（人教A版）2024年高中数学高二暑假讲义第二章《直线和圆的方程》综合检测卷（拔尖C卷）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.
【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴，
∵直线的倾斜角为，∴斜率为，
∴的方程为，即.
故选：B．
2．已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（ ）
A．8B．9C．D．20
【答案】A
【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为，求出两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为，
分别与联立可得两点的横坐标：，
故，两点都在x轴的上方，
故，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最小值为8，
故选：A．
3．若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.
【详解】设，依题意，，化简整理得：，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为.
故选：D
4．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据对称列式求解.
【详解】设,则，选D.
【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．点在圆：上运动，点，当直线的斜率最大时，直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设直线的方程为，利用圆心到直线的距离小于等于1，从而得到不等式，即可得到的最大值.
【详解】设直线的方程为，即，
，即，则圆心，半径，
则由题意得圆心到直线的距离小于等于1，
，解得，则的最大值为，
此时直线的方程为，化简得，
故选：C.
6．已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（ ）
A．或3B．或4C．或5D．或2
【答案】A
【解析】先根据两直线平行由系数的关系求出参数，然后由平行线间的距离公式求出参数，最后由即可求出答案.
【详解】由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，即.
故选：A.
【点睛】本题考查了两平行直线间系数的关系，考查了平行直线间距离公式的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题.
7．已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，从而求得实数a的取值范围.
【详解】圆C：的圆心，半径，
∵圆C上至少存在一点P，使得，
∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示，
又圆O：的圆心，半径，
则，即，∴．
故选：B．

8．直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】是斜率为的直线，曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，利用点到直线距离公式，结合图形可得答案.
【详解】是斜率为的直线，
曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，（舍去），
当直线过时，,
由图可以看出：
当时，直线与半圆有两个公共点，
故选：

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】设，求出直线、的倾斜角即得解.
【详解】设，由题得,所以直线的倾斜角为.
由题得,所以直线的倾斜角为.
由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角.
故选：BC
10．下面说法中错误的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示
【答案】ABC
【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对即得答案.
【详解】对A，过点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故A错误；
对B，经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故B错误；
对C，不仅过原点的直线不可以用方程表示，
而且垂直于两坐标轴的直线也不能用方程表示，故C错误；
对D，当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时，
直线方程为，即，
当直线斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程，
所以经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故D正确.
故选：ABC.
11．下列结论正确的有（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5
D．直线与直线之间的距离为
【答案】ABD
【分析】求出直线斜率判断A；利用垂直关系求出a判断B；利用对称方法求出两点的距离判断C；求出平行间距离判断D作答.
【详解】对于A，直线的斜率，则直线的倾斜角为，A正确；
对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确；
对于C，关于x轴对称点，连接交x轴于点，在x轴上任取点，连接，如图，
，当且仅当点与重合时取等号，
因此，C错误；
对于D，直线与直线平行，直线化为，
管两条直线间距离为，D正确.
故选：ABD
12．已知圆，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心是，半径是
B．圆的圆心是，半径是
C．直线平分成面积相等两部分
D．过点与圆相切的直线方程是
【答案】ACD
【分析】将圆的方程配成标准方程，可判断AB选项，利用过点可判断C选项，将点坐标代入直线方程可得点在线上，再根据圆心到直线的距离可判断直线与圆相切，判断D.
【详解】将圆配方成标准方程为：，
则圆心是，半径是，故选项A正确，选项B错误；
将代入直线成立，即该直线过圆心平分成面积相等两部分，C正确；
点在圆上，即，
将代入中，即，
即经过点P，
圆心到直线的距离为，
由于过圆上一点的圆的切线是唯一的，故过点与圆相切的直线方程是，故选项D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中,,则边上的中线所在的直线的一般方程为 .
【答案】
【分析】边上的中线过的中点及点,根据两点坐标,求出中点坐标,再结合点坐标,用两点式即可求出方程.
【详解】解:由题知,,
故的中点坐标为:,
因为,
所以边上的中线所在的直线为:
,
即:.
故答案为:
14．直线和直线分别过定点和，则| ．
【答案】
【分析】求出直线、所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值.
【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点，
将直线的方程变形为，
由，可得，即点，
所以，.
故答案为：.
15．若半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 .
【答案】7
【分析】确定半径为3且经过点的圆的圆心的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆，即可求得答案
【详解】设圆心坐标为，则，即，
即圆心轨迹是以为圆心，以3为半径的圆，
到原点距离为，
故圆上的点到原点距离的最小值为，
即半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为7，
故答案为：7
16．已知常数，若关于x的方程有且仅有一个实数解，则m的取值范围是 .
【答案】,
【分析】将问题转化为直线与曲线只有一个交点，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由，可得，
由题意可得，
即直线与曲线只有一个交点，
又因为曲线表求以原点为圆心，2为半径且位于轴上及上方的半圆，
如图所示：

当直线过时，，此时直线与半圆只有一个交点，
当直线过点时，，此时直线与半圆有两个交点，
结合图象，当直线与半圆相切时，，
综上所述，的取值范围是,．
故答案为：,．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)若是线段上一动点，求的取值范围.
【答案】(1)斜率为1，倾斜角为；(2)；(3).
【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2) 设，根据求解即可；
(3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案.
【详解】（1）解：因为直线的斜率为.
所以直线的倾斜角为；
（2）解：如图，当点在第一象限时，.
设，则，解得，
故点的坐标为；
（3）解：由题意得为直线的斜率.
当点与点重合时，直线的斜率最小，；
当点与点重合时，直线的斜率最大，.
故直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
18．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可；
（2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程．
【详解】（1）解：设圆C的方程为，
已知圆的圆心在直线上，且圆过点，，
则，解得，
即圆C的方程为，
∴圆C的标准方程为．
（2）解：由（1）得圆C的圆心，半径，
设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称，
则有，解得，即．
∴圆的标准方程为．
19．已知直线与直线．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；
（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程
【详解】（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以.
（2）因为点在直线上，
所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
20．已知直线．
(1)若直线不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程．
【答案】(1)；(2)的最小值为，此时直线的方程为
【分析】(1)验证时，直线是否符合要求，当时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.
【详解】（1）当时，方程可化为，不经过第一象限；
当时，方程可化为，
要使直线不经过第一象限，则
解得．
综上，k的取值范围为．
（2）由题意可得，
由取得，
取得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
综上，此时，直线的方程为．
21．已知直线和圆.
(1)求证：对任意实数，直线和圆总有两个不同的交点；
(2)设直线和圆交于，两点.
①若，求的倾斜角；
②求弦的中点的轨迹方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)①或；②，其中
【分析】（1）解法1，联立消元，根据，即可得证；
解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明；
解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明；
（2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可；
②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数，即可得解；
【详解】（1）解法1：将代入，
得，因为，
故直线和圆C总有两个不同的交点.
解法2：圆心到直线的距离，
于是直线和圆C总有两个不同的交点.
解法3：由已知，直线，令，解得，
所以直线恒过定点，
因为，所以点P在圆C内，
于是直线和圆C总有两个不同的交点.
（2）①圆心到直线的距离，
由弦长公式，即，解得，
即直线的斜率为，于是的倾斜角为或.
②将代入，
得，设，，显然，
所以，则，
则，，
所以，
消去得，
即，其中.
22．已知直线过点，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为.
(1)求直线的一般式方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，求弦长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）选①，先得到点在圆上，从而根据垂直关系求出直线的斜率，得到直线的一般式方程；选②，求出，从而得到直线的一般式方程；选③，根据直线的一个方向向量求出的斜率，求出直线的一般式方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长.
【详解】（1）若选①：因为，故点在圆上，
且圆心与连线的斜率为，
因为直线与圆相切，所以直线的斜率为2；
所以直线的一般式方程为；
若选②：设直线的倾斜角为，由得；
故直线的斜率；
所以直线的一般式方程为；
若选③：因为直线的一个方向向量为，所以的斜率；
所以直线的一般式方程为
（2）曲线，即；
故为圆，圆心为，半径为；
则圆心到直线的距离为；
所以弦长.