人教A版数学（2019）选择性必修第二册数列求和的常用方法课件

这是一份人教A版数学（2019）选择性必修第二册数列求和的常用方法课件，共35页。
数列求和的常用方法 数列求和是历来是数列中重点考查的知识之一，通常考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和公式，可能与通项公式相结合，也有可能与函数、方程、不等式等相结合，综合命题.复习回顾1.数列前n项和Sn的定义Sn=a1+a2+a3+…+an2.等差数列、等比数列的前n项和的公式3.在等差数列、等比数列的前n项和的公式推导中分别运用了什么求和方法? ①(等差数列)倒序相加法 ；②(等比数列)错位相减法等差数列等比数列方法探究一、分组求和法分析：例1.求数列 的前n项和解：同类性质的数列归于一组，目的是为便于运用常见数列的求和公式.例2 .已知数列{an}满足： a1＝1 ， a2＝4 ， an＝ an-2 +2 ，(1)求通项公式an；(2)求数列{an}前n项之和Sn.解：因为 an＝ an-2 +2 ，所以 an﹣an-2 =2 ， 本题的另一技巧求解方法是先从偶数入手，求得Sn，而当n为奇数时，则n－1为偶数，利用Sn＝Sn－1＋an，求解整体意识得到充分发挥．说明：(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． 通常需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论，所以结果一般用分段函数来表示．归纳提升练习.已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a22＝a4＋8. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解: (1)设等差数列的公差为d，d＞0.由题意得，(2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－0＝(d＋3)(d－2)＝0，得d＝2.故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n，得an＝2n.(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n.Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)巩固练习二、并项求和法例3.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.(2)由(1)，得bn＝(－1)n·an＝(－1)n·2n，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，并项局部重组转化为常见数列求和练习：12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？(1)一般地，当数列中的各项正负交替，且各项绝对值成等差数列时，可采用并项转化法求和．(2)在利用并项转化法求和时，一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论，所以结果一般用分段函数来表示．归纳提升巩固练习1．已知数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝24，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 013＝________.解析：由anan＋1an＋2an＋3＝24可知， an＋1an＋2an＋3an＋4＝24，得an＋4＝an， 所以数列{an}是周期为4的数列， 再令n＝1，求得a4＝4， 每四个一组可得 (a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)＋a2 013 ＝10×503＋1＝5 031.说明：若数列有周期性，先求出一个周期内的和，再转化其它数列求和。 错位相减法在等比数列求前 n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。求法步骤如下：3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的 各项组成等比数列，可用公式求和。三、错位相减法例4 设 求数列 的前n项和 分析：这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行 解：两边同乘a:两式相减：所以：运算并整理得：归纳提升(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式；③在应用等比数列求和公式时要注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.巩固练习 如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法. 四、倒序相加法巩固练习 顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法. 求法步骤1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。 （注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，,n然后相加得3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的 式子即为和式。五、裂项相消法例6.求数列 的前n 项和。分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。解： 对类似例6的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有裂项求和常用变形巩固练习巩固练习巩固练习 通项分析法就是对数列的通项公式进行分析，再根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法等为基础，从而决定使用那种方法求和。求 法 步 骤1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已 知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时 还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。 六、通项分析法例7. 求数列 的前n项和分析：由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：通过分析可知：该数列是以 为首项，以 为末项，共有n项的数列。从通项公式的结构来分析，该数列是一个以2为首项，以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前 n项和的差。解：例8. 求和 分析：这个数列是数列1，2，3. . . n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。(k取从1到n的自然数）所以，该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列解：指出下列各种方法的适用情形:课堂小结