吉林省“三区九校”2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份吉林省“三区九校”2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，1，36， 已知事件则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的共轭复数是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 如图，正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
4. 从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为（a，b），则为正整数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位:℃），
高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（单位:℃）
则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（ ）
A. 36.3，36.7B. 36.3，36.8C. 36.25，36.7D. 36.25，36.8
6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
7. 随着卡塔尔世界杯的举办，全民对足球的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度”进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成5组，其中第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40），第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组与第五组共有150人，第二组中女性球迷有75人，则第二组中男性球迷的人数为（ ）
A. 140B. 120C. 100D. 80
8. 已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在上的投影向量为
C. 与共线的单位向量的坐标为
D. 向量，夹角余弦值为
10. 已知事件则下列说法正确的是（ ）
A. 若则 B. 若互斥，则
C 若独立，则D. 若独立，则
11. 已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），，，，将沿DE折起，使得（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（ ）

A.
B. 点D到平面AMC的距离为
C. ∥平面ACD
D. 四面体ABCE的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆台的上，下底面半径分别为2和6，母线长为8.则该圆台的表面积为______.
13. 已知事件、互斥，，且，则_______.
14. 如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为______m.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知z是复数，z+1为纯虚数，的实部为2（i为虚数单位）.
（1）求复数z;
（2）求模.
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
17. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：

（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5 名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
18. 在四棱锥中， 平面，，分别为，的中点，.

（1）求证:平面 平面;
（2）求二面角 的大小.
19. 国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
（1）某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17 个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
（2）小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；
（3）现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小.行政区
门类
个数
东城区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
3
C：古建筑及历史纪念建筑物
5
西城区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
丰台区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
1
海淀区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
房山区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
E：古遗址
1
昌平区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
F：古墓葬
1
2023~2024学年度下学期高一期末考试
数 学 试 卷
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的共轭复数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.
【详解】而的共轭复数是
故选：B.
2. 已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用单位向量的定义与向量数量积运算即可得解.
【详解】对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同，
所以不一定成立，故A错误；
对于B，，显然不一定成立，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
3. 如图，正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则，确定原图形的底和高，求出它的面积即可．
【详解】在直观图中，，
所以在原图中，如图，
所以原图形的面积是．
故选：C．
4. 从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为（a，b），则为正整数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用列举法利用古典概型计算即可.
【详解】从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为，共有20个基本事件，分别为，，
记“为正整数”为事件A，
所以事件A包含3个基本事件：，
故其概率为．
故选:A．
5. 为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位:℃），
高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（单位:℃）
则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（ ）
A. 36.3，36.7B. 36.3，36.8C. 36.25，36.7D. 36.25，36.8
【答案】B
【解析】
【分析】利用百分位数的定义进行求解.
【详解】，
故从小到大，选取第3个数据作为高三（一）班这组数据的第25百分位数，即36.3；
，故从小到大，选取第8个和第9个数据的平均数作为第80百分位数，
即.
故选：B．
6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
7. 随着卡塔尔世界杯的举办，全民对足球的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度”进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成5组，其中第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40），第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组与第五组共有150人，第二组中女性球迷有75人，则第二组中男性球迷的人数为（ ）
A 140B. 120C. 100D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】由频率分布直方图求出第四组与第五组的频率之和，即可求出样本容量，再求出第二组的人数，即可得解.
【详解】由题意结合频率分布直方图可得，第四组与第五组的频率之和为，
第二组频率为．
因第四组与第五组共有150人，所以样本容量，
所以第二组人数为，所以第二组中男性球迷人数为．
故选：C．
8. 已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理得到，由两边平方得，由基本不等式求出.
【详解】因为，所以，
由正弦定理得，可得，即，
所以，
又，则，
是的中点，，故，
两边平方得，
，故，
其中，故（当且仅当时符号成立），
解得．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在上的投影向量为
C. 与共线的单位向量的坐标为
D. 向量，夹角的余弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据投影向量的定义即可判断B；根据共线向量及单位向量的定义即可判断C；根据向量夹角的坐标公式即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，在方向上的投影向量，故B错误；
对于C，与共线的单位向量为，即或，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：AD．
10. 已知事件则下列说法正确的是（ ）
A. 若则 B. 若互斥，则
C. 若独立，则D. 若独立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用概率的性质及互斥事件和独立事件的概念,可以作出判断.
【详解】若，则，故A正确；
因为A，B互斥，所以，故B正确；
因为A，B独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故C错误；
因为A，B独立，所以，故D正确．
故选:ABD．
11. 已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），，，，将沿DE折起，使得（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（ ）

A
B. 点D到平面AMC的距离为
C. ∥平面ACD
D. 四面体ABCE的外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：在图1中，过作，连接，易证平面，进而可得；对于B：到平面的距离即为到平面的距离，设点到平面的距离为，根据，求解即可；对于C：假设∥平面，从而得到平面∥平面，结合题意分析判断；对于D：连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球表面积即可.
【详解】对于选项A：在图1中，过作，如图所示：
，
因为，所以四边形是矩形，
因为，所以，
因为四边形是等腰梯形，，所以，
因为，所以.
连接，则，
因为，所以，得，则.
在图2中，

因为，，，平面，
所以平面，且平面，所以，
且，平面，所以平面，
由平面，可得，故A正确；
对于选项B：因为，可得，
所以，，
因为到平面的距离即为到平面的距离，
设点到平面的距离为，
由，可得，解得，故B正确；
对于选项C：假设∥平面，
因为∥，平面，平面，则平面，
又因为，平面，所以平面∥平面，
与已知条件矛盾，故C错误；
对于选项D：连接，如图所示：

因为，为直角三角形，且为的中点，
所以，即为四面体的外接球的球心，
所以四面体的外接球的半径为，
则四面体的外接球表面积为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆台的上，下底面半径分别为2和6，母线长为8.则该圆台的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆台的表面积公式即可求解.
【详解】由题意知该圆台的表面积为：．
故答案为：
13. 已知事件、互斥，，且，则_______.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由已知事件、互斥，且，可求，
进而根据对立事件概率公式得到答案.
【详解】解：事件、互斥，且，

解得,
.
故答案为：.
14. 如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为______m.
【答案】
【解析】
【分析】过作于点，根据三角函数的定义，分别求得，和的长，再在中，由，结合两角差的正切公式，推出的长，然后由，求解即可．
【详解】过作于点，则四边形是矩形，
在中，，
所以，
在中，，，
所以，
所以，，
所以，
在中，
，
而，
所以，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知z是复数，z+1为纯虚数，的实部为2（i为虚数单位）.
（1）求复数z;
（2）求的模.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，由已知条件列方程求出即可；
（2）由复数的乘法化简，再由模长公式计算即可.
【小问1详解】
设，
由为纯虚数，则，得
由的实部为2，则，
所以；
【小问2详解】
，
．
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据正弦定理求出，再由，得；
（2）由已知条件及正弦定理得，根据余弦定理得，求出，最后根据面积公式计算即可.
【小问1详解】
因为，，
所以由正弦定理得,
，
又，所以，
又，
所以.
【小问2详解】
由，则，
故，，所以，
所以，
又，整理得，
则，
解得，
所以的面积为．
17. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：

（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5 名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
【答案】（1）71.5分；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布表求出，再求出样本平均数，并估计该校高一期中数学考试成绩的平均数.
（2）求出在和内抽取的人数，再用列举法求出概率即得.
【小问1详解】
由，得，
数学成绩在频率依次为：，
样本平均值为：，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计71.5分.
【小问2详解】
依题意，分数段内人数为，分数段内人数为，
按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽2人，记为，在分数段内抽3人，记为，
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件A，
则样本空间，共10个样本点，
而A的对立事件，有1个样本点，于是，
所以抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为.
18. 在四棱锥中， 平面，，分别为，的中点，.

（1）求证:平面 平面;
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由可得，利用和，可证平面，进而可得，再结合中位线得到，再利用，可得，进而得证平面，利用面面垂直判定得出结果.
（2）取的中点，连接，取的中点，连接，由题得平面，又，可得，进而是二面角的平面角，利用三角形中边长的关系即可得出结果.
【小问1详解】
，
，
平面平面，
又，
平面，
又在中，分别为中点，
故，
又，
又是中点，，
又
平面，平面，
∴平面平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，取的中点，连接，
由平面，可得平面，
又，可得，
因为是斜线在平面上的射影，
可得，
所以是二面角的平面角，
二面角的平面角与互补，
则在中，设，
由，
可得，
在直角三角形中，，
可得，
即有，
则二面角的大小为．

19. 国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
（1）某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17 个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
（2）小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；
（3）现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用古典概型计算；
（2）应用独立事件计算即可；
（3）应用互斥事件及独立事件计算即可；
【小问1详解】
设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件C，
由题意知总共有17个，“C:古建筑及历史纪念建筑物”有11，
所以；
【小问2详解】
设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，
所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为，
所以；
【小问3详解】
当抽到的2个都是海淀区的概率为，
当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为，
所以，
所以．
行政区
门类
个数
东城区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
3
C：古建筑及历史纪念建筑物
5
西城区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
丰台区
A：革命遗址及革命纪念建筑物
1
海淀区
C：古建筑及历史纪念建筑物
2
房山区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
E：古遗址
1
昌平区
C：古建筑及历史纪念建筑物
1
F：古墓葬
1