（人教A版）2024年高中数学高二暑假讲义新课预习-专题强化3：空间向量与立体几何考点梳理

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【考点突破】
一、空间向量的概念及运算
1．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）
A．－1B．C．D．
2．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1B．2C．D．
5．（多选）已知空间向量，，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．，
6．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
7．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
二、利用空间向量证明位置关系
1．如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
2．如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
3．如图，在直三棱柱中，，，M为AB的中点，N为的中点，P是与的交点．
(1)证明：；
(2)在线段上是否存在点Q，使得∥平面？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．
三、利用空间向量计算距离
1．如图，在长方体中，，，为的中点.
(1)求点到直线的距离；
(2)求点到平面的距离.
2．如图，在正方体中，为的中点．
(1)证明：平面AD1E；
(2)求直线到平面的距离．
四、利用空间向量求空间角
1．如图，在正三棱柱中，，是的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)证明：平面平面．
2．如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，CD＝AE，，将沿AD翻折，使点E翻折到点P．
(1)证明：PC⊥BC；
(2)若PC＝3，求二面角P－AD－B的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【随堂演练】
1．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直
2．如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．4
3．设、，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知 ，且 ，则（ ）
A．B．
C．D．x=1，y=-1
6．已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．
7．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．BD⊥平面ACC₁
C．向量 与的夹角是60°
D．直线BD₁与AC所成角的余弦值为
8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（ ）
A．1B．C．D．
9．设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为________．
10．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为___________.
11．如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．
（1）若中点为，证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
12．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，为的中点，证明：平面平面.
13．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面
（1）求证：；
（2）若M为中点，求证：平面；
14．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA1D1D；
（3）证明：EF⊥平面A1CD．
15．如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于E，F为的中点．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值；
(3)求点A到平面的距离．
16．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．