浙江省宁波市江北区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份浙江省宁波市江北区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，四象限B. 第一，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图形中，不是轴对称图形的为( )
A. B.
C. D.
2.下列各组线段，不能组成三角形的是( )
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
3.由能得到，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
5.能说明命题：“若，则”是假命题的反例是( )
A. B.
C. D. 为任意实数
6.在下面四个命题中，真命题的个数有( )
互相垂直的两条线段一定相交；
有且只有一条直线垂直于已知直线；
两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
A. 个B. 个C. 个D. 个
7.对于任意实数、，定义一种运算：@，例如@请根据上述定义解决问题：若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.一条直线，其中，，那么该直线经过( )
A. 第二、四象限B. 第一、二、三象限C. 第一、三象限D. 第二、三、四象限
9.某人骑自行车小时走了，若步行，则比骑自行车多用小时，那么骑自行车每小时比步行多走．( )
A. B. C. D.
10.如图，把一个大矩形分割成小块，其中号是正方形，其余都是矩形，且号和号全等，号的周长是号的倍，已知大矩形的面积，可以求出下列哪一个图形的面积( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的______性质．
12.如图，直角坐标系中，已知，，，请你在轴上找一点使和全等，则点的坐标是______写出一个即可
13.如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，当时，______填“”或“”．
14.的斜边的长为，则边上的中线长为______ ．
15.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，，按此规律进行下去，则点的横坐标是______．
16.如图，在中，，为中点将沿翻折，得到如图，为上一点，再将沿翻折，使得与重合如图，给出下列四个命题：；≌；；其中说法正确的是______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程不等式组
解方程组：
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18.本小题分
如图，，，，，垂足分别是，．
求证：≌；
猜想线段，，之间具有怎样的数量关系，并说明理由．
19.本小题分
如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中有线段，其中点、均在小正方形的顶点上．
在方格纸中画出以为底的钝角等腰三角形，且点在小正方形的顶点上；
将中的绕点逆时针旋转得到点的对应点是点，点的对应点是点，画出；
在的条件下，连接，请直接写出的面积．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积等于，长方形的面积等于，其中点、在轴上，点在轴上．
请直接写出点，点，点的坐标；
如图，将正方形沿轴向右平移，移动后得到正方形，设移动后的正方形与长方形重叠部分图中阴影部分的面积为；
当时，______；当时，______；当时，______；
当时，请直接写出的值．
21.本小题分
某文具店准备购进、两种品牌的文具袋进行销售，若购进品牌文具袋和品牌文具袋各个共花费元，购进品牌文具袋个和品牌文具袋各个共花费元．
求购进品牌文具袋和品牌文具袋的单价；
若该文具店购进了，两种品牌的文具袋共个，其中品牌文具袋售价为元，品牌文具袋售价为元，设购进品牌文具袋个，获得总利润为元．
求关于的函数关系式；
要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
22.本小题分
如图，两个形状，大小完全相同的含有，的三角板如图放置，，与直线重合，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转．
试说明：；
如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求．
如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中转到与重合时，三角板都停止转运，问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，把线段绕点顺时针旋转后得到线段，连结，．
当时，求点的坐标；
当值发生变化时，的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
当时，在轴上找一点，使得是等腰三角形，求满足条件的所有点的坐标．
答案和解析
1.
解析：解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.
解析：解：、，，，不能组成三角形，故本选项正确；
B、，，，能组成三角形，故本选项错误；
C、，，，能组成三角形，故本选项错误；
D、，，，能组成三角形，故本选项错误．
故选：．
根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键．
3.
解析：解：，
当时，，
故选：．
4.
解析：解：是的垂直平分线，，
，
，
故选B．
5.
解析：解：当时，，
是“若，则”是假命题的反例．
故选：．
据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
6.
解析：解：互相垂直的两条线段不一定相交，故本小题错误；
应为在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本小题错误；
应为，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题错误；
应为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故本小题错误；
综上所述，真命题的个数是．
故选：．
根据相交的定义，垂线的性质，平行线的性质，点到直线的距离的定义对各小题分析判断即可得解．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.
解析：解：根据题中的新定义化简不等式组得：
，
化简得：，
解得：，
不等式组有个整数解，即整数解为，，，
，
解得：．
故选：．
利用题中的新定义化简不等式组，根据不等式组有个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了实数的运算，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
8.
解析：解：，，
，
直线经过二、三、四象限，
故选：．
首先根据、得到、的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
9.
解析：解：由题意得：，
故选：．
根据速度路程时间，结合题中的条件即可求解．
本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系．
10.
解析：解：设号的长为，宽为，和的面积为；
由题意可知号的边长为，面积为；
号的长为，宽为，面积为；
号的长为，宽为，面积为；
大长方形的长为，宽为，面积为．
又因为已知，所以可求．
故选：．
首先设号的长和宽，再根据题意表示号的边长，进而得出号和号的边长，然后表示出面积，最后比较各图形的面积与大长方形面积可得答案．
本题主要考查了列代数式，根据各图形之间的关系表示出面积是解题的关键．
11.不稳定
解析：解：活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的不稳定性质，
故答案为：不稳定．
根据四边形的不稳定性解答即可．
此题考查三角形的稳定性，关键是根据四边形的不稳定性解答．
12.或
解析：解：设点的坐标为，
当点在轴正半轴上时，
≌，
，
又，，，
，
解得：，
此时点坐标为；
点在轴负半轴时，与点关于直线对称，
，
解得：，
此时点坐标为．
综上，点的坐标为或．
故答案为或．
分点位于轴正半轴和负半轴两种情况结合全等三角形的性质分析求解．
本题考查了全等三角形的判定性质，注意分情况讨论，理解全等三角形的性质是解题关键．
13.
解析：解：由图象知，当时，的图象在上方，
．
故答案为：．
由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．
14.
解析：解：的斜边的长为，
边上的中线长．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
15.
解析：解：，，
，，，
，
如图所示，过作于，则，
即的横坐标为，
由题可得，，
，
，
过作于，则，
即的横坐标为，
过作于，
同理可得，，，
即的横坐标为，
同理可得，的横坐标为，
由此可得，的横坐标为，
点的横坐标是，
故答案为：．
观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得的横坐标为．
16.
解析：解：将沿翻折，得到，
，
再将沿翻折，使得与重合，
，
，
；故正确；
假设≌，，
在中，，为中点，
，
，
，
而不一定等于，
与不一定全等；故错误；
假设，则，
在中，，为中点，
，
，
，
，
，
而不一定等于，
不一定垂直于；故错误；
，
，
，
，
，故正确．
故答案为：．
根据折叠的性质得到，，等量代换得到，求得；故正确；假设≌，根据全等三角形的性质得到，由直角三角形的性质得到，于是得到与不一定全等；故错误；假设，得到由直角三角形的性质得到，得到，推出不一定等于，得到不一定垂直于；故错误；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据三角形的内角和得到，故正确．
本题考查命题与定理，正确进行推理是解题关键．
17.解：，
得，
解得，
把代入得，解得，
所以方程组的解为；
，
解得，
解得，
所以不等式组无解，
用数轴表示为：．
解析：利用加减消元法解方程组；
分别解两个不等式得到和，然后根据大大小小找不到确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集．
本题考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18.证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，
理由如下：≌，
，，
．
解析：根据同角的余角相等得到，利用定理证明≌；
根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可．
本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19.解：如图所示，等腰三角形即为所求；
如图所示，即为所求；
如图，连接，的面积为．
解析：依据为等腰三角形的底边，的长为，即可得到点的位置，进而得出钝角等腰三角形；
依据绕点逆时针旋转，即可得到；
连接，运用割补法即可得出的面积．
本题考查了在网格中画旋转图形以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20.
解析：解：正方形的面积等于，
，
长方形的面积等于，
，
，，．
当时，重叠部分是长方形，，
当时，重叠部分是正方形，，
当时，重叠部分的面积，
故答案为：，，．
当重叠部分的面积为时，或，
或．
利用正方形的面积，长方形的面积分别求出，，可得结论．
判断出重叠部分的长方形的长，宽的值，可得结论．
根据重叠部分的面积为，构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，长方形的性质，平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21.解：设购进品牌文具袋的单价为元，品牌文具袋的单价为元，
，得
答：购进品牌文具袋的单价为元，品牌文具袋的单价为元；
由题意可得，
，
即关于的函数关系式为；
所获利润不低于进货价格的，
，
解得，，
为整数，，
当时，取得最大值，此时，，
答：购进品牌文具袋个，品牌文具袋个时，可以获得最大利润，最大利润是元．
解析：根据购进品牌文具袋和品牌文具袋各个共花费元，购进品牌文具袋个和品牌文具袋各个共花费元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进品牌文具袋和品牌文具袋的单价；
根据题意，可以写出关于的函数关系式；
根据所获利润不低于进货价格的，可以得到，从而可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22.解：因为，，，
所以；
设，，
则，
因为，
所以，
所以
所以
不变．
设运动时间为秒，则，
所以，，．
所以，
所以．
解析：本题考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．
利用含有、的三角板得出，进而求出即可；
设，，则，进而利用求出即可；
首先得出值不变，设运动时间为秒，则，表示出和的度数即可得出答案．
23.解：如图，

当时，，
当时，，
，
当时，，
，
，
作于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
的面积不变，理由如下：
由知：，，
；
，
，
，
，
，
，
当时，
或，
或，
如图，

当时，
，
，
点；
如图，

当时，
，
，
，
综上所述：点或或或．
解析：证明≌，求得和的长，从而得出点坐标；
由得，，可求得三角形的面积不变；
由条件求得，的长，是等腰三角形，分为三种情形：，，，当时，设点坐标，根据列出方程求得，当时，可根据长度直接求得，当时，根据等腰三角形“三线合一”求得结果．
本题是以一次函数为背景的综合题，考查了由函数及其图象求点的坐标，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和分类等知识，解决问题的关键是正确分类，利用好等腰三角形性质及列方程求解．