制中,看不见的棱要用虚线标示出来，这一点学生不易想到，教师应注意引导学生讨论，从而加深学生印象,使学生对知识的掌握更加深入.活动效果:学生在讨论中发现此图的错误有两点：一是左视图与主视图画的一样宽，左视图的宽度应与俯视图一样，下图中两条平行线间的距离才是左视图的真正宽度。二是主视图中漏画了一条看不见的棱，这条棱应用虚线画出.第三环节：延伸提高活动内容：直四棱柱三种视图的画法。1。如右图，出示一个四棱柱（最好有实物模型）;2。先由学生想象，然后动手画出三种视图;3.以小组为单位交流四棱柱的三视图，看看谁画的最正确,并派代表向全班展示,说明画四棱柱三种视图的注意事项。活动目的：使学生掌握四棱柱三种视图的画法和注意事项.采用上述设计是为了在学生已经学习了三棱柱三视图的画法和注意事项的基础上,类比学习四棱柱三种视图的画法。实际效果：学生画出的视图五花八门,什么结果都有，经过激烈的争论，学生统一了认识，不仅得到了正确的结果（如下图）,而且把容易出现的错误也一一列举出来，最后经过互相补充总结出了以下注意事项:左视图主视图俯视图看不见的棱应用虚线，看得见的棱用实线，边框都是实线；主视图中两条虚线应与俯视图中四边形的两个顶点对齐；左视图中间的实线与左边实线的距离应等于俯视图中两条虚线间的距离；在画图时最好先画俯视图，再根据俯视图画主视图和左视图.第四环节：巩固练习活动内容：1将上面画过的直三棱柱和直四棱柱翻放(平面朝里),由学生画出三种视图，与刚才所画进行对比,加深对本节课所学内容的认识.2做一做下图是底面为等腰直角三角形和等腰梯形的三棱柱和四棱柱的俯视图，尝试画出他们的主视图和左视图，并与同伴进行交流。（1）(2)（3）（4）活动目的：巩固棱柱视图的画法第2小题重在练习棱柱的俯视图与主视图和左视图的关系。实际效果在做第2小题时，由于没有实物，学生产生了一定的困难，教师可作如下处理（1）引导学生想象具体几何体的形状，区分能看得见的棱及看不见的棱,最好在画完图后利用实物进行对照；（2)由于不知道物体的高度,单纯根据俯视图无法准确画出几何体的主视图与左视图，所以答案不唯一，但应注意主视图与左视图的高度是相同的。第五环节：课堂小结活动内容:本节课我们主要学习了哪些内容?活动目的:总结回顾本节课所学的内容实际效果:学生基本能总结出本节课学习的主要内容：直三棱柱和直四棱柱三种视图的画法；注意画三种视图时的几个问题：看不见的棱用虚线，看得见的棱用实线；在画几何体的三种视图时,主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，左、俯视图要宽相等。注意:在学生总结时不必过度追求语言的统一，用学生自己的话说出即可第六环节：布置作业活动内容：1。以小组为单位制作一个三棱柱和一个四棱柱，以不同方式摆放，画出它们的三种视图.2。习题4。2第1、2题。活动目的:对本节课的内容进行巩固延伸。实际效果：学生的作业多种多样，在其中甚至出现了把底面作为主视图的情况，起到了良好的练习效果,而且对不同层次的学生也给予了充分的照顾。四、教学反思1。本节课关注的是学生能否利用七年级学过的视图知识来进一步画出较复杂的三棱柱、四棱柱的视图。其中不少问题需要学生讨论解决，但在讨论的过程中要注意实效性，使学生学会利用别人的思维启发自己的思维，避免讨论流于形式。教师应根据学生的实际情况，关注他们的参与意识,适时适度加以引导，力求发展学生分析问题、解决问题的能力.教师应尽可能给学生创造一个展示平台，并鼓励他们大胆走上讲台，阐述自己的观点、做法及其合理性，激发学生的学习兴趣，从而达到使学生更扎实地掌握知识的目的.为了使学生更易理解知识,可让学生在画图时利用彩色笔等工具，增强视觉效果。2.遭遇的困惑与挑战本节课学生在画三棱柱的左视图时,容易画得和主视图一样宽。这就需要在此处先让学生彻底讨论，发现给出图形的错误,再引导他们找出左视图的宽度，并进一步找到画这种视图的一般规律。另外看不见的棱要画成虚线，这一点学生在七年级时也没有接触过，所以在这里直接给出也略显唐突，建议在教学时利用实物模型来帮助学生画好三视图.第四章 视图与投影２．太阳光与影子一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：太阳光与影子是日常生活中的常见现象，学生在物理上也了解了影子的形成原因，积累了物体在太阳光下形成的影子的有关知识，具备了探究影子在方向、大小和形状有变化的基本技能。学生的活动经验基础：太阳光下的影子是学生非常熟悉的一种现象，学生站在阳光下就会在地面或墙上留下自己的影子，并随着时间的变化会发现影子的长短和方向也在变化，获得了探究影子变化规律的经验基础。另外，根据新课程要求，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，因此平时的培养使学生具备了一定的探究与合作能力。二、教学任务分析影子是生活中的常见现象，教科书提供了与影子有关的一系列生活实例，提出了主要的学习任务：了解不同时刻物体在太阳光下形成影子的大小和方向的变化特点,并能根据影子的大小和方向确定时刻的先后；了解物体、影子、光线这三者之间的关系,能正确作图。本节课的内容从属于九（上）第四章《视图与投影》这一学习领域，在学生学习了视图的基础上能够理解平行投影与视图的联系,培养并提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.为此，本节课的教学目标是:①经历实践、探索的过程,了解平行投影的含义，并理解物体、影子、光线这三者之间的关系，能正确作图;②通过学生的自主探索与合作交流，发现不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向的变化规律，并能根据物体影子的大小和方向确定时刻的先后顺序；③通过小组合作与教师演示让学生了解平行投影与物体三种视图之间的关系；④通过本节课的学习进一步让学生感受数学来源于生活，增强学生学数学的兴趣，并进一步提高学生的合作意识，提高学生分析问题、解决问题的能力.三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节:课前准备；第二环节：情境引入，激发兴趣；第三环节：探究合作，获取新知;第四环节：巩固练习，拓展延伸;第五环节：课堂小结，畅谈疑惑；第六环节：布置作业。第一环节:课前准备活动内容：[1］学生记录一天中不同时刻影子的大小和方向以四人为一合作小组，分工如下：一人作为参照物体，两人负责量出参照物体影子的长度，另一人记录影子的方向和长度。教师设计了活动记录表，要求学生根据要求做好记录。[2]教师找一位同学作为参照，用数码相机拍摄这一同学一天中不同时刻的影子。［3］学生取长短不等的小棒和矩形纸片,按要求观察他们在太阳光下的影子：①固定投影面，改变小棒或纸片位置与方向，它们的影子分别发生了什么变化。②固定小棒或纸片，改变投影面的位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？活动目的：通过学生亲自参与，体会到身边一些常见的现象与数学有关，激发了学生学习数学的兴趣，提高了学生乐于观察生活，并能将所学数学知识用于生活的意识。通过学生小组合作，经历收集实验结果的过程,进一步培养了学生乐于与他人合作交流的意识，提高了学生的团结协作精神.在课堂上通过汇总每一小组的实验结果,出示周围同学的影子，必将极大地激发学生参与课堂学习的积极性和主动性，为学生更好地掌握本节课的知识打下基础。活动实际效果：各小组在获取实验结果的过程中，学生参与的积极性很高，能很好地按照老师的要求记录实验结果，体现出学生亲身获取知识的兴奋和团体协作的精神，比预想的更积极一些。附某小组的实验结果:小组活动记录表第二环节：情境引入，激发兴趣活动内容:影子是我们司空见惯的，物体在光线的照射下会在地面上或墙壁上留下影子,这种现象被我们称作投影现象。你能举几个投影现象的实例吗?活动目的:在给出投影现象的定义后，让学生举出生活中的实例,让学生亲身感受到数学确实来源于生活，并和学生分析所举的实例是否在同样的光线下形成的投影，由此引出平行投影与中心投影,这样既引出了本节课的内容，又为下节课作了铺垫.实际效果：学生在举例时，由于所提问题贴近生活，学生的参与积极性很高,确实能够举出很多生活中的投影现象，并能根据所举的实例发现这些投影有些是在太阳光下形成的，有些是在灯光下形成的,这就便于学生理解并区分平行投影与中心投影，为下节课的灯光与影子做好了铺垫，学生理解不错.另外，在这一环节中，教师适时提出我国古代的伟大发明—--日晷（图片演示、介绍），这既让学生了解了我国古代人民的聪明才智，又增强了学生的民族自豪感。第三环节:探究合作，获取新知活动内容：[1]各小组拿出课前实验的结果,以小组为单位，讨论一天中物体的影子有何变化？［2］两个小组合作，探究：同一时刻个子高的同学与个子矮的同学的影子与他们的高度之间有什么关系？［3］出示教师课前准备的图片,验证学生发现的规律，并用课件展示影子的变化规律。活动目的:设置这两个问题给学生，让学生初步认识这节课的研究内容，在小组讨论的基础上得出两个问题的答案，进一步培养了学生探究知识的能力，体会到了小组合作的乐趣,为学生以后更好的学习新知奠定基础.学生在探究完教师的问题后，教师出示课前准备的影子变化图片,验证学生发现的变化规律，并用课件展示影子的变化规律，给学生一个完整的知识印象。实际效果:由于每个小组都积极完成了老师布置的课前任务，所以在课堂上学生根据实验结果能很好地发现一天中影子的变化方向为“西—西偏北—北—北偏东—东”,影子的长度变化为上午：“长-短”；下午“短—长”；一天变化为“长—短—长”.当教师出示课前准备的某位同学影子变化图片时,学生的注意力都盯在图片上,这样既验证了学生得出的结论，又加深了对知识的理解,效果非常不错.对于第二个问题,由于学生在八年级(下）第四章相似图形中已经有所研究，所以能较好地得出“同一时刻，物高与影长成比例”这一结论。第四环节:巩固练习，拓展延伸内容：本环节设置了填空、选择、解答、作图等类型的题目，具体如下：［1]你能行（1）如图三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的.在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们的先后顺序进行排列，说明你的理由。 ① ② ③(2）高4米的旗杆在水平地面上的影子长6米,此时测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为________。［2］活学活用NENENENE(1)下图是一根电线杆的影子的俯视图，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（ ） 1 2 3 4A。4-—3-—1——2 B。2——3-—1—-4 C。4--1——3——2 D。2——1-—3—-4(2）观察下图回答问题［1］三个不同的时刻，同一棵树的影子长度不同,请按时间先后顺序排列。[2]一天中，物体在太阳光下的影子如何变化？ ［1］ ［2］ ［3］ [3］看你的！（1）一根木杆如图所示，请在图中画出它在太阳光下的影子。（用线段表示） 太阳光线(2）某一时刻甲木杆在太阳光下的影子如图所示:①你能画出此时乙木杆的影子吗？②当木杆乙平移到什么位置时其影子刚好不落在墙上？③在你所画的图形中有相似三角形吗？为什么？[4］拓展延伸（1）一根旗杆如图所示,请在图中画出它在太阳光下的影子(用线段表示其影子）试一试：小明想知道上述旗杆的高度，他在某一时刻测得竖直放置的1米长竹竿的影长为1.5米，同时测量旗杆在地面上的影长为21米，留在墙上的影高为2米，请你帮忙计算该旗杆的高度？（2）小明认为，物体的主视图实际上就是该物体在某一平行光线下的投影,左视图和俯视图也是如此，你同意这种看法吗？先想一想，再与同伴交流。活动目的：借助“你能行"让学生运用本节课所学的相关知识；通过“活学活用”可以进一步帮助学生掌握知识，并有助于教师了解学生对知识的理解与掌握，特别是其中的第（2)题，题目设计很开放，结论有多种，这样既发散了学生的思维，又有助于学生对知识的进一步理解；在“看你的”部分设计了两个作图题,这两个题目主要让学生发现物体、影子、光线这三者之间的关系，理解：确定其中的两个因素即可确定第三个因素；“拓展与延伸”是对本节课知识的综合运用,有助于优秀生开拓思维,提高能力；对于平行投影与视图的关系先交给学生讨论,教师使用多媒体演示，帮助学生理解平行投影与视图的关系。实际效果:学生对于教师设置的题目学生能较好的掌握,收到了很好的教学效果。但在活学活用的第（2）题中,学生的结论不够完整，可以通过小组交流、讨论完善结论.对于拓展延伸中的第（1)题学生的方法很多，现将学生的做法总结如下：方法（1)过点D作DE//AC方法（2）过点C作CE⊥AB,垂足为E方法（3）延长AC,BD交于点E另外，对于平行投影与视图的关系,学生不易理解，可以通过多媒体演示，让学生通过观察进一步感知。第五环节:课堂小结,畅谈疑惑活动内容：让学生小组交流,总结本节课的收获，教师适当点拨与肯定；鼓励学生大胆讲出本节课存在的疑问,师生合作帮助学生解答疑问。活动目的：对学生在知识掌握、技能提高、情感态度价值观的培养与发展方面的情况作全面的总结。鼓励学生大胆总结，勇于质疑，对学生的疑问要发挥同学之间的合作的力量，将问题解决。通过这一环节让学生进一步认识了生活实际与数学的紧密联系，有助于培养学生乐于观察生活的习惯，激发学生学习数学的兴趣.实际效果：学生在这一环节能大胆发言，畅谈自己的收获与疑问,脸上露出了获取知识的喜悦。第六环节：布置作业[1]新课堂81页第1、3题；［2]预习教科书4.3灯光与影子。四、教学反思45分钟的时间在一种融洽、宽松、和谐的氛围中悄然结束了，课下我了解了部分学生的掌握情况,数学成绩不错的学生说“太有趣了，没想到太阳光下的影子也包含了数学知识，以后我一定要留心观察生活中的现象，多用数学知识解决生活中的问题"；数学成绩差的学生说：“我从来没像今天这么认真听讲过。”看到学生得意的表情，给我很大的启发：首先，教师一定要有创新精神和意识，要用教材而不是教教材，知识来源于课本但不能拘泥于课本。对教材知识不能原封不动地灌输给学生,而要根据学生的具体情况，采用不同的教学方式、方法，设计符合学生实际情况的教学过程，尽可能地面向全体学生,照顾不同层次的学生，使不同层次的学生都能有所收获。其次，由于学生的“注意力”和“兴奋点"不可能持续很长时间，因此，教师在设计课堂教学过程中应该有一节课的序幕和高潮。课堂所提问题应遵循学生的认知和心理方面的发展规律，迎合学生原有的知识基础，带有一定的挑战性和开放性探究性。一节课精心设计几个问题，让学生有兴趣的讨论和思考，效果较好。回顾整堂课我认为本节课选材贴近生活，学生比较容易接受；通过本节课的学习学生能较好的掌握太阳光下影子所包含的数学知识。通过小组合作，学生的求知热情非常高涨，甚至连平时不愿听讲，不爱学习的学生也都积极行动了起来,主动参与到小组活动中。在讨论过程中不同知识水平的学生加强了沟通，个性得到了张扬,潜力也得到了发挥。另外,通过学生谈收获，讲疑问这一环节加强了学生对知识点的掌握，对于存在的疑问也能通过小组的合作解决,激发了学生的潜能。注意改进的方面：小组合作讨论结束时,不仅注重学习结果的汇报，更要注意对合作过程的评价。比如,师生可共同评出“最佳沟通奖”“配合默契奖”“共同进步奖"“集体智慧奖”等。这样，使小组合作学习更积极向上,使学生更乐于参与.第四章 视图与投影3．灯光与影子（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级上册的学习中，已经积累了三种视图的有关经验，但对于投影还是初次探讨。本课内容看似独立，但本质上有着密切的联系。事实上,在特殊位置下物体的平行投影便是物体的三种视图；人看物体时的情形与中心投影本质上是一致的。学生的活动经验基础：由于本课知识动手实验较多，在学的过程中需要学生敢说、敢想、敢创造，需要学生互相交流、相互评价、相互补充，当然，由于以前的学习中已经让学生进行过类似的学习活动，因此学生具有这样的活动经验基础。二、教学任务分析 “灯光和影子”是北师大版实验教材九年级《数学》上册的一个内容，本节内容是第一课时。影子是生活中常见的现象，本课提供了与影子有关的一系列生活实例，目的是让学生体会影子在生活中的大量存在，体会灯光下物体的影子在现实生活中的运用。学生通过在灯光下摆弄小棒、纸片，体会、观察影子大小和形状的变化情况,归纳出一些规律，培养学生观察问题、分析问题的能力。更重要的是让学生通过观察、操作、想象、推理、交流等数学活动的经验和体验，发展他们的空间观念。为此，本节课的教学目标是:经历实践、探索的过程,了解中心投影的含义,体会灯光下物体的影子在生活中的运用，体会灯光投影在生活中的实际价值。通过观察、想象，能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化；能区别平行投影与中心投影条件下物体的投影;通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力;三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾思考，复习旧知;第二环节:创设情境,引入课题；第三环节：动手实践,探索新知；第四环节：应用练习，巩固提高；第五环节:归纳系统,感悟收获；第六环节:检查反馈,布置作业。第一环节：回顾思考，复习旧知活动内容：回顾投影、平行投影有关知识：(1)物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象。（2）太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。(3）在同一时刻,物体高度与影子长度成比例。（4）物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线（垂直于投影面的平行光线）下的平行投影。活动目的：回顾前面所学内容，加深学生对所学知识的理解，同时为学习新知识做铺垫。第二环节：创设情境，引入新课活动内容问题1、你知道什么是皮影戏吗？它的原理是什么？生：皮影戏是人们把做成的人物用小棍系起来，然后人们指挥这些人物去做各种动作,并通过灯光把影子映在布景上的一种戏。生:皮影戏的原理实际上就是用灯光把剪影照射在银幕上。师：皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲,表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐.在现实生活中，我们经常可见灯光与影子的有关实例。比如，在灯光下做不同的手势可以形成各种各样的手影。手形在不停地变化时，投射出来的影像也随之变化，生动无比．利用它来表演故事，这就是手影戏．手影戏是最古老的电影雏形．表演者仅用一双灵巧的手竟幻化出世间万物，如狗、兔子、飞翔的鸟等等，配合灯光和音乐出神入化的演绎世间百态，惟妙惟肖，叹为观止．请同学们看图片。（学生在灯光下做不同的手势,观察映射到屏幕上的表象。)上面的人影、皮影、手影都是在灯光照射下形成的影子．今天我们就学习“灯光与影子”第一课时。活动目的：创设问题情景,以人影、皮影、手影的精彩图片激发学生的学习兴趣，从而自然引出课题；符合学生的认知特点,激发学生学习兴趣。第三环节：动手实验，探索新知活动1：做一做取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒去照射这些小棒和纸片.（1）固定手电筒，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，他们的影子分别发生了什么变化?（2）固定小棒和纸片，改变手电筒的摆放位置和方向，它们的影子发生了什么变化？［学生分成四人小组做实验，，观察在两种情况下物体的影子的变化规律］生:固定手电筒，改变小棒的摆放位置和方向时，它的影子将变大或变小.生：固定小棒，改变手电筒的位置，影子在银幕上随着物体与手电筒之间距离的缩小而增大;改变手电筒的方向影子随着发生变化.师:手电筒发出的光线与太阳光线是否相同？生：太阳光线是平行光线,手电筒(或台灯）发出的光线可以看成是从一点发出的。师:手电筒、路灯、探照灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。活动目的:在这些过程中学生通过实验操作、观察，充分体会到灯光下物体影子的变化规律，符合了“学生学习的过程是认识事物的过程”的原则。学生经历实践、探索的过程，既培养了学生的动手实践能力，积累了数学活动经验,也了解了中心投影的含义。）活动2：由实物与影子确定路灯的位置师：在同一灯光下，物体的影子与物体上对应点的连线过灯泡所在的位置吗？如何找物体与影子上的对应点？找一对对应点可以吗？（学生互相讨论交流）生：一定经过,找一对对应点不行。因为一条直线肯定过灯泡所在的位置,但究竟是直线上的哪一点不能确定，所以要找两对对应点。师：在找对应点时要找关键点,如线段找端点,三角形、四边形找顶点。生：如下图点A就是路灯灯泡所在的位置。活动目的：通过学生感兴趣的实例让学生动手“做数学”，不仅激发了学生的求知欲，深化学生对中心投影的含义理解，也为探究灯光光源、物体与影子之间的关系作好了铺垫。活动3：太阳光线与灯光光线师:太阳光线和灯光光线各自的特点是什么？如何区分它们？生：太阳光线是平行光线,灯光光线是从一点发出的，如下图所示:活动目的：让学生直观感受太阳光线与灯光光线的区别，为后面的动手实践作好了铺垫。活动4:做数学如上图所示:（1）是灯光光线。（2)是太阳光线.这样做的理由是：太阳光线是平行光线，而灯光光线是由一点发出的光线,因此分别找到两对对应点后,过两对对应点作直线，若两直线平行即为太阳光线，若两直线相交即为灯光光线。活动目的：通过画图实验，让学生动手做数学。通过动画演示，让学生感受知识的发生、发展过程，激发学生的学习热情，同时也培养了学生观察问题、分析问题、抽象数学问题等能力。第四环节：应用练习,巩固提高1、举例说明生活的中心投影现象。2、如图:(1)中间是一盏路灯，周围有一圈栏杆，图（2)是其两幅俯视图（图中只画出了部分情形）,其中一幅是白天阳光下的俯视图，另一幅是晚上这盏路灯下的俯视图,你认为哪个是其白天的俯视图？哪个是其晚上的俯视图？3、在下列各图中，两根木棒的影子是在同一时刻、一盏灯下形成的中心投影吗？4、请画出图中双胞胎姐妹在路灯下的影子。． 5、某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图（短木棒的影子是玻璃反光形成的）,请确定图中路灯灯泡所在的位置。活动目的：这一组练习题，旨在让学生通过辨析来巩固对基础知识的理解，从而内化成自己的知识结构。通过把生活问题数学化，培养学生的数学应用意识，在解决问题的同时培养学生的发散思维,拓展学生的解题思路。第五环节：归纳系统,感悟收获今天我们学习了哪些数学知识？我最大的收获是．．．．．．我最遗憾的是．．．．．．我今后的打算是．．．．．．活动目的：通过开放式小结，使学生自主回顾、总结梳理所学知识，培养学生归纳、概括能力和表达能力.ABCDEFMN第六环节：检查反馈，布置作业1、同一时刻,两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子．与同伴进行交流．2、一天晚饭后，姐姐小丽带着弟弟小刚出去散步，经过一盏路灯时，小刚突然高兴地对姐姐说：“我踩到你的‘脑袋’了”。你能确定小刚此时所站的位置吗？如果此时小刚的影子与姐姐小丽的影子一样长，你能在图中画出表示小刚身高的线段吗？活动目的：了解学生对本节课知识的掌握程度；检验学生对本节所学的理解能力和运用程度。作业：1．（必作题）《课本》120页习题4.4第1题，第2题；2．（选作题）对“手影戏、皮影戏”感兴趣的同学可搜索、登陆“手影戏、皮影戏”的相关网站,了解更多的手影戏、皮影戏知识，欣赏更多的精彩的手影戏、皮影戏．活动目的：“必作题”可以巩固本节课所学内容,“选作题”可以培养学生对数学学习内容的兴趣．四、教学反思1．多媒体的合理应用,可极大地激发学生的学习兴趣，提高教学效果．在本节课的“情境引入”这一教学环节中，用媒体展示的人影、皮影、手影的精彩图片,给学生以视觉冲击,产生了视觉和心理的震撼，这样在课堂“第一时间”抓住了学生的注意力、极大地激发了学生的学习热情，这十分有利于后面教学活动的开展,提高课堂教学效果．2．附有挑战性的“问题（或活动）"、层层深入的“问题串”可激发学生的探索欲望，培养创新精神,拓展思维能力．在本节课“探究活动”这一教学环节中的“做一做”设计的4个活动，由简单的“模仿”到“创作设计、观察思考"循序渐进、挑战性逐渐增大,不断激发学生的探索欲望，引人入胜，培养创新精神,拓展能力．第四章 视图与投影3．灯光与影子（二)一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：灯光与影子是生活中常见的“中心投影"现象，学生在第一课时的学习中，已经积累了物体在灯光下形成影子的有关知识。本节课所讲到的“视点"、“视线”和“盲区”在本质上和“中心投影”是一致的。前后知识的密切联系，对本节课的学习架设了良好的沟通与衔接的桥梁。此外，在初二的物理课程中，学生也已经认识了“光学”的初步知识，对“视线”有了初步的了解，从而降低了学生对本节课中的知识点的理解难度。学生的活动经验基础：在“中心投影"现象的学习中，学生搜集生活中相应的材料，具备了分析生活中的复杂现象，提取有用信息的能力;在平常的学习中，学生已经形成了分工合作、沟通交流的良好习惯；在科学预案的指导下，学习小组具备了独立实验的能力。二、教学任务分析 “使学生具有良好的空间观念”是义务教育阶段数学课程的一个重要目标，第四章《视图与投影》也是反映空间观念的重要部分。本节课所讨论的“视点”、“视线”和“盲区"看似相对独立，实际上和“中心投影”有着密切的联系，将人的眼睛和点光源类比，视线与点光源发出的光线相似，影子则与盲区类似.在学生学习了“中心投影”再讲本节课，不仅加深了学生对“中心投影"的认识，更丰富了学生观察、想象、推理、交流等数学活动的经验和体验，发展了学生的空间观念,体现了“数学知识源于生活，服务生活”的应用意识,同时激发学生学习兴趣。为此，本节课的教学目标设计为：①知识与技能目标：了解“视点"、“视线”和“盲区”的含义，能够确定视点下的盲区；了解“中心投影”与“视点"“视线”和“盲区”之间的联系。②过程与方法目标：通过观察、想象,能够判断在固定视点下的盲区；感受“视点”、“视线"和“盲区”在生活中的应用，发展数学应用能力，体会“观察-联系—归纳”的思维方法。③情感与价值观目标:通过实践，学会与人沟通和合作。三、教学过程分析本节课的教学过程分六个环节：第一环节“温故知新，导入新课”，第二环节“设计实验,诠释定义”，第三环节“巩固练习，合作交流",第四环节“拓展提高，建立联系"，第五环节“回顾思考，前后呼应"，第六环节“布置作业”.第一环节:温故知新，导入新课活动内容：1、根据你学习的知识，完成下面题目：A处是一个点光源，BC是一个木板，请在墙上画出BC留下的影子。2、请同学们补全下列句子：①一叶障目， .②欲穷千里目， .③会当凌绝顶， .你明白其中的道理吗？带着这个问题，我们来讨论“视点"、“视线”和“盲区”的问题。活动目的：问题1的设计，主要是对于“中心投影”的复习,既是对旧知识的巩固,也给本节课新知识的传授做了一定的铺垫。问题2的设计，是借助于学生熟悉的成语和诗句，引出本节课讨论的内容，达到激发学生兴趣和探知欲望的目的。实际效果：在课堂上，同学很容易给出了问题1的答案（下面是标准答案），说明学生对前面知识的掌握是不错的.问题2中，同学们也给出了正确的答案（①一叶障目,不见泰山。②欲穷千里目，更上一层楼。③会当凌绝顶，一览众山小。）成语和诗句的出现，极大地调动了学生的学习兴趣。对于成语和诗句的字面意思，学生还是充满了好奇和乐趣。第二环节：设计实验，诠释定义实验内容1：①面对黑板站立，你的同位在你的面前拿一本书，让它的正面对着自己的眼睛,当书本由远到近移动时,自己看到的黑板上的范围如何变化?如图3，同位合作，每个同学都体验一下。②如果书本位置固定，观察者前后移动，你看到黑板上的范围又如何变化呢？如图4，同位合作，每个同学都体验一下。 图3 图4活动目的：通过学生自己的实践，亲身体验一下影响“盲区”大小的变化因素，体会“视点"、“视线”和“盲区”的关系，为引出后面的定义提供活动经验；同时,在活动养成同位之间的合作意识.活动效果：在活动中，学生对于这个简单的生活事例比较容易理解，对于其中渗透的数学道理充满好奇；同位之间的合作默锲,顺利完成了实验。活动内容2：教师直接给出定义：如图3、4所示,眼睛的位置称为“视点"，由视点发出的线称为“视线”，看不见的部分称为“盲区”.如在图3中，书本在位置1时，“视点"是指点A，“视线"是指AB与AC，“盲区”分别是指E区阴影部分.图5请同学们分别在图4中，指出在不同位置时的“视点"“视线”“盲区"。活动目的：在前面的活动基础上,直接给出定义，学生比较容易接受。在阐述完定义后,给出一个简单的巩固练习，起到加深理解的作用。活动效果：学生对定义的理解比较容易，练习的完成也比较顺利。说明：本环节的设计，我没有利用书上的剧场问题，原因是条件的限制，不能让所有的学生都亲身体会，“数学知识来源于生活”的数学理念不能很好的落实。修改后的活动比较容易实现，坐在教室里就可以达到目的.第三环节：巩固练习，合作交流活动内容：本部分练习设计三个层次，第一层次是简单的问答；第二层次是实践作图；第三层次是小组合作交流。第一层次：回答下列两个问题。1、用“视点”“视线”“盲区”的观念解释：在开始的活动中，为什么书本固定，观察者离书本越近，看见的黑板的范围就越小呢？2、坐在后排的小明被前排的小刚的头挡住看不见黑板，小明心中不悦，半开玩笑的说:“小刚，你的头比黑板还大，黑板都被你挡住了,我一点也看不见！" 小明的这种说法正确吗?为什么？第二层次:画图说明下列问题。3、如图6,有一辆客车在平坦的路面上行驶,前方有两座建筑物，客车在位置1，司机看见的建筑物B的部分是C点以上的部分.①那么请画出客车在位置2时,看见的建筑物B的部分。②标出客车行驶到什么位置时，刚好看不见建筑物B？③当客车从位置1开始向建筑物A靠近时，司机发现，建筑物B沉到建筑物A后面去了，你能告诉司机师傅是为什么吗?图64、如图7(l），小明站在残墙前，小亮在残墙后面活动，又不被小明看见,请你在俯视图(2）中画出小亮的活动区域．图7第三层次：小组合作交流。5、为什么较大的会场都是呈阶梯状的，你能解释其中道理吗？6、盲区的存在有它的利与弊。四人小组合作讨论，举例生活中与盲区有关的例子.活动目的：本部分遵循循序渐进的原则,设计了三个层次练习，巩固学生对“视点”“视线”“盲区"的理解。第一个层次是对前面活动的小结和简单的模仿练习。第二个层次渗透“数形结合”的思想,在生活实践中加深学生对盲区的理解。第三个层次是开放性的练习，在四人小组合作的基础上，全班一起交流，让学生进一步体会“数学知识来源于生活，又服务于生活"的数学思想；同时在交流中，培养大家交流协作的良好品质。实际效果：在层次一的练习中，学生都比较顺利的回答出正确答案。（附参考答案)1、书本固定，观察者离书本越近，书本后面的盲区就越大，所以看见的黑板的范围就越小。2、小明的这种说法不正确，只是黑板位于小明的视线的盲区内，所以看不见黑板。在层次二的练习中,根据自己的理解，大多数学生能够独立完成。（附参考答案）3、图8①客车在位置2时，司机看见的建筑物B的部分是D以上的部分。②客车行驶到E位置时，司机刚好看不见建筑物B。③当客车从位置1开始向建筑物A靠近时，司机发现,建筑物B沉到建筑物A后面去了，原因是司机的盲区越来越大，导致在建筑物B看不见的部分越来越大,所以感觉象建筑物B沉到建筑物A后面去了.4、图9阴影部分是小亮的活动区域.在层次三的练习中，同学们参与活动的积极性很高，效率很高，对实践中得到的知识既感兴趣，又印象深刻。问题5解决相对简单，目的主要是减少与会人员的盲区。第6个问题答案就特别多了，很多答案反映了学生超强的想象力和能力。如有的同学在谈到盲区的弊端及改进时举例：在超市，摄象头往往都是转动的，因为这样可以扩大视野，减少盲区，实现更大的监控效果。如有的同学在谈到盲区的优点时举例：战争时挖战壕，修掩体都是为了将自己处于敌人的盲区内保护自己。第四环节：拓展提高，建立联系活动内容：1、如果A处是视点，BC是挡板，请画出墙上A看不见的部分。图102、如果点A是光源（如图2)，比较两个图的区别和联系,你得到什么结论?四人小组讨论交流.活动目的：通过类比的方式,建立“中心投影"与本课知识点的联系，让学生进一步认识到“视点"和“点光源”、“视线"与“光线”、“盲区”与“影子”的本质是一样的。实际效果：同学们很容易得到图10的答案（如图11).∴DE部分是视点A看不见的部分图11四人小组在积极讨论的基础上，得到了一些基本结论，最后在班级交流中,同学们得到了一些基本的结论，如：①“视点”和“点光源”都是点。②“视线"和“光线”都是光线.③“盲区”实际上就是把“视点”看成“点光源"，“光线”照不到的地方.“盲区"和“影子”本质上是一样的。第五环节：回顾思考，前后呼应活动内容:回顾思考，章节小结。这节课我们重点讲述了“视点"、“视线”和“盲区”，那么我们来解释一下开始时成语和古诗所蕴涵的数学知识.①一叶障目，不见泰山.②欲穷千里目，更上一层楼.③会当凌绝顶，一览众山小。活动目的:前后呼应,解决课上学生的遗留问题，并进一步体会“视点”、“视线”和“盲区”在现实中的广泛存在,体现“学习生活中的数学，用生活中的数学”的思想.实际效果：大部分学生都能用自己的语言来表述其中的意思。①一叶障目,不见泰山。是说明泰山正好处在了视点的盲区范围内；②欲穷千里目，更上一层楼，③会当凌绝顶，一览众山小，说明：登得越高,盲区越小，视野就越开阔。第六环节：布置作业内容：根据实际情况，我把作业设计三个层次。作业A要求100％学生完成；作业B要求大部分学生完成；作业C要求学有余力的学生完成。作业A：书122页,随堂练习1。作业B：书123页，习题4.5，练习1。作业C：书124页,试一试。（建议把这题作点铺垫，在前面加上正三棱柱形建筑物和正四棱柱形建筑物,这样学生在解决正六棱柱形建筑物时就会简单很多.)目的：课后作业是课堂的有效拓展,本次作业分三个层次进行，目的就是让不同学力的学生都能体验自己的成功.实际效果：从课后作业看来，学生的基本知识掌握不错，体现出课堂的效果还可以.作业C的修改，降低了本题的难度，有很多同学完成得都不错。四、教学反思1、要创造性是使用教材教材是给教师和学生提供的一个信息平台，教师在实际的教学中，要结合着实际情况进行调整。本课根据实际的需要，我对教材作了修改，首先是引入时借助了成语和古诗,生动活泼地提出了疑问。对概念的引入也抛弃了书本上的剧场，原因是学生实际体会不到，而是用学生容易实现的实验来引入。针对知识点的要求，对课堂的练习和课后作业也作了相应调整和修改。2、要注重“实践出真知”的基本理念教学中,关注实践活动中获取知识。课堂上,实践、观察、归纳与思考交织在一起进行，这有效地促进了知识的学习，也便于评价学生所体现的主动参与和积极思考.3、要体现“数学知识生活化”,让学生学习“有用的数学”“数学知识生活化”，主要表现在三个方面，一是材料来源要尽可能地采用生活中的资料；二是主要知识点的引出尽可能来源于学生熟悉的事物或实际活动;三是要在实际中鼓励学生利用数学知识解决实际问题。本节课的重点放在了这一部分，引入、概念的引出、盲区的利用与克服，都渗透了数学是“生活化”和“应用意识”。4、要关注不同层次学生的要求现代教育呼吁“服务”意识，就要很好地服务学生，要关注不同学生的需求，尽力让不同的学生都得到满足,体验到成功。所以本课通过小组合作和分层作业来满足不同学生的学习需求。5、不足和改进的地方在实际教学中,出现了一些遗憾.一是,课堂上留给学生的时间太少，没有让每个同学都充分发挥自己的想象力；二是,课堂上,鼓励后进生充分参与活动和交流方面做得不足.这也是我以后努力的方向。第五章　反比例函数5。1反比例函数本章总体设计介绍 函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.在前面已学习过“变量之间的关系”和“一次函数"等内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念，为后继学习产生积极影响。本章教学建议1．注重数学概念的形成过程和对概念意义的理解，教学中提供直观背景.2．创设学生自主探索与合作交流的环境。教学中,应引导学生在了解函数的三种表示方法的基础上，通过观察，分析函数的图象，自主地对反比例函数的主要性质作出直观描述.3．经历数学知识的应用过程,关注对问题的分析过程。教学时将实际问题置于已有知识背景中,用数学知识重新解释，让学生逐步会用数学的眼光考察实际问题。同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。１．反比例函数河南省郑州外国语中学　杨　莉一、学生知识状况分析 本节课通过对具体情境的分析，概括出反比例函数的表达形式，明确反比例函数的概念。通过例题和列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义。 由于本节课比较抽象，学生理解起来比较困难，因此,在学习反比例函数概念的过程中，充分利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律，并逐步加深理解.教学中要提供直观背景展现反比例函数的经验来源，在获得反比例函数概念之后，经验背景将成为概念的某种直观解释或实际意义,在活动中,教师应注意提供思考或研究问题的方向.二、教学任务分析教学目标 （一）教学知识点 1。从现实情境和已有的知识经验出发,讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解。 2。经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念. (二)能力训练要求 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。 （三）情感与价值观要求 结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程,发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.教学重点 经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。教学难点 领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节:第一环节:创设问题情境,引入新课；第二环节:新课讲解;第三环节:课堂练习；第四环节:课时小结；第五环节:课后作业。第一环节：创设问题情境,引入新课活动目的 给学生设置疑问,激发学生学习兴趣.活动过程 我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y＝kx+b其中k，b为常数且k≠0,正比例函数的表达式为y＝kx，其中k为不为零的常数，但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A地到B地的路程为1200 km，某人开车要从A地到B地，汽车的速度v（km／h）和时间t(h）之间的关系式为vt＝1200，则t＝中，t和v之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数的关系式，那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢？这就是本节课我们要揭开的奥秘。第二环节：新课讲解活动目的 在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出数学概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型.活动过程 引入我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种,首先我们先来回忆一下什么叫函数？ 1.复习函数的定义 在某变化过程中有两个变量x，y。若给定其中一个变量x的值，y都有唯一确定的值与它对应,则称y是x的函数.能举出实例吗? (要求学生完成) 例如,购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元)与铅笔数n(个）的关系是y＝0。4n，这是一个正比例函数. 又如，等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的关系为y=180-2x,y是x的一次函数.等 2。经历抽象反比例函数概念的过程,并能类推归纳出反比例函数的表达式. 复习了函数的定义以及正比例函数和一次函数的表达式以后，再来看下面实际问题中的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是否为正比例或一次函数关系式。 问题1：电流I，电阻R，电压U之间满足关系式U＝IR，当U＝220 V时。 (1)你能用含有R的代数式表示I吗？ （2）利用写出的关系式完成下表：当R越来越大时,I怎样变化？当R越来越小呢？ (3)变量I是R的函数吗？为什么？ 请学生大家交流后回答. 答案为(1)能用含有R的代数式表示I。 由IR=220，得I=。 （2）利用上面的关系式可知，从左到右依次填11，5.5，3.67,2。75,2。2. 从表格中的数据可知,当电阻R越来越大时，电流I越来越小；当R越来越小时，I越来越大。 （3）变量I是R的函数。 由IR＝220得I＝.当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数。 舞台灯光为什么在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼的？请学生互相交流后回答。答案为：根据I＝,当R变大时，I变小，灯光较暗；当R变小时,I变大，灯光较亮。所以通过改变电阻R的大小来控制电流I的变化，就可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼。 问题2：投影片：(§ 5。1 A)京沪高速公路全长约为1262 km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km／h）之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗？为什么？ 经过刚才的例题讲解,学生可以独立完成此题.如有困难再进行交流. 答案：由路程等于速度乘以时间可知1262＝vt,则有t＝。当给定一个v的值时，相应地就确定了一个t值，根据函数的定义可知t是v的函数. 从上面的两个例题得出关系式 I=和t=。它们是函数吗?它们是正比例函数吗?是一次函数吗？能否根据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢？ 一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝ (k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.从y＝中可知x作为分母,所以x不能为零。活动效果及注意事项 在教学中，引导学生体会，定义中非零常数K及变量x,y已经不在局限于只取正值而允许取任意非零数值。这里不宜使用“定义域”和“值域”等名词。 3。做一做活动目的 前两个问题旨在强化函数和反比例函数的实际意义,在此基础上,第三个问题进一步明确：确定一个反比例函数关系的关键是求得K的值.活动内容 投影片（§ 5。1 B)1。一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗?为什么？2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷／人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗？为什么？3. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：（1)写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表。 活动效果及注意事项 学生加强了对概念的理解，并初步体会函数表达式与函数表格的相互转化。第三环节：课堂练习活动目的 巩固反比例函数概念的理解活动过程 学生自主完成练习1第四环节：课时小结活动目的 培养学生总结归纳的能力活动内容 本节课我们学习了反比例函数的定义,并归纳总结出反比例函数的表达式为y＝ (k为常数。k≠0)，自变量x不能为零.还能根据定义和表达式判断某两个变最之间的关系是否是函数，是什么函数。活动效果及注意事项 在获得反比例函数概念之后，经验背景将成为概念的某种直观解释或实际意义，通过举例,说理，讨论等活动，使学生体验如何用数学眼光来审视某些实际问题第五环节:课后作业习题5。1四、教学反思在教学反比例的定义时，我首先通过复习，巩固学生对正比例函数的理解。然后安排从中发现不成正比例,从而引入学习内容和学习目标.这通过复习、比较，不成正比例，那么它成不成比例呢？又会成什么比例？通过设疑不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了条件并激发了积极的情感态度。在教学时，我以学生学习的正比例的意义为基础，在学生之间创设了一种自主探究、相互交流、相互合作的关系，让学生主动、自觉地去观察、分析、概括、发现规律，培养了学生的自主探究的能力.第五章　反比例函数２．反比例函数的图象与性质(一）一、学生知识状况分析针对九年级学生的心理特点和年龄特征及现有的知识水平,本节课准备采用激发诱导,探索交流,讲练结合三位一体的教学方式，充分体现老师的主导作用和学生的主体地位。通过"设疑-—讨论，探索——解惑"的过程，再加上多媒体手段的应用，最大限度的调动学生的积极性和主动性。根据学生的认知规律,在学法上，通过学生动手,动口，动脑，采用自主,合作,探究的学习方法，提高学生解决问题的能力。二、教学任务分析教学目标(一)教学知识点1。进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.2。体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。3.培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函数的性质.（二）能力训练要求通过学生自己动手列表，描点，连线,提高学生的作图能力;通过观察图象,概括反比例函数图象的有关性质,，训练学生的概括总结能力.(三）情感与价值观要求让学生积极参与到数学学习活动中去，增强他们对数学学习的好奇心和求知欲.教学重点:画反比例函数图象并认识图象的特点。教学难点：画反比例函数图象。三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾交流,问题牵引；第二环节：合作交流；第三环节：探求新知;第四环节:归纳与概括：第五环节：随堂练习; 第六环节 布置作业第一环节 回顾交流，问题牵引活动目的 复习上节主要内容活动过程 回顾：1。什么叫做反比例函数；2．反比例函数的定义中需要注意什么？第二环节 合作交流活动目的 运用类比研究一次函数性质的方法,来研究反比例函数的性质活动过程问题1：对于一次函数 y = kx + b （ k 0 )的性质，我们是如何研究的？问题2：对于反比例函数 y=k/x （ k是常数,k 0 ），我们能否象一次函数那样进行研究呢？第三环节 探求新知活动目的 引导学生正确画出反比例函数图象,并能归纳反比例函数图象的有关性质.活动过程 学生思考、交流、回答.提问：你能画出的图象吗?学生动手画图，相互观摩。议一议 （1）你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴进行交流.（2）如果在列表时所选取的数值不同，那么图象的形状是否相同？（3)连接时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？（4）曲线的发展趋势如何?学生先分四人小组进行讨论，而后小组汇报做一做作反比例函数的图象。学生动手画图,相互观摩。想一想观察和的图象，它们有什么相同点和不同点？学生小组讨论,弄清上述两个图象的异同点活动效果及注意事项 学生初次作非线性函数的图象，在作图过程中应给学生留有思考和交流的时间；连线必须是“光滑的曲线”第四环节 归纳与概括活动目的 培养学生归纳，语言表达能力活动过程 反比例函数 y = 有下列性质：反比例函数的图象y = 是由两支曲线组成的。(1)　当 k〉0 时，两支曲线分别位于第___、___象限，(2)　当 k<0 时，两支曲线分别位于第___、___象限.第五环节 随堂练习活动目的 巩固反比例函数图象性质活动内容xyoxyo第六环节 布置作业 活动目的 巩固作反比例函数图象的步骤活动内容 习题5.2 1四、教学反思本节课通过学生自主探索，合作交流，以认知规律为主线,以发展能力为目标，以从直观感受到分析归纳为手段，培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成。在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学，既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量。生动形象的动画演示，动感强，直观性好,既加深了学生的理解，又培养了学生的抽象思维能力，同时也向学生渗透了归纳类比，数形结合的数学思想方法。第五章　反比例函数２．反比例函数的图象与性质（二）一、学生知识状况分析1.对反比例函数图象的初步认识.2.一定的识图能力。二、教学任务分析教学目标 (一）教学知识点1。进一步巩固作反比例函数的图象.2。逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。(二）能力训练要求1。通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力2。通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.3。通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力。(三)情感与价值观要求让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲。经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心。由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动,不仅能使学生学到知识,还能使他们互相增进友谊.教学重点通过观察图象，归纳概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质。教学难点从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节:第一环节：创设问题情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：探求新知；第四环节：归纳与概括：第五环节：随堂练习; 第六环节: 布置作业。第一环节 创设问题情境,引入新课活动目的 复习上节内容，，并引导学生类比一次函数图象性质引出反比例函数图象其他性质活动过程上节课我们学习了画反比例函数的图象,并通过图象总结出当k＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内。这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的性质.在学习正比例函数和一次函数图象时,还研究了当k＞0时，y的值随x的增大而增大,当k＜0时，y的值随x值的增大而减小,即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x轴，y轴的交点坐标。本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质。第二环节 新课讲解活动目的 通过观察三个具体的反比例函数图象,归纳概括K〉0时反比例函数图象的共同特征,探索反比例函数的主要性质活动过程1.做—做要求学生观察反比例函数y=，y=，y=的图象它们有什么共同点？ 总结它们的共同特征。（1)函数图象分别位于哪几个象限？(2）在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗?（3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？请大家先独立思考，再互相交流得出结论.对于问题 （3），可能会有学生认为图象在逐渐接近x轴，y轴，所以当自变量取很小或很大的数时,图象能与x轴y轴相交。可以从函数式的定义域、函数与方程等角度进行解释.总结：当k〉0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内,y随x的增大而减小.2.议一议用类推的方法来研究y＝—，y＝-，y=-的图象有哪些共同特征? 通过讨论，可以得出如下结论：反比例函数y＝的图象，当k〉0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.活动效果及注意事项 鼓励学生用自己的语言进行表述与交流，在交流中发展从图象中获取信息的能力。第三环节 探求新知活动目的 让学生进一步深入了解其他性质，体会代数推理的意义.活动过程3。想一想（1)在一个反比例函数图象任取两点P、Q,过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系?为什么?(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后。能与原来的图象重合吗？活动效果及注意事项 通过具体操作,使学生认识到反比例函数的图象是一个以原点为中心的中心对称图形第四环节 归纳与概括活动过程本节课学习了如下内容。1。反比例函数y＝的图象,当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内,y的值随，值的增大而减小;当k0时,两支曲线分别在 ,在每一象限内，y的值随x的增大而 。当k<0时，两支曲线分别在 ，在每一象限内，y的值随x的增大而 .第二环节 情境导入活动目的: 多媒体给出情境材料，引起学生的兴趣，体现数学的现实性。活动过程：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务的情境。你能解释他们这样做的道理吗？（见书P143） (1）用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？(2）当木板面积为0.2 时，压强是多少(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大(4）在直角坐标系中，作出相应的函数图象。(5）请利用图象对(2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流。活动效果及注意事项：在（4)中，要启发学生思考：为什么只需在第一象限作函数图象？此外,还要注意单位长度所表示的数值。在（5）中,要留有充分时间让学生交流，领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一。第三环节 应用与拓展活动目的：让学生利用图形上所提供的信息，正确写出反比例函数解析式；并通过综合运用表格,图象及关系式，形成对反比例函数较完整的认识活动过程：做一做1。蓄电池的电压为定值,使用此电源时，电流I（A）与电阻R()之间 的函数关系如图所示。(书上P144)(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗?（2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?2．如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(，2)。(1)分别写出这两个函数的表达式:(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的？与同伴进行交流.活动效果及注意事项：在这个活动中,逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用。第四环节 随堂练习活动目的:用函数观点来处理实际问题的应用,加深对函数的认识。 活动过程：练习1.某蓄水池的排水管每时排水8m3 ,6h可将满池水全部排空.（1）蓄水池的容积是多少？(2）如果增加排水管，使每时的排水量达到Q()，那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？(3)写出t与Q之间的关系；(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？(5)已知排水管的最大排水量为每时12,那么最少多长时间可将满池水全部排空？第五环节 知识小结活动目的:通过老师小结，带领学生回顾反思本节课对知识的研究探索过程，提炼数学思想,掌握数学知识。　　活动过程：今天这节课学习了什么？你掌握了什么？生：这节课我们学习了反比例函数的应用。具体步骤是:认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题今天学习了反比例函数的应用，讲了四个类型:1.压力与压强、受力面积的关系2.电压、电流与电阻的关系3.已知点的坐标求相关的函数表达式第六环节 作业布置 课本146页习题5.4 1,2四、教学反思本节课采用引导、启发及问题讨论相结合的教学方式，引导学生从已有的知识和生活经验出发，师生共同探究解决新问题的途径和方法。这一过程中，充分发挥教师的主导作用,学生的主体作用，教材的主源作用，旧知识的迁移作用,学生之间的相互作用，从而师生得到共同发展。第六章　频率与概率6。1，频率与概率本章总体设计介绍义务教育阶段学生可以掌握的概率模型大致分为三类:第一类问题没有理论概率只能借助试验模拟获得其估计值,一般而言,它是一个纯粹的现实问题;第二类问题虽然存在理论概率,但其理论计算已经超出了义务教育阶段学生的认知水平,学生只能借助试验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型,理论上容易求出其概率。对于第三类问题，其繁简程度又有所不同，如①随意掷一枚均匀的骰子,朝上点数为6的概率；②掷一枚均匀的骰子，点数为奇数的概率；③连续掷两次均匀的骰子,两次骰子的点的和为6的概率，等等.通过以前的学习，学生已经掌握了类似于①②的问题的解决方法；而对问题③,学生尚未接触，本章将介绍计算其概率的两种方法-—树状图和列表法。本章同时还将研究上述第一、二两类问题，用试验的方法估计随机事件发生的概率.为此,本章以两步试验的事件发生的概率问题为切入点,一方面加强前后知识的联系，另一方面通过试验!动探索试验结果与理论概率之间的辩证关系,进一步加深学生对概率的理解,并借此引导学生用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。 本章的教学重点难点是:试验频率稳定于理论概率.本章共分为四节.第1节通过一个课堂试验活动,让学生逐步计算一个随机事件发生的试验频率,观察其中的规律性，并利用类比的方法归纳出试验频率趋近于理论概率这一规律性，然后介绍两种计算理论概率的方法一一树状图和列表法；在此基础上；第2,3节利用试验频率来估计一些复杂事件发生的概率；第4节利用试验频率与理论概率之间关系的分析，揭示统计推断的一些理论依据，力图加强概率与统计的联系.在概率模型的选择上，教科书注意了模型的递进性、现实性和趣味性,以激发学生的学习兴趣.例如,对于试验估算概率的有关问题,力图联系学生的生活实际,同时又注意了问题的趣味性和可操作性，为此选择了一个历史上著名的投针试验和一个密切联系学生生活的生日问题。本章教学建议1。 .注重引导学生积极参与试验活动,在试验中体会频率的稳定性，形成对概率的全面理解,发展学生初步的辩证思维能力。让学生经历试验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力. 　2。通过试验等活动，理解事件发生的频率与概率之间的关系,加深学生对概率的理解，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。3。能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率，能用试验或模拟试验的方法估计一些较为复杂的随机事件发生的概率.4.结合具体情境,初步感受统计推断的合理性,进一步体会概率与统计之间的关系。１．频率与概率（一）河南省第二实验中学　胡亚丽一、学生知识状况分析学生在七、八年级已经认识了许多随机事件,对必然事件、不可能事件、不确定事件有了一些了解，研究了一些简单的随机事件发生的概率，如抛掷一枚骰子，点数为6的概率；抛掷一枚骰子，点数为奇数的概率；已会对一些现象作出解释，对一些简单的游戏公平性作出判断.学生切实感受到了概率的作用。二、教学任务分析学生对随机事件及其发生的概率的认识是一较长的认知过程，对概率的理解也有必要随着其数学活动经验的不断加深而逐步得到发展。本节课通过一个两步试验的事件的概率问题,通过试验活动, 体会频率的稳定性, 并形成对概率的全面理解。感悟并非任何随机事件的发生的概率都可以理论地计算,利用类比的方法归纳出试验次数很大时，试验频率稳定于理论概率这一规律, 并据此估计某一事件发生的概率.发展学生初步的辩证思维能力．教学重点: 理解试验次数很大时，试验频率稳定于理论概率这一规律。能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。。教学难点: 理解试验次数很大时，试验频率稳定于理论概率这一规律。 教学目标：1．知识与技能目标；①理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率，并可据此估计某一事件发生的概率；②会用试验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.2．方法与过程目标:①结合具体情境，初步感受统计推断的合理性，进一步体会概率与统计之间的关系。②经历试验、统计等活动过程，在活动中在活动中促进他们对知识的学习,进一步发展学生合作交流的意识和能力.3．情感态度价值观①培养学生实事求是的科学态度，提高自身的数学交流水平,增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，发展辩证思维能力。②积极参与数学活动，通过实验提高学习数学的兴趣.发展学生初步的辩证思维能力．三、教学过程分析本节设计六个教学环节第一环节.创设问题情境，引入新课；第二环节.活动探究； 第三环节。类比归纳结论；第四环节。课堂练习；第五环节。课堂小结； 第六环节。布置作业。第一环节：创设问题情境，引入新课活动内容:课堂提问和练习。活动目的：引起认知冲突,. 激发学生的求知欲..同时对前面学习相关内容回忆梳理.活动过程:回顾七年级时一些基本概念和曾经学习过的两个问题：1．用掷硬币的方法决定小明和小丽谁去看周末的电影:任意掷一枚均匀的硬币。如果正面朝上,小丽去;如果反面朝上,小明去．这样决定对双方公平吗? 2．任意掷一枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1,2，3，4，5，6)．“6”朝上的概率是多少？提出两个新问题：1．如果是连续掷两次均匀的硬币。会出现几种等可能的结果?出现“一正一反"的概率为多少呢?( 给学生思考时间，之后学生很可能猜测结论，让学生畅说欲言).2．如果将上面均匀的小立方体也连续掷两次，会出现几种等可能的结果，两次总数都是偶数的概率为多少呢? （学生面对这个问题与上个问题的反应相同.)提问：请大家分析这两个问题与前面两个问题有什么不同?学生经过思考后可能会得出： 上面两个游戏是一枚硬币掷一次、 一个正方体掷一次;后面两个问题是连续掷两次. 从而，教师引出本课的主题: 前面的两个问题涉及的都是一步实验．而后两个问题都是两步试验。从这一节开始我们将进一步学习概率的有关知识．我们用实验的方法估计出了任意掷一枚硬币“正面朝上”和“反面朝上”的概率．同样的我们也可以通过试验．估计较复杂事件的概率．活动效果及注意事项:注意及时揭示掷一枚硬币游戏与掷两枚硬币游戏问题的同与不同之处.第二环节:活动探究,猜想结论活动内容1:摸牌活动. 用课前准备的扑克牌：每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2．从每组牌中各摸出一张,称为一次试验． （1）估计一次试验中。两张牌的牌面数字和可能有哪些值?（2）以同桌为单位，每人做30次实验，根据实验结果填写下面的表格：（3)根据上表，制作相应的频数分布直方图． (4）根据频数分布直方图．估计哪种情况的频率最大? (5)计算两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少？ (6）四个同学组成一组,分别汇总其中两人、三人、四人、五人、六人的试验数据，相应得到试验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌面数字之和等于3的频率，填写下表．并绘制相应的折线统计图．教具准备:每组准备两张牌,牌面数字分别是1和2；②多媒体演示;活动方式:分组实验，全班合作交活动目的：经历试验、统计等活动过程,通过摸牌活动,体会试验次数很大时，试验的频率渐趋稳定．在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力活动效果及注意事项：学生参与意识都很强，一般都能按活动设计完成任务，但学生不注意活动目的是什么。教师注意引导学生通过试验发现总结规律。注意在具体试验活动的展开过程中,要力图体现各个步骤的渐次递进:(1）在一次实验中，两张牌的牌面数字和可能为2，3，4；（2）学生根据自己的试验结果如实填写试验数据；(3）制作相应的频数分布直方图,一方面为了复习巩固八年级下册有关频数、频率的知识，同时也便于学生更为直观地获得(4)的结论;（4)一般而言，学生通过试验以及上面(2） （3）的图表容易猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大．理论上．两张牌的牌面数字和为2，3,4的概率依次为,应该说,经过30次实验，学生基本能够猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大．这里一定要保证试验的次数,如果试验次数太少，结论可能会有较大出入;(5）有了（4）中的结沦．自然过渡到研究其频率的大小．当然，两张牌的牌面数字和等于3的频率因各组试验结果而异．正是有了学生结论的差异性，才顺理成章地展开问题（6)，汇总组内每人的实验数据;目的在于通过逐步汇总学生的试验数据，得到试验60次、90次、120次、150次、180次时的频率．并绘制相应的折线统计图,从而动态地研究频率随着试验次数的变化而变化的情况)。(6）提醒学生注意摸牌过程中要保证每种结果出现的等可能性.活动内容2:探究频率与概率之间的关系。活动目的:使学生感悟经过大量试验后,其频率稳定于其理论概率附近。活动过程：首先，引导各小组观察自己的实验数据,观察频率和实验次数的关系；接着让各小组之间进行交流，观察其他小组的频率和实验次数之间是否存在着刚才发现的关系，最后让各小组交流数据,并将全部数据汇总,再次引导学生观察频率和实验次数的关系。从而让学生感受到“大量试验后,频率稳定于某一值”的结论。 在统计和汇总各个小组数据时，可以使用Excel统计结果并绘制频数分布直方图.活动效果及注意事项:让学生汇总小组的试验结果,再汇总各组的学生试验结果,规律清楚反映出来,使学生由感性认识到理性认识，就能主动地接受多次试验的频率逐渐稳定于其理论概率，但试验频率仍然是理论概率的一个近似值，很有可能在做多少次试验后，频率与理论概率之间存在误差.第三环节：类比归纳结论面对具体问题，总结上一环节：当试验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率也应稳定在相应的概率附近.因此，我们可由两张牌的牌面数字和等于3的频率约为．估算两张牌的牌面数字和等于3的概率约为.从而得出一般性结论：可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 当实验次数很大时，频率比较稳定,稳定在相应的概率附近。第四环节：课堂练习 请选择：下列说法正确的是……………( ) A. 某事件发生的概率为,这就是说：在两次重复实验中，必有一次发生 B．一个袋子里有100个球，小明摸了8次，每次都只摸到黑球,没摸到白球，结论：袋子里只有黑色的球 C．两枚一元的硬币同时抛下，可能出现的情形有：①两枚均为正；②两枚均为反；③一正一反，所以出现一正一反的概率是 D．全年级有400名同学，一定会有2人同一天过生日 分析：“当试验次数很大时，试验频率稳定于理论概率”并不意味着,试验次数越大，就越为靠近，应该说，作为一个整体趋势，上述结论是正确的，而不是某某事件的概率为，在两次重复试验中．就一定有一次发生、因此A不正确，B也不正确而对于C，两枚硬币同时抛下，这种情况等同于刚才的抽牌试验，因此出现一正一反的概率为即，对于D,根据抽屉原理可知是正确的，应选D．第五环节：课堂小结能说说通过本节课的学习,你有哪些收获吗？谈谈频率与概率之间既有联系和区别。第六环节：布置作业① P159习题6.1 1。 ② 小组撰写一份试验报告反映对概率的理解。四、教学反思本节课只有让学生经历试验，才能感悟频率稳定概率这一规律。频率稳定概率这一规律是解决本节概率的基础,所以本节课一定要学生亲身参与试验全过程,不可为了赶进度而忽略试验，有条件的话，可在多媒体教室让学生上机操作统计,保证操作次数足够大.在教学内容上，可根据学生实际，选择其他概率试验，如掷骰子等。第六章　频率与概率１．频率与概率(二）一、学生知识状况分析七年级时学生已会求涉及一步试验的随机事件的概率；在频率与概率的第一课时里，学生通过试验、统计等活动，已经对“当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在相应概率的附近"有了体验，对试验频率稳定于理论概率这一重要的概率思想有所了解。二、教学任务分析本课时介绍两种计算概率的方法———树状图和列表法； 要求会借助树状图和列表法计算简单的事件发生概率．为此建立教学目标如下：1．知识与技能目标：①进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率。②会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．2．方法与过程目标：合作探究，培养合作交流的意识和良好思维习惯。3。情感态度价值观积极参与数学活动， 提高自身的数学交流水平，经历成功与失败，获得成功感，提高学习数学的兴趣.发展学生初步的辩证思维能力．教学重点:借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．教学难点：理解两步试验中“两步”之间的相互独立性，进而认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性.正确应用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．三、教学过程分析本节设计五个教学环节第一环节：承上启下，提出问题；第二环节：合作学习，解决问题第三环节:练习提高第四环节：知识盘点； 第五环节：布置作业．第一环节：承上启下，提出问题 复习提问：某个事件发生的概率是,这意味着在两次重复试验中，该事件必有一次发生吗？目的：使学生再次体会,某个事件发生的概率是，是指当实验次数很大时，这个事件的实验频率稳定于它的理率概率，但我们在前面做过的大量实验中还发现,实验频率并不一定等于理论概率，虽然多次实验的频率逐渐稳定于其理论概率，但也可能无论做多少次实验，实验频率仍是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率，两者存在着一定的偏差，应该说，偏差的存在是正常的，经常的.第二环节：合作学习，解决问题活动内容:两张牌的牌面数字分别是1和2．从每组牌中各摸出一张，计算两张牌的牌面数字和为3的概率 .活动目的：探究用树状图或表格,求某些事件发生的概率. 活动过程：提出要求：通过同位合作,来解决以下问题：能用我们学过的知识计算出两张牌的牌面数字和为3的概率吗？.学生分组活动后，可能会用如下几种计算方法提出：方法一:一次实验中．两张牌的牌面数字的和等可能的情况有: 1+1＝2;1+2＝3；2+1＝3；2+2＝4．共有四种情况．而和为3的情况有2种，因此，P（两张牌的牌面数字和等于3）= ＝. 两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况，而两张牌的牌面数字和为3的情况有2次,因此．两张牌的牌面数字的和为3的概率为＝．方法二:两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况，也可以用树状图来表示而两张牌的牌面数字和为3的情况有2次，因此．两张牌的牌面数字的和为3的概率为＝． 方法三：通过列表的方式如果学生没想到这些方法，教师可以以呈现表格、或者提问的方式等引出这些不同的求法，从而引出列表法。用树状图或表格,知道利用这些方法，可以方便地求出某些事件发生的概率.在借助于树状图或表格求某些事件发生的概率时，必须保证各种情况出现的可能性是相同的．活动效果及注意事项:学生一般都会用树状图或表格求出某些事件发生的概率,也能体会到这种方法的简便性,但是容易忽略各种情况出现的可能性是相同的这个条件．教师注意提醒,在借助于树状图或表格求某些事件发生的概率时,必须保证各种情况出现的可能性是相同的．第三环节：练习提高活动内容：处理练习题活动目的:检测学习效果.及时反馈，查却补漏.活动过程:练习：抛掷两枚均匀的硬币，至少有一次正面向上的概率是多少？ 请同桌用不同的方法来完成这个习题.第四环节：知识盘点活动内容:师生共同盘点知识。活动目的：通过对本节课的小结，加深对本节知识的理解，理解掌握树状图和列表法求理论概率的方法，并熟练应用。活动效果及注意事项:注意及时发现学生练习中出现的错误，进行讲评,使学生能当堂掌握用树状图和列表法求理论概率。 第五环节:布置作业163页 习题6.2 1。请同学们课后完成下面练习：练习题1．一个密码保险柜的密码由6个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，王叔叔忘记了其中最后面的两个数字，那么他一次就能打开保险柜的概率是 .答案: 2。一枚硬币和一枚骰子一起掷，求： （1）“硬币出现正面，且骰子出现6点”的概率； (2)“硬币出现正面,或骰子出现6点"的概率．答案：由于硬币出现正面、反面的可能性相同，骰子出现1，2,3,4,5，6点的可能性也相同，一枚硬币与一颗骰子同时掷出现的所有等可能的情况用树状图表示如下： （1）硬币出现正面且骰子出现6点的情况有(正，6）,因此,“硬币出现正面且骰子出现6点”的概率为；(2)硬币出现正面或骰子出现6点的情况有(正，1），(正，2)，(正，3)，(正，4),（正，5)，（正,6)．(反，6），因此,“硬币山现正面或骰子出现6点”的概率为。用列表法，可得共有12种等可能情况．（1）“硬币出现正面，且骰子出现6点”的概率为；(2)“硬币出现正面或骰子出现6点"的概率为.四、教学反思注意：在教学时要反复强调：在借助于树状图或表格求事件发生的概率时，应注意到各种情况出现的等可能性．以免学生忽略这个条件错误使用树状图或表格求事件发生的概率。第六章　频率与概率１．频率与概率（三）一、学生知识状况分析七年级时学生已会求涉及一步试验的随机事件的概率;频率与概率的第一课时学生通过试验、统计等活动，已经对“当试验次数很大时,事件发生的频率稳定在相应概率的附近”有了体验,对试验频率稳定于理论概率这一重要的概率思想有所了解。并能借助于树状图、列表法计算两步随机实验的概率.二、教学任务分析进一步经历用树状图、列表法计算两步随机实验的概率．教学目标1．知识与技能目标：经历计算理论概率的过程，在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯．2．方法与过程目标：鼓励学生思维的多样性，发展学生的创新意识．进一步提高学习数学的信心．教学重点： 借助于树状图、列表法计算随机事件的概率。教学难点：正确利用树状图、列表法计算随机事件的概率。三、教学过程分析本节设计六个教学环节第一环节：合作学习，解决问题第二环节:练习提高第三环节：知识盘点第四环节:布置作业 ．利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果；较方便地求出某些事件发生的概率。 用树状图和列表的方法求概率时，应注意各种结果出现能性务必相同。第一环节：合作学习,解决问题活动内容：“配紫色"游戏。活动目的:以“配紫色”游戏为主要情境，让学生再次经历利用树状图或列表的方法求出概率并解决问题的过程，通过应用所学知识解决问题的能力。 活动过程： 游戏1：小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色"游戏：下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇形。游戏规则是:游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色。(1）利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果。（2)游戏者获胜的概率是多少？解法一：借助树状图（1）开开、始会寺、开始始红蓝红蓝红蓝(红,红)(红,蓝)(蓝,红)(蓝,蓝)（2）游戏者获胜的概率是1/2.解法二： 借助表格（1)游戏者获胜的概率是1/2.游戏2 “配紫色2"用图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 小颖制作了下面的树状图, 并据此求出游戏者获胜的概率是1/2。开开、始会寺、开始始红蓝红蓝红蓝(红,红)(红,蓝)(蓝,红)(蓝,蓝)小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2"，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是．你认为谁做得对？说说你的理由．活动效果：有了上节课对利用树状图或列表的方法求出概率的体验，这节课学生基本能顺利完成本节教学内容.本节以学生练习为主.对于游戏2,学生能指出“小颖的做法不正确，小亮的做法正确．因为左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不同，因而指针落在两个区域的可能性不同．而用列表法求随机事件发生的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同．而小亮的做法把左边转盘中的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，保证了左边转盘中指针落在“蓝色区域”“红色1”“红色2”三个区域的等可能性，因此是正确的”。第二环节：练习提高 活动内容:课堂练习1．袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏：游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并且自由转动图中的转盘(转盘被分成三个扇形)游戏规则是：如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率。2．如图，小明和小红正在玩一个游戏:每人先抛掷骰子，骰子朝上的数字是几，就将棋子前进几格，并获得格子中 的相应物品.现在轮到小明掷，棋子在标有数字“1”的那一格,小明能一次就获得“汽车”吗?小红下一次抛掷可能得到"汽车”吗?她下一次得到”汽车"的概率是多少?活动目的：检测学生利用树状图或列表的方法求出概率并解决问题的掌握情况.注意事项:要不断提醒学生注意:在用树状图或列表法计算概率时，务必保证每种情况出现的可能性相同。否则是错误的。第三环节：知识盘点 今天我们学习了“配紫色”游戏，谈谈收获吧。进一步指出：使用树状图和列表的方法求概率时，应注意各种结果出现可能性务必相同。第四环节:布置作业1.P167 习题6.3 1、2。题。2.课后思考题：设计两个转盘做“配紫色”游戏,使游戏者获胜的概率为1/3.四、教学反思教学过程中要不断强调,用树状图和列表的方法求概率时，应注意各种结果出现可能性务必相同.教学时教师可根据具体情况选择更为适合学生的素材进行教学。第六章　频率与概率２．投针试验一、学生知识状况分析 通过第6。1节的学习,学生已认识到当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率，已会用树状图或列表计算两步试验的事件的概率. 本节课讨论的问题， 虽然存在理论概率,但其理论计算已经超出了义务教育阶段学生的认知水平，学生将借助试验模拟获得其估计值。二、教学任务分析本节选取了一个历史上较为著名的投针试验为题材．力图让学生通过亲身的试验、统计过程获得用试验的方法估计复杂事件发生的概率的体验．教学目标 1。 知识与技能目标借助大量重复试验去感悟试验频率稳定于理论概率．能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率；2。方法与过程目标①结合具体情境，初步感受统计推断的合理性，进一步体会概率与统计之间的关系。②经历试验、统计等活动过程,在活动中在活动中促进他们对知识的学习，进一步发展学生合作交流的意识和能力.3．情感态度价值观培养学生实事求是的科学态度，提高自身的数学交流水平,增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。发展辩证思维能力.教学重点：能用试验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。教学难点:借助大量的重复试验去感悟试验频率稳定于理论概率.三、教学过程分析本节设计五个教学环节第一环节创设问题情境，引入新课；第二环节小组活动探究; 第三环节阅读拓展第四环节课堂小结；第五环节布置作业． 第一环节创设问题情境，引入新课教具准备：大头针,图钉，多媒体演示通过问题串的形式引入新课： 问题：（1）抛图钉时，图钉落地有两种情况，一种是针尖向下（如图一所示）一种是钉帽向下（如图二所示），能借助书状图或列表分别算出它们的概率吗?（2)掷一枚图钉，有几种结果？它们是等可能的吗？（3）怎样求这一事件的概率呢？ 通过问题的形式向学生明晰：（1)用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率．要求试验出现的各种结果是等可能的，并且试验出现的结果必须是有限个． （2）图钉落地有“朝天”和“倾斜”两个可能结果，但这两个可能的结果不是等可能的，也无法知道它们的可能性各是多少.（3）一个试验，虽然结果有有限个，但各个结果出现的可能性不相等，也无法知道它们的可能性各是多少,所以不能用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率．只能用用试验的方法求出其频率估计其概率。． 因为我们知道：当试验次数很大时,试验频率稳定于理论概率,并可据此估计某一事件发生的概率． 第二环节:小组活动探究 活动内容1:从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉帽着地．你估计哪种事件发生的概率大？活动目的：利用“当试验次数较大时,试验频率稳定于理论概率”来估计某一随机事件发生的概率． 活动方式：小组合作交流，全班汇总试验数据,交流研讨． 活动工具：形状、大小完全相同的图钉． 活动步骤：1．分组：每组4人．2．每组每人做20次试验，根据试验结果，填写下表的表格：3．根据上表你认为哪种情况的频率较大? 4．分别汇总本小组其中两人、三人、四人、五人的试验数据，相应得到试验40次、60次、80次、100次时钉帽着地的频率，填写下表，并绘制折线统计图．5．汇总全班各小组其中一个组．两个组、三个组、四个组……的试验数据,相应得到试验100次、200次、300次、400次……时钉帽着地的频率,并绘制折线统计图． 6．由折线统计图,估计钉帽着地的概率． 7.将图钉掷200次，每掷20次,统计一下两个组同学“钉帽着地”这一结果出现的次数，并算出相应的频率，如下表．将统计数据(“钉帽着地"的频率）画成折线统计图,看起来更直观．（用Excel统计并绘制折线统计图)从图中可发现，“顶帽着地”的频率开始“摆动”得很厉害，随着试验次数的增加，这个频率就开始比较稳定了.不同的试验情况（图钉的型号、离地的高度等）可能会影响试验的数据,因此可能在不同的地区、不同的学生,做这个试验会得到不同的“稳定值”。笔者曾在教学活动中完成这个过程,得到频率在56。5％左右摆动． 活动效果及注意事项：1.注意学生的安全.2。①图钉必须从同一个高度自由落下，保证着地时的随机性和试验的可重复操作性；②组内同学合作时要进行适当的分工；③体现学生的自主性,试验活动以及试验数据的汇总等都可以由学生白行组织完成；④教师认真评价学生合作交流的意识和能力，学生的思维水平，学生的动手能力等）第三环节：阅读拓宽活动内容:阅读相关文章，做投针式验。活动目的：1。通过学读使学生感受任何一个发现都凝聚着辛勤的劳动和汗水,培养学生吃苦耐劳精神；给学生一定的拓展空间，让学生体会到有些高深的数学中蕴涵的思想极其朴素,从而激发学生的数学学习兴趣．2。 利用“当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率",并据此估计针与平行线相交的概率．活动方式:小组交流，全班研讨的方法． 活动过程：利用数学史上著名的投针试验引入问题： 平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离为a,向此平面任投一长度为l(lc，a2+b2〈c2．即〉1， 〈1． [结果］其理论概率为.四、教学反思投针试验是一节活动课,因而要注意学生的自主性，试验活动和数据的汇总都可以交给给学生去做,力图让学生通过亲身的试验,统计过程获得用试验的方法估计复杂事件发生的概率的体验.第六章　频率与概率３．生日相同的概率（一)一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在上节《投针试验》的基础上，对通过试验估计随机事件发生的概率有了初步的认识，知道了“当试验次数较大，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”。学生的活动经验基础:上节课学生亲身体验了“投针试验”,经历了试验、统计过程、获得试验方法估计复杂事件发生的概率的体验，并且在以前的数学学习活动中已经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教材基于上节课的基础上,提出了本节课的具体学习任务：能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率；经历试验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。本节课的重点是掌握试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率；难点是试验估计随机事件发生的概率；关键是通过试验、统计活动，体会随机事件的概率，为此，本节课的教学目标是：1、知识与技能经历收集数据、进行试验、统计结果、合作交流的过程,估计一些复杂的随机事件发生的概率。2、过程与方法经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。3、情感、态度、价值观通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的试验、统计，提高学生学习数学的兴趣，且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：一、课前准备;二、情境引入;三、探索新知;四、练习提高；五、课时小结；六、布置作业；七、活动探究。第一环节：课前准备(提前一周布置)内容：以6人合作小组为单位，开展调查活动:每人课外调查10个人的生日、生肖。目的：收集数据，为本节课的学习提供素材，在课堂中运用源于学生实际调查的真实数据展开教学，能极大地激发学生学习数学的兴趣及学习的积极性与主动性。另一方面,也锻炼了学生的社交能力。实际效果与注意事项:学生课外收集数据时有可能来自相同的人，各小组课前准备时老师提醒尽量避免调查相同的人.第二环节：情境引入内容：《红楼梦》第62回中有这样的情节：当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同。……袭人笑道：“这是他来给你拜寿.今儿也是他的生日，你也该给他拜寿."宝玉听了,喜的忙作下揖去，说：原来今儿也是姐姐的芳诞.”平儿还福不迭。……探春忙问:“原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了。”……探春笑道:“倒有些意思，一年十二个月,月月有几人生日.人多了,便这等巧了，也有三个一日，两个一日的。……目的：以小说情节开篇，引人入胜，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣。实际效果：学生置身于情境之中，并陷入思考:为什么“便这等巧？”第三环节:探索新知经历试验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同）的概率。 内容:教师提出问题串（1）400位同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？有什么依据呢?（2)300位同学中,一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？（3）教师提出一个论断：“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”你相信吗？对于问题（1），学生能给予肯定的回答“一定",对于能力比较强的学生可以用“抽屉原理"加以解释.例如，有的学生会给出如下的解释：“一年最多366天，400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当于400个物品放到366个抽屉里,一定至少有2个物品放在同一抽屉里-抽屉原理:把m个物品任意放进几个空抽屉里（m＞n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”。对于问题（2)，学生会给出“不一定”的答案。对于问题（3），学生会表示怀疑，不太相信。于是，在班级课堂里展开现场的调查。得到数据后请学生反思：如果50个同学中有2人生日相同,能否说明50人中有2人生日相同的概率是1？如果50人中没有2人生日相同，就说明50人中2 人生日相同的概率为0？学生能根据以往的知识进行反思，并能举一些类似的问题作为例子。例如：随意抛掷一枚硬币，若国徽面朝上，说它的确概率为1，国徽面朝下的概率为0。显然是错误的，我们知道它们的概率均为0。5.随意抛掷一枚骰子，“6朝上”时我们说“6朝上"的概率为1，6朝下的概率为0,显然也是错误的,我们知道它们的概率为1/6。活动一，每个同学课外调查10人的生日，从全班的调查结果中随机选择50人，看有没有2人生日相同，设计方案估计50人中有2人生日有相同的概率。活动设计目的：通过具体收据数据、实验、统计结果过程，丰富学生的数学活动经验，对本节课有更直观的感知，经历用实验估计理论概率的过程，初步感受到生日相同的概率较大。设计方案：学生自主设计.附学生设计的方案：方案一：将每个同学调查的生日随机排列成一方阵,然后按某一规则从中选取50个数据进行实验（如25×20），从某行某列开始，自左而右，自上而下，,选出50个数）。方案二：把全班每个同学所调查的数据写在纸条上，放在箱子里随机抽取。方案三：从50个同学手里随机抽取一个调查数据，组成50个数据。方案四：全班分成10个小组，把每个小组调查数据放在一起，打乱次序，随机抽取5个，然后10个小组的结果放在一组成50个数据.活动过程指导:（1）节约时间,生日表示方式简化成四位数。如“0217”（2）人人参与,大胆发言、交流、讨论从大量的重复试验活动中感受生日相同的概率较大。 （3)激励学生提出更好的活动方案，如：产生1～365之间某一自然数随机数的方法;分工制作1~365自然数卡片，放入纸箱随机抽取一张,记下号码,放回去，再随机抽取，直至抽出50张，多次重复试验，并估计出50人中有2人生日相同的概率，此为模拟试验。活动评价指导：（1）学生的参与程度，活动过程中的思维方式,与同学合作交流情况。（2）鼓励思维多样性.（3）关注学生能否用实验方法估计一些较复杂随机事件发生的概率.（4）关注学生对概率的理解是否全面。（5）关注实验次数.实际效果:通过以上探索活动，经历了大量重复试验，能估算出50人中有2人生日相同的概率是多少。约0。9704，很大.结果可解释《红楼梦》生日相同“遇的巧”的问题.这个结果出人意料之处就在于其结果违反了人们的直觉：人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情，计算结果却是：如果人数不少于是23人，这种可能性就达50%。看下表是“几个人中至少有2人生日相同”的概率大小表：第四环节：练习提高内容：课本P175随堂练习课外调查的10个人的生肖分别是什么？他们中有2人的生肖相同吗？6个人中呢?利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率.目的：本问题与前面生日问题类似,借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，丰富数学活动经验，直观感受较复杂事件的概率问题.设计方案:模仿生日问题，学生自主设计，以上方案仅供参考.方案一:全班分6人一小组试验（多出人员可一人当2人，3人）,每人随机写下自己调查的一个生肖，小组长汇总收集数据，统计结果,课代表收集全班数据，估算6人中有2人生肖相同的概率。方案二：将全班调查好所有结果写在纸条上,放进箱子里随机抽取6张.方案三:生肖结果用数字代替排成方阵。活动过程指导：(1）简化过程,把生肖按顺序用1-12个数据代替.（2）鼓励学生积极大胆发表自己的见解。(3)在讨论、交流过程中使学生进一步感受大量重复试验中频率稳定于概率的意义.（4）激励学生探索该问题的模拟试验。活动评价指导：(1）主要是积极评价，鼓励学生思维的多样性。（2）看学生能否用试验的方法估计一些复杂随机事件的概率。（3）关注学生对概率意义的理解是否全面.（4）此问题的理论概率约0.78，在此不要求学生把结果精确到那一位。第五环节：课时小结内容：师生共同总结本节内容目的：回顾本节教学目标学生先自我总结，然后师生共析：本节课经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、统计结果，合作交流的过程，知道了用大量的实验频率来估计，一些复杂的随机事件的概率，当试验次数赵多时,实验频率稳定于理论概率，还知道了“直觉并不可靠”，本节“生日相同的概率"50人中有2人生日相同的概率竟高达0。97,这有违我们的“常识”.实际上,生活中有很多类似巧合，实则平凡且极为平凡的现象，如果我们从科学的角度通过实验估计随机事件发生的概率,用知识来武装我们的头脑,我们就会“透过现象看本质”，也不会受别有用心的人的欺骗，从而破除迷信，树立正确的唯物主义世界观.第六环节：布置作业1、课本P175习题6。52、收集有关概率的文章第七环节：活动探究 本环节对学生的思维要求较高，仅供给部分学有余力的学生阅读和提高，并非对全体同学的要求。 内容： 1、用“树状图”原理,求班上60名同学中至少有2人生日相同的概率先求出“60人中没有两人生日相同的概率” 365×364×363×…×306P（A）= —————--—-———-— =0.0059 365×365×365×…×365则60人中有2人生日相同的概率为：P=1—P（A）=1—0.0059=0。9941即“60人中有2人生日相同的概率”为0.9941如果班人有45人或55人等，可类似地进行计算2、用“树状图”原理,求6人中至少有2人生肖相同的概率先求出“6人中没有2人生日相同的概率”: 12×11×10×9×8×7 P(A)= ——-——-——-—— =0。22 12×12×12×12×12×12 则“6人中有2人生肖相同的概率”为:P=1-P（A)=1—0。22=0.78目的：巩固并拓展学生学习应用知识的能力。四、教学反思1、教材是教与学的素材，可以充分利用、拓展、丰富、创新。本节课教材提出的生日相同的问题，教师可充分发挥学生的想象能力,发散思维，设计多种多样的活动方案，完成本节教学任务，更重要的是发展学生的学习能力,合作与交流的能力.2、学生是学习的主体,课堂也就应以学生为主体，教师起主导作用，多用积极的评价、恰当的引导，激发学生的学习兴趣,提高学习数学的积极性、主动性,让学生成为课堂学习的主人。3、应注意的问题：①由于设计活动方案各异，可能时间上会紧张,需要在活动过程中老师加以引导,以便节省时间，按计划完成本节课教学任务.②对学困生在小组里的表现应予以更多关注，多鼓励其参与，并给予指导,使其完成一些力所能及的任务，产生成就感。第六章　频率与概率３．生日相同的概率（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在上节课的基础上,掌握了用多次重复实验来估算复杂随机事件的概率的方法，并会设计方案进行试验，对“当试验次数较大时,实验频率稳定于理论概率"有了一定的认识.学生的活动经验基础：上节“生日相同的概率”与“生肖相同的概率”问题的活动，学生已经历了调查数据、收集数据、整理数据、统计结果、估算等数学活动过程，具有了合作、交流的经验和能力。二、教学任务分析教科书承第1课时生肖问题,提出了本课时的学习任务：不借助大量调查估算其概率，从而引入模拟试验代替实际调查，用模拟试验估计一些复杂的随机事件发生的概率，重点是掌握计算器进行模拟试验的方法；难点是理解对某一事件发生的概率;关键是理解概率的试验估算，理论计算及频率与概率的偏差.因此,本课时的教学目标是：1、知识与技能:能利用计算器或计算机等模拟试验，估计一些复杂的随机事件发生的概率.2、过程与方法:①经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。②鼓励学生的思维多样化.3、情感态度价值观：①鼓励学生参与数学活动，培养学生学习的兴趣；②形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯；③在数学活动中获得成就感，锻炼克服困难的意志,树立自信心。三、教学过程分析本节课共设计了七个教学环节：一、课前准备；二、情境引入；三、合作交流；四、练习提高；五、课时小结；六、布置作业；七、活动探究。第一环节：课前准备内容：1、以6人小组为单位准备12个大小相同、原材料相同编上1-12号码的小球,布口袋。2、每人一台计算器目的：为本节课活动的开展做好准备。第二环节：情境引入内容：上节课利用全班的调查数据设计了不同的方案来估计6人中2人生肖相同的概率，要想使这种估计尽可能精确，就要尽可能多地增加调查对象，而这样做既费人力又费物力，能否不用调查即可估计出这一概率呢？请同学们以小组为单位讨论,思考具体方案。目的：由上节课的调查内容引入本节课内容，承上启下，引起学生的学习兴趣.第三环节：合作交流内容：分小组讨论、思考，老师可启发学生以下参考方案：参考方案：1、设计一个自由转动的转盘,并将其等分成面积相等的12个扇形，分别在每个扇形区域标出相应的生肖，自由转动转盘6次,记下每次转出的生肖，作为一次试验，重复多次，即可估计出6人中2人生肖相同的概率.2、用12枚1元硬币，上面贴上1—12号，每个生肖对应着一枚硬币，放入口袋中，从中摸出1个,记下号码,再放回去，……直至摸出第6个球，记下号码，为一次试验，多次重复，即可估计出6个人中有2人生肖相同的概率.3、用扑克牌，从扑克牌中选出红心12张，分别为1—10,J（11），Q（12),每个生肖对应着一张扑克牌,同2方法。4、用12个编号号码，大小、材料一样的球代替12种不同的生肖,这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同，在口袋中放入12个这样的球，从中摸出1个，记下号码，再放回去…，直至摸出第6个球，记下号码，为一次试验，多次重复，即可估计6个人中有2人生肖相同的概率.教师可以针对学生提出的不同方案进行评价,如针对方面的方案4,可以提问“为什么每次摸出的球都要放回去呢？”在评价和学生讨论的过程中，帮助学生关注试验的随机性和等可能性。同时，根据上面的摸球试验、转盘试验，提出“模拟试验”的概念：“用试验来代替实际调查,类似这样的方法称为模拟试验.” 目的:通过此活动使学生能利用计算器模拟试验，估计一些复杂的随机事件发生的概率.同时发展学生的合作交流能力，培养思维的多样性.实际效果:此活动使每个学生都参与其中，达到本节课的知识目标和能力目标.议一议：除了用大小相同的12个球进行模拟试验外，还有其他方法吗？教师告诉学生以下事实:还可以用计算器产生随机数进行模拟试验，其过程如下:1、计算器进入产生随机数的状态；2、输入所要产生的随机数的范围;3、按键得出随机数。（不同的计算器产生随机数的方法可能不同,引导学生利用自己所使用的计算器探索产生随机数的具体步骤）做一做两人一组，利用计算器产生1—12之间的随机整数，并记录下来,每产生6个随机数为一次试验,每小组做10次试验，看有几次试验中存在2个相同的整数，课代表把全班的数据集中起来，每人估算6个1-12之间整数中有2个数相同的概率（在此过程中，如果有学生的计算器不产生随机数，可用其他方法进行模拟试验，如：写1-12个数的纸片,随机摸出一张记下数字，再放回，直到摸出6张纸片为一次试验，多次重复试验）.这时的计算结果与与上节课的估计可能一致，也可能不一致，教师要帮助学生明晰：体会到两者的差异是由试验次数的差异造成的，当试验次数很大时，两者会较接近。活动过程评价指导：1、评价学生的参与程度，活动过程中的思维方式，与同学合作交流的情况。2、鼓励学生思维多样化。3、关注学生用计算器产生随机数进行模拟试验.4、关注学生对频率与概率的理解，弄清它们的联系与区别。第四环节：练习提高内容：有以下四个活动。目的：此练习用计算器模拟试验解决上一课时的生日问题，以加强前后知识的联系，两次结果未必一致，让学生进一步体会到两者的差异是由试验次数的差异造成的，只有当试验次数很大时，两者较为接近.同时让学生真正体会到模拟试验既不费时又不费力,是一种很好的用试验、统计估计概率的方法. 1、用计算器模拟试验估计50人中有2人生日相同的概率：两人组成一个小组，利用计算器产生1—366之间的随机数，并记录下来,每产生50个随机数为一次试验，每组做5次试验,看看有几次试验中存在2个相同的整数，将全班的数据集中起来，估计50个1-366之间的整数中有2个数相同的概率.2、老师有5张电影票,现在要将它们随机分给班上的5个同学，为了保证公正，你能利用计算器帮老师做出决定吗?如果班级有55人，可以利用计算器产生1—55之间的随机整数，学号与这5个随机整数相同的同学获得电影票，如果这5个数中有重复的,可以利用计算器再产生几个随机数，直到产生5个不同的数即可.3、如果手头没有硬币，那么你能用什么办法模拟掷硬币试验？你能用计算器模拟试验吗？做一做，看看结果如何.解:用计算器进行模拟试验，如可将产生的随机数1对应着硬币的正面，而将随机数2对应硬币的反面,如果计算器只有产生0-1之间随机小数的功能，那么可将0-0。5之间的随机数对应硬币的正面，而将0.5-1之间的随机数对应硬币的反面.4、你能举出一些试验可能用计算器模拟试验吗？分组讨论方案一:不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为红色，另一个为白色，每次从袋中摸出一个白球，然后放回搅匀再摸，恰好摸出白球的概率.若用计算器模拟试验,则要在 1 到 3 范围内产生随机数，若产生的随机数是 1(白球) ,则代表摸出白球的概率，否则就是红球.方案二：准备20张卡片,上面分别写好数字1—20,然后将卡片放在纸箱里搅匀，每次从袋中抽出一张卡片，然后放回搅匀再抽，估计恰好抽出4的倍数的概率.若用计算器模拟试验,则要在 1 到 20 范围内产生随机数,苦味产生的随机数是 4,8，12,16,20 ,则代表抽出4的倍数，否则不是.方案三：在3个人中至少有2人同月生的概率有多大?若用计算器模拟试验，只需同计算器在 1 到 12 范围内产生 3 次随机数，若出现两个数字相同，表示成功。方案四：质检员准备从一批产品中抽取10件进行检查，如果是随机抽取,为了保证每件产品被检的机会均等。(1）请用计算器模拟试验的方法帮质检员抽取被检产品。（2）如果没有计算器，你能用什么方法抽取被检产品？解:(1)利用计算器模拟产生随机数与这批产品编号相对应，产生10个号码即可.（2)可用摸球游戏或抽签等.实际效果与注意事项：在活动过程中，可能有学生实际操作有困难，老师要加以指导.第五环节：课时小结内容：1、用计算器进行模拟试验，估计一些复杂的随机事件发生的概率.2、会同替代实物模拟试验目的:通过学生总结本节课内容回扣教学目标，提高学习能力.第六环节:布置作业P177习题6.6第七环节：活动探究内容： 下表中给出了一些模拟试验的方法，你认为这些方法合理吗？若不合理，请说明理由，提出一个你认为合理的新的模拟试验方法. 表一解：不合理，因为图钉落地后钉尖朝上和朝下的概率不均等，概率不一样，所以这个模拟试验不合理.表二解：不合理，因为手套分左右，袜子不分左右，因而二者的概率不等，所以该模拟试验不合理.表三解:合理.因为摸出白球的概率和摸出男生名字的概率相等，所以这个试验合理。总结：用替代实物模拟试验，要求必须在相同条件下进行,使设计的模拟试验更加科学准确.目的：巩固并拓展学生学习应用知识的能力.四、教学反思1、创造性地使用教材是新课题的理念，充分发掘教师能力资源，综合社会、生活的知识和经验，使教学活动更丰富、更生活化,能进一步调动学生学习数学的积极性和主动性，激发学习兴趣，达到教学目标,完成学习任务.2、课堂教学,尤其以学生活动为主体的课堂教学,应始终围绕学生合作交流,共同提高这一主线，老师应更多地关注学生的思维多样化，关注每一个学生的参与程度。3、老师在各个环节的时间掌控方面要把握好，以便更好地按时完成教学计划。第六章　频率与概率４．池塘里有多少条鱼一、学生知识状况分析学生通过前几节的学习，已经掌握了运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率,还有一些纯粹的现实问题，无法应用树状图和列表法计算得到概率,需要借助试验模拟获得估计值；这些为解决本节课实际问题奠定了知识基础。另外九年级的学生思维很活跃,正在从形象思维向逻辑思维过渡，能够从具体事例中归纳出问题的本质。他们有强烈的应用新知发展自己的意识,这些都为解决本节课的实际问题奠定了基础。二、教学任务分析根据课标的要求、学生的认知水平及本节课的内容，本节课的教学目标为： 知识目标：1.进一步体会概率与统计之间的联系以及用样本去估计总体的统计思想.2。初步感受统计推断的合理性.过程与方法目标:经历对问题的探索过程,使学生对问题由感性认识上升到理性认识。情感与态度目标:1。积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲.2。初步认识数学和人类生活的密切联系，形成解决问题的一些基本策略，体会解决问题基本策略的多样性。体验数学活动充满着探索与创造，提高数学的应用意识.3。发展学生与人合作交流的意识和能力教学重点：1.结合具体情境,初步感受统计推断的合理性。2.进一步体会概率与统计之间的关系.教学难点：结合具体情境，初步感受统计推断的合理性三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节:创设问题情景，引入新课;第二环节：自主探究;第三环节：做一做;第四环节：想一想；第五环节：活学活用，发展思维；第六环节：感悟收获；第七环节:作业布置第一环节:创设问题情景，引入新课活动内容：提出生活中的问题，李大爷承包池塘今年的收成如何？活动目的：从真实的事件入手直接进入本节课的主题。引导学生从生活中发现问题、思考问题。使学生意识到数学知识来源于生活实际，创设问题情景激发兴趣，为本节课的学习做好情感热身。活动过程：生活中的数学教师提出问题：李大爷承包了村里的池塘，辛苦了一年李大爷家今年的收成如何？你能帮助李大爷估计池塘中有多少条鱼吗？有学生认为,把池塘里的鱼全部捞出，就可以知道了。也有学生反对，因为如果全部捞出鱼会死，再说也不好知道池塘里的鱼是否全部捞出。教师接着提问：能不能不把池塘里的鱼全部捞出就可以估计李大爷承包池塘中有多少条鱼呢？ 活动的实际效果既注意事项：课堂问题的提出应简练不要拖泥带水，问题的提出要紧跟本节课的内容，引起学生对本节课的学习兴趣.第二环节：自主探究活动内容：从一个简单的摸球游戏入手，为学生探究提供教学辅助,此时学生求李大爷的池塘里有多少条鱼的问题的解决可能存在各种不同的方法，应充分让每一个学生体会经历探讨与比较的过程.活动目的：应用类比的数学方法得出简洁合理的方法估计李大爷承包的池塘中有多少条鱼.活动过程：首先，简化“鱼塘”问题，从一个简单的摸球游戏开始,对问题进行探究.一个口袋中有8个黑球和若干个白球，如果不许将球倒出来数，那么你能估计其中的白球数吗?（启发学生思考，小组讨论后可能会引出下列两种方案）第一种方案:从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，我共摸了200次，其中有57次摸到黑球，因此我估计口袋中大约有20个白球.假设口袋中有x个白球，通过多次试验，可以得出摸出黑球的频率，依此，我们可以估计出从口袋中摸出一球，它为黑球的概率.得：解得：x≈20在学生提出这一个方案后,教师可以提问:“ 为什么要把球再把它放回口袋中，如果不放回可以吗？”引起学生对问题中细节的关注。第二种方案:利用抽样调查的方法,从口袋中一次摸出10个球，求出其中黑球数与10的比值，再把球放回口袋中。不断重复上述过程。我总共摸了20次,黑球数与10的比值的平均数为0.25，因此,我估计口袋中大约有24个白球。假设口袋中有x个白球，通过多次抽样调查，求出样本中黑球数与总球数比值的“平均水平” ，这个“平均水平"应近似等于口袋中黑球的概率.得:解得:x ≈24在学生得到上述两种方案后，引导学生讨论：1．这两种方案合理吗?两种方案的依据有什么不同?（第一种方案是利用频率估计概率,第二种方案是利用样本估计总体.)2。 这两种方案计算的结果一样吗?（两种方案的计算结果都是近似值，都有误差.）3．怎样才能获得较为精确的估计值呢？（保证摸球的随机性,使试验次数尽可能的多，进而求“平均值”,是减小误差的有效方法。 当总数较小时，用第一种的方法比较精确；当总数较大时，用第二种的方法具有现实意义.）学生对问题的讨论的过程中，看法多种多样只要有道理教师应给予肯定与鼓励活动注意事项： 应让学生自己思考得出结论，老师不要包办代替.第三环节：做一做(多媒体演示）活动内容：分组活动进行摸球试验收集数据。 活动目的：通过对数据的收集整理寻找尽可能减少误差的方法。渗透知识来源于实践的辩证唯物主义思想.活动过程：分组进行下面的活动：在每个小组的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球.（1)分别利用上述两种方法估计口袋中所放的白球数.(课堂上学生动手做，老师巡回指导）［师]把你们的结果报一下，让同学们分享你们的结果.（老师把同学的数据填在表格里，然后，老师用幻灯继续展示下列问题）（2)打开口袋,数数口袋中白球的数，你们的估计值与实际结果一致吗？为什么?（学生议论计算结果的精确情况）（3)全班交流，看看各组的估计结果是否一致.各组的结果与实际情况的差别有多大?（4）怎样可以使估计结果较为准确? 教师在实际的上课过程中，有一位学生提出了一个新的问题：“如果口袋中只有白球，没有其它颜色的球，而且不允许将球倒出来，那么你如何估计白球数呢?” 学生们经过讨论，有人提出了方案：“受刚才的问题的启发,我们可以把这个问题转化为刚才的问题，我向口袋中另放几个黑球,或者从口袋中抽出几个球并把它们染成黑色或做上标记。这样我就利用上面的答案把问题解决。"活动注意事项与效果：整个活动中要充分调动学生的积极性,注意全体学生的参于，关注每一位学生表现.第四环节:想一想（多媒体演示）活动内容：让学生总结寻找解决问题的最优方案，类比解决其它实际问题的方案。 活动目的：类比解决实际问题，提高学生变式解决问题的能力,同时学生掌握这一类问题的解题格式.活动过程：通过“摸球”的探讨,将学生引回上课之初的“鱼塘”问题，请同学帮助李大爷设计一个方案估计李大爷的鱼塘里有多少条鱼？此时，通过类比和引导，学生会得到如下方案：可以先捞出若干条鱼将它们做上标记，然后再放回鱼塘。经过一段时间后，再随机捕捞出若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个有标记的鱼的比例，据此估计整个鱼塘的鱼的数量.［师］你的回答很精彩。同学们开动脑筋,你们可以利用这种方法还可以解决生活中的那些问题呢？例1.樱桃小丸子想知道自家鱼塘中鱼的数量,她先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号,再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，放回会后,第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼,请你帮她估计鱼塘中鱼的数量是多少.分析：引导学生利用样本估计总体的思想解决实际问题.同时加深对第二种方案的理解。 解：设鱼塘中鱼的数量有x条，依题意得，解得x=2000。所以估计鱼塘中鱼的数量大约有2000条。例2.一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数:从口袋中随机摸出一球,记下颜色，再把它放回口袋中搅匀,不断重复上述过程,试验中共摸了200次，其中50次摸到红球.求口袋中有多少个白球？分析:引导学生利用频率估计概率解决实际问题，同时加深对第一种方案的理解.解:设口袋中有白球x个，则有=。 解得：x=30.所以口袋中大约有白球30个.活动注意事项与效果：注意培养学生在解决问题的过程中进行有条理的思考与表达.第五环节：活学活用，发展思维(多媒体演示)活动内容：完成下列练习 活动目的:在解决问题时巩固新知。活动过程：1。某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上记号然后放还,带有标记的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中有2只有标记.从而估计这个地区有黄羊 只.（答案：400只）2. 李大爷的鱼塘今年放养鱼苗10万条，根据这几年的统计分析,鱼苗成活率约为95%，现准备打捞出售,第一网捞出40条，称得平均每条鱼重2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2。2千克，第三网捞出35条,称得平均每条鱼重2。8千克，请你帮助李大爷估算今年鱼塘中鱼的总重量。如果每千克售价为4元,那么，李大爷今年的收入如何？解：李大爷的鱼塘有鱼≈100000×95%=95000(条）李大爷的鱼塘鱼的总重量≈［（40×2。5+25×2.2+35×2.8)÷（40+25+35）］×95000=240350(千克)李大爷今年的收入≈240350×4=961400(元)答：李大爷估算今年鱼塘中鱼的总重量估计有240350千克，如果每千克售价为4元, 李大爷大约今年的收入有961400元.第六环节：感悟收获活动过程:先让几位同学说出收获，而后总结得出通过试验方法求频率,并估计相关情境中的某个未知量的步骤：1。设计并做某个试验得出相关事件发生的频率;2、计算某个事件发生的理论概率；3、（在一定合理性条件下）假设试验频率=理论概率，列出方程求解,得要求的未知数值；（学生归纳总结老师归纳升华)第七环节：作业布置习题6。6 第1题四、教学反思教学中，构建了“实际问题-——试验探究--—构建模型—-—解决问题—-—感悟收获”的教学模式，能激发学生的学习积极性，变学生被动接受知识为带着问题自主探究新知,同时也要给学生足够的自由空间、足够的活动的机会。在这样的氛围下，拓展了学生的思维空间。教师的教学设计，一是教师的教学设计，不仅要激发学习强烈的学习需要和兴趣，在内容上能够切入并丰富学生经验,二是要相信学生的学习能力，给学生充足的时间去培养学生独立解决问题的能力，教师不要怕耽误时间而急于给出答案。三是积极引导学生用于发表自己的观点参与问题的讨论,还要创设矛盾性的问题，启发学生的思维的严密性、灵活性.性质判定的条件等腰三角形(含等边三角形）等边对等角等角对等边“三线合一”即等腰三角形顶角平分线,底边上的中线、高互相重合有一角是60°等边三角形三个角都相等,且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等x00。511.522.52x2—13x+11x01234x2+12x-15—15-2133049x00。511.52x2+12x-15—15-8。75-25.2513x1.11。21.31.4x2+12x—15-0.590.842。293.76x1。11。21。31.41.51。61.7x2+12x-15—0。590.842.293.765.256.768。29每天的销售量/台每台的销售利润/元总销售利润/元降价前降价后时间影子长度影子方向6：408。1m西9:052。43m西偏北10：151.82m西偏北11：301。53m北13：151.84m北偏东15：454.42m北偏东16:207.21m东R/Ω20406080100I/Ax-2-1-13y2-1牌面数字和234频数频率试验次数6090120150180两张牌面数字和等于3的频数两张牌面数字和等于3的频率 第二张牌面数字第一张牌面数字1212骰子硬币123456正面（正，1）（正，2）（正，3）(正,4）（正，5）（正，6)反面(反,1)（反，2)（反，3）（反,4）（反,5）（反，6）红色蓝色红色（红,红）（红，蓝)蓝色(蓝，红）(蓝,蓝)红色蓝色红色1(红1，红）（红1，蓝）红色2（红2,红）（红2，蓝）蓝色（蓝，红)(蓝,蓝）试验结果钉尖着地钉帽着地频数频率试验次数406080100钉帽着地的频数钉帽着地的频率实数累计次数出现“顶帽着地"的次数出现“顶帽着地"的频率20406080100120140160180200npnpnpnpnp200.4114290。6810380.8641470。9548560.9883210。4437300.7105390.8781480。9606570.9901220。4757310。7305400.8912490。9658580。9917230.5073320。7533410.9032500。9704590.9930240.5383330.7750420.9140510。9744600.9941250.5687340。7953430。9239520。9780  260。5982350.8144440.9329530。9811  270。6269360。8322450.9410540。9839  280。6545370。8487460.9483550.9836   需研究的问题用替代物模拟试验的方法新的方法实物一枚硬币一枚图钉 试验方法抛起后落地抛起后落地 发生事件的概率国徽面朝上的概率钉尖朝上的概率  需研究的问题用替代物模拟试验的方法新的方法实物纸箱中2副白手套,1副黑手套不透明袋中2双白袜子，1双黑袜子 试验方法黑暗中摸出2只闭上眼睛摸2只 发生事件的概率2只手套恰为一副2只袜子恰好一双  需研究的问题用替代物模拟试验的方法新的方法实物不透明袋中3个白球2个红球不透明袋中3个男生名字2个女生名字 试验方法摸出一球摸出一个名字 发生事件的概率恰好摸出白球恰好摸出男生名字 组估计值实际值差别第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组第八组第九组