（人教A版）2024年高中数学高二暑假讲义第二章《直线和圆的方程》综合检测卷（培优B卷）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知点是直线上一点，则直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】利用，再根据倾斜角的定义，可得直线的倾斜角
【详解】因为，设直线的倾斜角为，又因为，且，故的倾斜角.
故选：B.
2．已知的顶点，AC边上的高所在直线方程为，则AC所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由AC边与其上的高垂直的关系求得AC边的斜率，再结合A点坐标，即可由点斜式写出AC所在直线的方程.
【详解】设AC边上的高所在直线的斜率为，则
设AC边所在直线的斜率为，
因为AC边上的高与AC边垂直，
所以，所以，又
所以AC所在直线的方程为，
整理为一般式得.
故选：D.
3．圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）．
A．3B．5C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案
【详解】圆的圆心为，半径，则
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为，
故选：B
4．已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离.
【详解】由题意知，直线：恒过定点，
直线：恒过定点，如图所示，
过作的垂线段，垂足为，
那么必有，当且仅当与重合时取等号，
从而的最大值为，
即点到直线：距离的最大值是.
故选：D.

5．已知直线与平行，则之间的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】由两直线平行，可知其斜率相等，即可求出，然后再根据平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】由题意知，，，因为，所以，所以，
所以，即，所以
故答案为：
6．已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离公式和两圆位置关系即可求解.
【详解】由已知直线，
则原点到直线l的距离为，
由直线l与圆相切，
则满足条件的直线l即为圆和圆的公切线，
因为圆和圆外切，
所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
所以满足条件的直线l有3条．
故选: B．
7．已知直线和圆相交于两点．若，则实数a的值为（ ）
A．-2B．-4C．-6D．-8
【答案】B
【分析】先求出圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，由勾股定理可得弦长即可求解.
【详解】由可得：，
所以圆心，，
圆心到直线的距离为，
由，即
所以，解得：，
故选:B
【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.
8．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】圆的方程可化为，
其圆心坐标为，半径为，
当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，
所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列结论中正确的有（ ）
A．两条相交直线所成的角的范围是
B．若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或
C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为
D．若直线与直线的夹角为，则
【答案】ABD
【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A：两条相交直线时，其所成的角的范围是，故A正确；
对于B：若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或，故B正确；
对于C：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C不正确；
对于D：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，所以，故D正确，
故答案为：ABD.
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线斜率为，则它的倾斜角为
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点
【答案】ABC
【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D.
【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确；
对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即，
易知，故直线必过，故C正确；
对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误．
故选：ABC.
11．对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
12．点P在圆上，点Q在圆上，则（ ）
A．的最小值为2
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】BC
【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.
【详解】由已知，半径为，圆的标准方程为，
故，半径，∴圆心距，
又在圆上，在圆上，
则的最小值为，最大值为，
故A错误、B正确；
两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.
故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线：，：，则“”是“”的 条件
【答案】充分不必要
【分析】解出所需条件，再结合充分不必要条件的定义判断即可．
【详解】直线的一个法向量是，直线的一个法向量是，
，则有，得，解得或．
当时，成立；当时，不能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
14．一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意分析出反射光线过直线与轴的交点，且倾斜角与直线的倾斜角互补，故而可求反射光线所在的直线方程.
【详解】解：由题可知，直线与轴有交点，
令得，所以直线与轴的交点为，
又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即.
故答案为：.
15．圆心在直线上，且在第一象限，并且经过点，且被轴截得的弦长为的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】设圆心的坐标为，则，求出圆的半径的表达式，可得出关于的等式，解出正数的值，可得出圆心坐标与圆的半径，即可写出所求圆的标准方程.
【详解】设圆心的坐标为，则，则该圆的半径为，
由勾股定理可知，该圆的半径为，
由题意可得，解得，
，解得，所以，该圆的半径为，
因此，所求圆的标准方程为.
故答案为：.
16．已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为 .
【答案】
【分析】由题设，进而根据题意得到直线的距离即为半径，再利用公式结合基本不等式求解即可得半径的最小值，进而得答案.
【详解】因为的圆心在曲线上，故设,
因为与直线相切,
所以到直线的距离即为半径，
即，当且仅当时等号成立，
所以的面积的最小值为.
故答案为:.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知点.
(1)求直线的倾斜角
(2)过点的直线与过两点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线的倾斜角；
（2）求出直线与直线的斜率，从而可得结果.
【详解】（1）由已知得：直线的斜率
又
（2）直线的斜率
直线的斜率
过点直线与过两点的线段有公共点，
直线斜率的取值范围为
18．已知，直线.求：
（1）直线关于点的对称直线的方程；
（2）直线关于直线的对称直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设上任一点的坐标为，可求得关于点的对称点，再将对称点带入即可求得直线关于点的对称直线的方程；
（2）设上任一点坐标为，可求得点关于直线的对称点的坐标，再将坐标代入直线，即可求得对称直线的方程.
【详解】（1）设上任一点的坐标为，
则关于点的对称点的坐标为，
而点在上，所以，
化简可得对称直线的方程为.
（2）设上任一点坐标为，
则点关于直线的对称点的坐标为，
它在直线上，
所以，
即.
【点睛】本题考查了直线关于点、直线关于直线的对称方程求法，属于基础题.
19．已知圆与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）求直线截圆所得弦的长；
（3）过点作两条直线与圆相切，切点分别为，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】分析：（1）设出圆的方程，由直线和圆相切的条件，求得半径，即可得到圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，运用直线和圆相交的弦长公式，即可得到；
（3）判断出C，M，N，G四点共圆，求出圆的方程，再与圆C方程相减，即可得到相交弦方程．
详解：(1)由题意知，
所以圆的方程为
（2）由题意，圆心到的距离 ,

（3）由题意知，
其方程为
又在圆，两式相减得
即直线的方程为.
点晴：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，这块内容在解析几何中属于核心内容，学生们需要关注几何方法和代数方法，几何方法需要转化，计算量相对较小，代数方法计算量较大．
20．设，为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值2.
(1)求点的轨迹方程；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得轨迹的方程.
（2）根据圆的几何性质求得面积的最大值.
【详解】（1）设，依题意，
，
，
即轨迹的方程为：.
（2）由于轨迹的方程为：，
所以轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以三角形面积的最大值为.
21．已知过点且斜率为的直线与圆交于两点.
(1)求的取值范围；
(2)若，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
【分析】(1)方法一：根据直线和圆相交时，圆心到直线的距离小于半径即可求解；方法二：联立直线和圆的方程，消去“y”得到关于“x”的方程，根据方程即可求解；
(2)根据可知CM⊥CN，再结合几何关系求出圆心到直线l的距离，根据点到直线距离公式即可求出l方程．
【详解】（1）方法一：
圆，圆心，半径，
设直线的方程为，即，
∵直线与圆相交于两点，，
解得：的取值范围是．
方法二：
联立，整理得，
∵直线与圆相交于两点，，
解得：的取值范围是．
（2），
，∴点到直线距离为，
即，
整理得，解得或，
的方程为或．
22．已知直线与轴相交于点，点坐标为，过点作直线的垂线，交直线于点．记过、、三点的圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）求过点与圆相交所得弦长为的直线方程．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据题意，由直线的方程求出的坐标，分析可得圆是以为直径的圆，求出圆心与半径，结合圆的标准方程分析可得答案；
（2）根据题意，设要求直线为，计算出圆心到直线的距离为，分两种情况讨论：①直线的斜率存在，可得出直线的方程为，验证即可；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离求出的值.综合可得出所求直线的方程.
【详解】（1）根据题意，直线与轴相交于点，则，
又由，则，
则圆是以为直径的圆，其圆心，半径，
因此，圆的方程为；
（2）直线的方程为，联立，解得，即点.
设要求直线为，且与圆的交点为、，
圆心到直线的距离，
分两种情况讨论：
①当直线的斜率不存在，则的方程为，
易得圆心到直线的距离为，符合题意；
②当直线的斜率不存在，设直线的方程为，即，
若圆心到直线的距离为，则有，解得，
则此时直线的方程为.
综上所述，所求直线的方程为或.
【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆所得的弦长求直线的方程，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.