第二十三章 旋转（知识清单）原卷版+解析版

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第二十三章 旋转（知识清单）一、学习目标1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.2 了解中心对称和中心对称图形的概念并理解它的基本性质.3 掌握关于原点对称的两点的关系并应用.重点：1 掌握二次函数的图象特征及其性质.2 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法.难点：1 图形旋转的基本性质的归纳与运用.2 中心对称的基本性质的归纳与运用.二、学习过程【章节介绍】让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，探索图形旋转基本性质，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识.让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，享受学习乐趣，学生运用所学知识进行图案设计活动，激发学习热情.【知识梳理】一 旋转的概念： 在平面内，将一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角.二 旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等.2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前、后的图形全等.三 简单旋转作图的一般步骤：1)找出图形的关键点；2)确定旋转中心，旋转方向和旋转角；3)将关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个角，得到关键点的对应点；4)按照原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形．四 中心对称的概念：把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.1）这个点叫做对称中心.2）这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.五 中心对称的性质：1)中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心所平分.2)中心对称的两个图形是全等形.六 利用中心对称的性质作图的基本步骤：1.作点的中心对称：先连接点和对称中心，然后延长一倍；2.做图形的中心对称：先确定好图形的特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等），再作特殊点的对称点，然后顺次连接.七 中心对称图形的概念：如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点. 八 中心对称图形的性质：中心对称图形上每一对对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.九 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P＇(-x，-y)。十 在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤：1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；2）写出关键点关于原点对称的点坐标；3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.【考点解读】考查题型一 画旋转图形1．图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．【详解】解：（1）如下图所示，△A1B1C1为所求；（2）如下图所示，△A2B2C1为所求；2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点分别是A-5,1，B-1,3，C-1,1．(1)平移△ABC，使得点A的对应点A1的坐标为1,3，画出平移后的△A1B1C1；(2)将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2；(3)若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P坐标为______．【详解】（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，（3）已知A1的坐标(1,3)，根据图形可知A2的坐标为：(5,-1)，则P点横坐标为：，P点的纵坐标为：3-12=1，点P的坐标(3,1)．故答案是：（3，1）3．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．(1)平移△ABC，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣1，﹣1），则点C的对应点C1的坐标为 ；(2)将△ABC绕原点旋转180°得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2；(3)M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接MN，若MN＝1，点D（0，﹣1）为y轴上的一点，连接DM、CN，则DM＋CN的最小值为 ．【详解】（1）解：∵平移△ABC，使得点A（1，3）的对应点A1的坐标为（﹣1，﹣1），∴平移方式为：将△ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，∴点C（2，1）的对应点C1的坐标为（0，－3），故答案为：（0，－3）；（2）△A2B2C2如图所示：（3）如图，取点D′（1，−1），连接CD′交x轴于点N′，∵M′N′＝DD′＝1，且M′N′∥DD′，∴四边形M′N′D′D是平行四边形，∴DM′＝D′N′，∴DM′＋CN′＝D′N′＋CN′＝CD′，∴DM＋CN的最小值为CD′＝，故答案为：5．考查题型二 旋转综合题1．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．【详解】（1）证明：如图，∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF；（2）解：如图，∵四边形ABDF为菱形，∴DF＝AF＝2，DF∥AB，∴∠1＝∠BAC＝45°，∴△ACF为等腰直角三角形，∴CF＝2AF＝22，∴CD＝CF﹣DF＝22﹣2．2．如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=4.3，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．（1）旋转中心是______，旋转角为______°；（2）请你判断△DFE的形状，简单说明理由；（3）四边形DEBF的面积为 ．【详解】解：（1）由旋转可得，旋转中心是点D；旋转角为∠ADC=90°，故答案为点D，90；（2）△DFE是等腰直角三角形．；理由：根据旋转可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°，所以△DFE是等腰直角三角形．；（3）根据旋转可得：△ADE≌△CDF，∴四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=4×4=16．3．如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．  （1）证明：⊿ABC ≌ ⊿DCB；（2）求∠AEB的大小．（3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．【详解】证明：(1)∵AO=DO，且ΔAOB、ΔDOC都为等边三角形，∴CO=BO,∠COD=∠BOA=60∘,∴∠COB=60∘，∴ΔCOB为等边三角形，∴∠DCB=∠ABC=120∘,在ΔABC和中，AB=CDBC=BC∠DCB=∠ABC,∴ΔABC≌ΔDCB;(2)如图所示：  ∵△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60∘，∴∠4=∠5，又∵∠4+∠5=∠2=60∘，∴∠4=30∘，同理∠6=30∘，∵∠AEB=∠4+∠6， ∴∠AEB=60∘.(3)如图所示：  ∵△DOC和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60∘. 又∵OD=OA， ∴OD=OB，OA=OC， ∴∠4=∠5，∠6=∠7， ∵∠DOB=∠1+∠3， ∠AOC=∠2+∠3， ∴∠DOB=∠AOC. ∵∠4+∠5+∠DOB=180∘,∠6+∠7+∠AOC=180∘，∴2∠5=2∠6，，又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠6-∠5=∠2+∠5-∠5=∠2， ∴∠AEB=60∘.4．如图，将RtΔADF绕着点A顺时针旋转90°得到，射线EB与DF相交于点C，∠D=90°，求证：四边形ABCD为正方形．【详解】证明：∵将RtΔADF绕着点A顺时针旋转90°得到，∴∠EAF=90°,△ADF≌△ABE，∴∠EAB=∠FAD，AB=AD，∵∠D=90°，∴∠ABE=90°，∴∠ABC=90°，∵∠EAB+∠BAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．5．探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在BC、CD上，∠EAF=45°． （1）①如图 1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程； ②如图 2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系_______时，仍有EF=BE+DF;（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【详解】（1）①如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG∴△EAF≌△GAFSAS，∴EF=GF，∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； ②∠B+∠D=180°，理由是：把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合， 则AE=AG，，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴C，D，G在一条直线上， 和①知求法类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180° （2）∵△ABC中，AB=AC=22，∠BAC=90 ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=AB2+AC2=(22)2+(22)2=4 ，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF． 则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD和△EAD中AD=AD∠FAD=∠EADAF=AE ∴△FAD≌△EAD， ∴， 设DE=x，则DF=x， ∵BD=1， ∴BF=CE=4-1-x=3-x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°， 由勾股定理得：DF2=BF2+BD2， x2=(3-x)2+12，解得：x=53， 即DE=53．6．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形22OA