湖北省鄂州市2023-2024学年八年级上学期期末质量检测数学试卷(含解析)

这是一份湖北省鄂州市2023-2024学年八年级上学期期末质量检测数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了本试卷共6页，三大题26小题，考生必须保持答题卡的整洁，若的展开式中不包含项和项，则，定义运算“※”等内容，欢迎下载使用。
八年级数学试题
注意事项：
1．本试卷共6页，三大题26小题．全卷满分120分．考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效．
4．非选择题用0.5毫米黑色笔迹签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试卷上无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．围棋起于中国，古代称之为“亦”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．在下列式子中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．一天课间，小轩同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度，则的长为（ ）
A．100B．120C．105D．160
5．一个正多边形的一个内角等于它的外角的3倍，则这个正多边形是正（ ）边形．
A．四B．六C．八D．十
6．若的展开式中不包含项和项，则（ ）
A．-4B．3C．4D．6
7．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为（ ）
A．4B．5.5C．6.5D．7
8．定义运算“※”：．若，则的值为（ ）
A．B．或10C．10D．不存在
9．已知等腰，，若边上的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则等腰顶角的度数为（ ）
A．B．或C．D．或
10．如图，射线线段，垂足为，，垂足为，，，．点为射线上的一动点，当的周长最小时，（ ）
A．2.5B．3C．4D．4.5
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．计算： ．
12．若分式的值为0，则x的值为 ．
13．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则 ．
14．如图，等边的边长为12，点为上一点，于点，于点，连接．若．也是等边三角形，则的长 ．
15．如图，在中，，是的一个外角．
实验与操作：（1）作的平分线；（2）作线段的垂直平分线，与交于点，与边交于点，连接，；在（1）和（2）的条件下，若，则 ．

16．已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是 ．
17．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第次运算的结果 ．（用含字母的式子表示）
18．如图，中，，，．点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于、作于，当点运动 秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等．
三、解答题（本题有8个小题，共66分，解答要求写出文字说明证明过程或计算步骤）
19．分解因式：
(1)；
(2)．
20．解分式方程：
(1)；
(2)．
21．先化简，再求值：
，其中．
22．如图，，，三点在同一直线上，，，．

(1)求证：；
(2)请你探究：当满足什么条件时，．并证明它．
23．“母亲节”前夕，下冯商店根据市场调查，用3000元购进康乃馨盒装花，上市后很快售完，接着又用4200元购进蓝玫瑰盒装花．已知蓝玫瑰盒装花所购花的盒数是康乃馨盒装花所购花盒数2倍，且蓝玫瑰盒装花每盒花的进价比康乃馨每盒盒装花的进价少3元．
(1)求康乃馨盒装花每盒的进价是多少元？
(2)下冯商店响应习总书记“爱我母亲”的号召，商店决定再次购进康乃馨盒装花和蓝玫瑰盒装花两种盒装花，共1000盒，恰逢花市对这两种盒装花的价格进行调整：康乃馨盒装花每盒进价比第一次每盒进价提高了，蓝玫瑰盒装花每盒按第一次每盒进价的9折购进．如果下冯商店此次购买的总费用不超过8000元，那么，下冯商店最少要购买多少盒蓝玫瑰盒装花？
24．在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上．
(1)探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
(2)探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
(3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）
25．问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
特例证明：
（1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：；
拓展运用：
（2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
26．在平面直角坐标系中，点，，且，满足．
(1)_________，________．
(2)连接，为内一点，．
①如图1，过点作，且，连接，并延长交于．求证：点为线段的中点；
②如图2，点在的延长线上，连接、．若，点，求：．
参考答案与解析
1．C
解析：解：A．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图案是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．A
解析：．，故本选项符合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意．
故选：．
3．B
解析：解：、、分母中不含字母，不是分式；
分母中有字母，是分式，
故选：B．
4．C
解析：解：∵，，
∴．
在和中
∴．
∴，．
∴．
故选：C．
5．C
解析：解：设这个正多边的一个外角为，由题意得：
，
解得：，
．
这个正多边形是正八边形．
故选：C
6．B
解析：解：
，
∵的展开式中不包含项和项，
∴，
解得，
∴．
故选：B．
7．A
解析：解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，，
∴，
同理，
又，
∴．
故选：A．
8．D
解析：解：由题意得：
当时，，
即，经检验不符合题意；
当时，，
即，经检验不符合题意；
综上的值不存在．
故选：D
9．D
解析：解：如图，当是锐角三角形时，
，
垂直平分，，
；
如图，当是钝角三角形时，
，
垂直平分，，
，
；
综上所述，等腰顶角的度数为或，
故选：D．
10．B
解析：解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，
，
则，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
的周长，
当、、在同一直线上时，的周长最小，，
当的周长最小时，，
故选：B．
11．2
解析：解：，
故答案为：．
12．
解析：解：由题意可知：且，
解得且．
故答案为：．
13．
解析：解：点和关于轴对称，
，，
，，
，
故答案为：．
14．4
解析：解：为等边三角形，
．
为等边三角形，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
．
故答案为：4
15．
解析：解：设，
∵线段的垂直平分线，与交于点，与边交于点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
16．且
解析：解：去分母得：，
解得：，
关于的分式方程的解满足，
，，
解得：且，
的取值范围是且，
故答案为：且．
17．
解析：∵，
∴，
……
∴．
故答案为：．
18．2或7或24
解析：解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
解得：；
④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得．
，符合题意；
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动2或7或24秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：2或7或24．
19．(1)
(2)
解析：（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)
(2)
解析：（1）解：
，
解得：，
经检验，是原方程的解；
（2）
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
21．，
解析：解：
，
当时，原式．
22．(1)见解析
(2)当时，．理由见解析
解析：（1）证明：在和中
，
∴；
∴，，
∵，
∴．
（2）解：当时，．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
23．(1)康乃馨盒装花每盒的进价是10元/盒
(2)下冯商店此次最少要购买623盒蓝玫瑰盒装花
解析：（1）解：设康乃馨盒装花每盒的进价是元/盒，则蓝玫瑰盒装花每盒花的进价是元/盒，
由题意得：，
解之得：，
检验：时，，
原分式方程的解为：，
答：康乃馨盒装花每盒的进价是10元/盒；
（2）解：设此次可购买盒蓝玫瑰盒装花，则购进康乃馨盒装花盒，
由题意得：
解得，
是整数，
最小值等于623，
答：下冯商店此次最少要购买623盒蓝玫瑰盒装花．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出关于直线对称的，如图所示；
（2）作点关于直线对称点，连接，交于点，如图所示；
则的周长
点即为所求；
（3）解：延长交于点，则即为所求，如图所示：
．，，
，
，
，
，
．
即为所求边上的高．
25．（1）见解析；（2）存在，证明见解析
解析：解：（1）证明：将图中角进行命名：
，
与互为“顶补等腰三角形”，
，，
，
又，，
，，，
，
又，
，
在和中，
，
；
（2）存在．
证明：连接，取的中点，连接，，
，
，，
，
，
是的中点，
，．
，
又，，，
，
，
，
与互为“顶补等腰三角形”．
26．(1)，
(2)①见解析；②
解析：（1）解：∵，
∴，，
解得：，；
故答案为：3；．
（2）解：①连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
过点B作，交的延长线于点N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点为线段的中点；
②∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过点P作y轴的平行线，分别过M，B作于E，于F，交x轴于G，交y轴于H，连接，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，，
∴点P，E关于x轴对称，
∴，，
同理，点M，E关于y轴对称，
∴，
解得，即点M的坐标为，
∴
．