（人教A版）2024年高中数学高二暑假讲义第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（拔尖C卷）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在平行六面体中，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知、是空间中两个不同的平面，、是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
4．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在正方体中，P为线段上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（ ）
①直线与AC所成角的取值范围是
②存在P点，使得平面平面
③三棱锥的体积为
④平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
A．①③B．②④C．③④D．②③
6．如图，在正方体中，E为棱上一点且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．平面
B．存在点，使平面
C．存在点，使
D．
8．在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知点是平行四边形所在平面外一点，，，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．存在实数，使
C．不是平面的法向量
D．四边形的面积为
10．已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ）
A．；
B．
C．；
D．
11．在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（包含边界），若，则下面哪些值可能是线段的长度（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则（ ）
A．B．平面ABCD
C．D．三棱锥外接球的表面积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则______．
14．如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为_____.
15．三棱柱中，平面平面，且，，，则异面直线与所成角的正弦值为________．
16．如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为_____________
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知，，，，，，，，为空间的个点，且，，，，，，．
(1)求证：，，，四点共面，，，，四点共面；
(2)求证：平面平面；
(3)求证：．
18．如图，正方体的棱长为a．
(1)求和的夹角；
(2)求证：．
19．设全体空间向量组成的集合为，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”；.
(1)设，，若，求向量；
(2)对于V中的任意单位向量，求的最大值.
20．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
21．如图，在三棱柱中，，，，是的中点，E是棱上一动点．
（1）若E是棱的中点，证明：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）是否存在点E，使得，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．
22．如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中点．
(1)求平面与平面ABC夹角的余弦值；
(2)在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．