高考数学二轮复习专题【高中数学文化鉴赏】 斐波那契数列（解析）

这是一份高考数学二轮复习专题【高中数学文化鉴赏】 斐波那契数列（解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据斐波那契数列的性质进行求解即可.
【详解】
由，得
.
故选：C.
2．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，，若，则k等于（ ）
A．12B．13C．89D．144
【答案】A
【解析】
【分析】
根据斐波那契数列的性质进行求解即可.
【详解】
由斐波那契数列的性质可得：
所以k等于12，
故选：A
3．斐波那契数列指的是这样一个数列：，，当时，.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出所报数构成的数列即可判断.
【详解】
由题意知所报数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610…
，，，，，均为5的倍数，故有6个同学．
故选：C．
4．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列满足，，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据递推公式写出前12项，找出质数的个数，利用古典概型求概率公式进行求解.
【详解】
由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
所以基本事件数共有12，
其中质数有2，3，5，13，89，共5种，
故是质数的概率为．
故选：A．
5．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则数列的第项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数列各项的规律可知是以为周期的周期数列，由此可得.
【详解】
由题意知：数列为：，
则数列为：，
即数列是以为周期的周期数列，.
故选：A.
6．斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的： 已知 是该数列的第100项，则m=（ ）
A．98B．99
C．100D．101
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意推出，，，，
利用累加法可得，即可求出m的值.
【详解】
由题意得，，因为，
得，
，
，
，
累加，得，
因为是该数列的第100项，
即是该数列的第100项，所以.
故选：B.
7．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ）
A．672B．674C．1348D．2022
【答案】C
【解析】
【分析】
先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项.
【详解】
，故，，故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶），
且周期为3，
因为，故奇数的个数为，
故选：C.
8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列的周期性，结合数列的性质进行求解判断即可.
【详解】
因为，，，，，，，，…，
所以是以6为周期的周期数列，所以，所以①正确；
因为，所以③错误；
因为
，所以②错误；
因为
，
所以，所以④正确.
故选：B
9．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，，，，，，，，…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用可化简得，由此可得.
【详解】
由得：
，
，即.
故选：A.
10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，，，．该数列的特点如下：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出当时，，结合可求得所求代数式的值.
【详解】
当时，，则，
故当时，
，
此时，
又因为，因此，.
故选：C.
11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
A选项由前项所占格子组成长为，宽为的矩形即可判断；B选项由结合累加法即可判断；
C选项通过特殊值检验即可；D选项表示出，作差即可判断.
【详解】
由题意知：前项所占格子组成长为，宽为的矩形，其面积为，A正确；
，以上各式相加得，，化简得，即，B正确；
，C错误；
易知，，D正确.
故选：C.
12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.
【详解】
依题意，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
即，A正确；
依题意，当时，，
得，B正确；
由给定的递推公式得：，，…，，
累加得，
于是有，
即，C错误；
，，
，…，
，累加得，D正确.
故选：C
【点睛】
思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.
13．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足： . ，记，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定的数列的递推公式，逐项分析、推理计算即可判断作答．
【详解】
依题意，数列的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
即，所以A正确；
当时，，
所以B正确；
由，可得，
累加得
则，即，所以C错误；
由，，
，
所以，所以D正确.
故选：C.
14．数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用迭代法可得，可得，代入即可求解.
【详解】
由题意，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，
所以，
所以，令，可得，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：理解数列新定义的含义得出，利用迭代法得出，进而得出.
15．斐波那契数列满足，，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（ ）项.
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【解析】
【分析】
由斐波那契数列的递推关系可得，应用累加法求，即可求目标式对应的项.
【详解】
由，则，又，
所以，，，…，，
则，故.
故选：C
16．斐波那契数列（Fibnacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Lenard Fibnacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，则，且，可得
，化简即可求解.
【详解】
由已知条件可知，则，且，
则，，，…，
，
，
上述各式相加得

.
故选：.
17．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：，，则是数列的第几项？（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合递推关系式,采用累加求和可得的值，进一步做比值即可．
【详解】
由题意可得，
，
，
，
，
累加得：，
即，,
故选：．
18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用“斐波那契数列”的定义及数列的性质对选项A、B、C、D逐一分析即可得答案．
【详解】
解： 对A：，故选项A正确；
对B：由“斐波那契数列”的定义有，
因为，
所以，故选项B正确；
对C：由“斐波那契数列”的定义有，
因为，
所以，故选项C正确；
对D：，故选项D错误．
故选：D．
19．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2022项和为（ ）
A．2698B．2697C．2696D．2695
【答案】C
【解析】
【分析】
根据, 递推得到数列,然后再得到数列是以6为周期的周期数列求解.
【详解】
因为
所以数列为
此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列为:
是以 6 为周期的周期数列,
所以.
故选：C.
20．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列的说法不正确的是（ ）
A．是奇数B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据斐波那契数列的递推关系及数列求和，相消法的应用进行判断即可求解.
【详解】
因为的项具有2奇1偶，3项一周期的周期性，所以是奇数，所以A正确；
因为，所以B错误；
因为，所以C正确；
因为
，所以D正确．
故选：B.
二、填空题
21．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：，，，，，，，，，，，，，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前项中奇数的个数为_______．
【答案】1348
【解析】
【分析】
根据已知数据进行归纳，发现规律，再结合题意，即可求得结果.
【详解】
对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，
又，故该数列前项有个奇数.
故答案为：.
22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是______．
① ②
③ ④
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
根据斐波那契数列的定义验证各结论是否正确．
【详解】
，①正确；
，
所以，②正确；
，③正确
，④正确．
故答案为：①②③④．
23．意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：

大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：
①；
②；
③；
④．
其中正确命题的序号是________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
斐波那契数列从第项起，每一项都是前项的和，所以，①正确.
，②正确.
，
所以③正确.
当时，，，所以④错误.
故答案为：①②③
24．斐波那契数列（Fibnaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列中，，，，若，则数列的前2020项和为___________（用含m的代数式表示）.
【答案】##
【解析】
【分析】
通过累加得到即可求得前2020项和.
【详解】
由，可知，……，，，
将以上各式相加得，
整理得，
则.
故答案为：.
25．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列满足：，，且（），记数列的前n项和为，若，则___________.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据递推关系写出的前面若干项，利用并项求和法求得，从而确定的值.
【详解】
∵，∴，，
则数列中的项依次为2，4，6，10，16，26，42，68，…，
又，，
，，…，
，
将上面的式子相加，可得，又，
∴.
故答案为：
26．数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Lenard Fibnacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案.
【详解】
因为，所以
.
又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以的个位数字相同，的个位数字相同，易知，则，所以的个位数字为4.
故答案为：4.
27．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前2022项的和为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由数列各项除以3的余数，可得为，知是周期为8的数列，即可求出数列的前2022项的和.
【详解】
由数列各项除以3的余数，可得为，是周期为8的数列，一个周期中八项和为，又，数列的前2022项的和.
故答案为：.
28．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列满足，，，若记，，则________．（用，表示）
【答案】
【解析】
【分析】
由已知两式相加求得，得，
得到，从而得到，，利用可得答案.
【详解】
因为，
由，，得，
所以，
得，
因为，
所以，
，
所以，，
所以，.
故答案为：.
29．斐波那契数列满足：．该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，设，给出以下三个命题：
①；
②；
③．
其中真命题的是________________（填上所有正确答案）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据斐波那契数列的特点及所给条件进行分析计算确定正误.
【详解】
，，所以，即，故①正确；
相加可得：即，故②正确；
因为，所以
又，可得，故③正确.
故答案为：①②③.
30．意大利数学家斐波那契年年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设n是不等式的正整数解，则n的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则可得，令，则，根据数列的单调性，求出成立的的最小值，即可求出答案.
【详解】
由题知，
∴，
∴，
即
∴，
∴，
∴，
∴，
令，则数列即为斐波那契数列，
，即，
显然数列为递增数列，所以数列亦为递增数列，
不难知道，，且，，
∴使得成立的的最小值为8.
故答案为：8.