（人教A版）2024年高中数学高二暑假讲义第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（基础A卷）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知，，且，则的值为（ ）.
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】由，可得存在实数使得，利用向量相等即可得出．
【详解】，4，，
，3，，
，
存在实数使得，
，解得，．
．
故选：．
【点睛】本题考查了空间向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．如图，在平行六面体中，E是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】．
故选：A.
3．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的中点，则等于（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【分析】以为基底向量，利用向量的三角形法则将用基底向量表示，根据向量数量积的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果．
【详解】以为基底向量，则，
∵，
则，
又∵，即，
∴．
故选：D．
4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．l与斜交
【答案】B
【分析】根据题意可得，进而可得.
【详解】∵，，可得，
∴，可得
故选：B.
5．在正四棱锥P—ABCD中，，则该四棱锥的体积为（ ）
A．21B．24C．D．
【答案】B
【分析】根据正四棱锥的性质，结合空间向量模的坐标公式、棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，设顶点在底面的射影为，
为正方形对角线的交点，
，
所以，
，
所以该四棱锥的体积为，
故选：B
6．已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．5B．6C．4D．8
【答案】A
【分析】利用向量的数量积公式即可求解.
【详解】如图，平行六面体中，
向量、、两两的夹角均为，
且，，，
.
，
故选：A.
7．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（ ）
A．，，且，B．，，且
C．，，且D．，，且
【答案】C
【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断．
【详解】对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；
对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；
对于C，，，且，得，则，故C正确；
对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误．
故选：C．
8．如图，在三棱锥中，底面，，，，D为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建系，利用空间向量解决异面直线夹角的问题.
【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则,
∵，则，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，，，且，，则（ ）
A．B．
C．或8D．向量，，共面
【答案】BC
【分析】A选项代入向量模长公式，即可求得；B选项，根据两向量垂直，数量积为0，即可求得；C选项，根据，可得的值，再用数量积的坐标运算法则计算即可；D选项，求出的值，若三个向量共线，则，代入坐标计算即可.
【详解】∵，∴，解，∴A错误；
∵，∴，解得，故B正确；
或，，
当时，；
当时，；故C正确；
当时，令，则，得，无解；
当时，令，则，得，无解；
∴向量，，不共面．故D错误．
故选：BC．
10．若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项．
【详解】由向量加法的平行四边形法则，只有，即时，都有，A不成立；
由数量积的运算律有，，与不一定相等，B不成立；
向量数乘法则，C一定成立；
只有共线且时，才存在，使得，D这成立．
故选：ABD．
11．如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以故A错误；
因为，，，
所以，
所以，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
因为，，
所以
因为，
所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
12．如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PD的中点，则（ ）
A．直线CM与AD所成角的余弦值为B．
C．D．点M到直线BC的距离为
【答案】ABD
【分析】过A作，垂足为E，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各个选项即可.
【详解】过A作，垂足为E，则，
以A为原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
，，
因为，
所以直线CM与AD所成角的余弦值为，故A正确；
因为，所以B正确；
因为，
所以BM与PC不垂直，故C不正确；
设点M到直线BC的距离为d，则，
即点M到直线BC的距离为，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量，，（其中、），如果存在实数，使得成立，则_____________.
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算得出关于、、的方程组，解出即可得出的值.
【详解】，，且，所以，解得，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
14．若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据空间向量与的夹角是锐角可得且与不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】因为与的夹角是锐角，所以，
即，解得，
若与的夹角为，则存在，使，
即，所以，解得.
故t的取值范围是.
故答案为：.
15．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.
【答案】
【分析】设,由可得，又，得，利用数量积的运算律可得.
【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等，
因为，
所以，又，
所以，
即，
解得，即的余弦值为.
故答案为：
16．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于_____.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，
，，设平面的一个法向量为，
，即，取，又，
所以点到面的距离，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)
(2)
【答案】(1)16；(2)0
【分析】建立空间直角坐标系，得出点的坐标，再由向量的坐标公式，结合向量的数量积的坐标表示，计算可得所求向量的数量积．
【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则
（2）.
18．如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
【答案】(1)；(2)是.
【分析】（1）利用向量的线性运算得出和，进而由，得到向量与向量和的关系；
（2）由（1）结合共面向量基本定理，即可得出结论.
【详解】（1）解：∵，
，
∴.
（2）解：由（1）可知，，
∴向量与向量，共面.
19．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求，夹角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用算出答案即可；
（2）分别求出、、的值即可.
【详解】（1）根据条件，，∴；
∴；
（2）
；
，
；
∴.
20．如图，在多面体中，四边形是梯形，四边形为矩形，面，，，．
(1)求证：平面；
(2)点为线段的中点，求证面．
【分析】（1）建立空间坐标系，由线面垂直的判定定理可证面，可知为面的法向量，又，根据线面平行的判定定理即可证明结果；
（2）由（1）可知，，可证，，再根据线面垂直的判定定理即可证明结果.
【详解】（1）证明：如图，建立空间坐标系，则，，，，，
面，，且，
又，
面，为面的法向量，
，，
又平面，
平面．
（2）证明：由（1）可知，，，，
，，
，
又，
面．
21．如图，四棱锥中，底面是菱形，底面，，M为的中点，且平面平面.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）过做，由面面垂直性质定理可得平面，即，由底面，可得，再根据线面垂直判定定理可得平面，进而得；
（2）由（1）结论建立合适的空间直角坐标系，假设，根据长度角度关系，找出各个点的坐标，分别求得平面和平面的法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角大小的余弦值的绝对值，进而求出其正弦值即可.
【详解】（1）解：因为底面，所以，
在平面内过做，垂足为，如图所示：
因为平面平面，交线为，
且有，平面，所以平面，
因为平面，从而，
因为，平面，平面，
所以平面，于是；
（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，
在平面中，过做平行于的直线为轴，记，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为底面是菱形，且M为的中点，所以，
由（1）知，所以，所以，
又有，故可得，，，
，于是，，，
设为平面的法向量，则，
即，取，可得；
设为平面的法向量，则，
即，取，可得，
因为
，
所以二面角的正弦值为.
22．如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，，平面平面ABCD．
(1)证明：平面PAD；
(2)若，，，求直线BD与平面PAB所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）的中点为，利用面面垂直的性质，线面垂直的性质判定推理作答.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答.
【详解】（1）在四棱锥中，设的中点为，连接，因为为等边三角形，则，
又平面平面，平面平面，且平面，
于是平面，而平面，则，又平面，
所以平面.
（2）连接，由（1）知,平面，平面，
则，又，即有，因此四边形为矩形，
即，则有，
设，
设的中点为平面，则，
在等边三角形中，为的中点，有,平面，因此平面，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，点，
，设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成角的正弦值为.