广西南宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广西南宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整活，设为函数的极值点，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。

试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．考查范围：高中全部内容。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考生必须保持答题卡的整活。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．已知随机变量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（ ）
A．B．C．3或D．3或
5．已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．设为函数的极值点，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线l与圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点，则|MN的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A．B．
C．在复平面上对应的点位于第三象限D．
10．已知为定义在R上的奇函数，为定义在R上的偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，若方程有6个根，则a的值可能为（ ）
A．0B．C．D．1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2024年高考于6月7日正式开考，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为11，12，12，13，13，14，14，15，15，16，17，18，则该组数据的第75百分位数为______．
13．若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为______．
14．某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台，记该正四棱台为，经测量其体积为，上底面，下底面ABCD的边长分别为2，4，记AC，BD交于点O，，，交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数，记为的导函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的最值．
16．（15分）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明．小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立。
（1）分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率；
（2）求三人中至少有两人成功解出这道题的概率．
17．（15分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且，底面ABCD，点E满足．
（1）证明：平面PAC；
（2）求平面ABE与平面BDE的夹角的大小．
18．（17分）已知抛物线的焦点F在直线上．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上．
19．（17分）若数列满足，，且，则称数列为“正余弦错位数列”．已知数列为“正余弦错位数列”．
（1）若，求；
（2）证明：数列为等差数列．
2023-2024学年南宁市高二年级下学期期末考调研测试
高二数学参考答案
1．【答案】A
【解析】由题意可得，，
所以，故中元素的个数为4．故选A．
2【答案】D
【解析】由题意得，解得．故选D．
3．【答案】B
【解析】因为，所以，解得，
故．故选B．
4．【答案】D
【解析】若椭圆的焦点在x轴上，则离心率，得，
此时半焦距，若椭圆的焦点在y轴上，
则离心率，得，
此时半焦距，所以该椭圆的半焦距为3或．故选D．
5．【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，，
即，，，
．故选B．
6．【答案】C
【解析】因为，则由余弦定理可得，当且仅当时取等号．
又，所以．故选C．
7．【答案】B
【解析】由．得，，
设，则，
所以在上单调递减，又，，
由零点存在定理知，存在，使得．故选B．
8．【答案】C
【解析】设，，MN的中点，
则，．又，，
则，
所以．
又以MN为直径的圆过点，则，
而，，所以，
即，整理得，所以Q在圆心为、半径为的圆上．
又，所以点O在圆外，
则，所以．故选C．
9．【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】，故A正确；
，故B错误；
，其在复平面内对应的点为，位于第三象限，故C正确；
，故D正确．故选ACD．
10．【答案】ABC（每选对1个得2分）
【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，，
对于A．，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．故选ABC．
11．【答案】BC（每选对1个得3分）
【解析】由解得，此时，
由解得，此时，
所以
作出的图象如图所示，由方程有6个根，
可知有4个不同的实根，有2个不同的实根，
所以解得．故选BC．
12．【答案】15.5
【解析】因为，所以这组数据的第75百分位数是．
13．【答案】3
【解析】由题意设，则，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值3．
14．【答案】 （第一空2分，第二空3分）
【解析】如图，连接，则底面ABCD，由题意可得，，
该正四棱台的体积，
，连接，故
四棱台外接球的球心在的延长线上，设，
则，，
，由，
得，解得，，
即球的半径，球的表面积为．
15．解：（1）由题得，则，又，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）令，则，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，故的最小值为2，无最大值．
16．解：（1）设小明、小王、小红成功解出该道题分别为事件A，B，C，
根据题意，则有，则，又，所以，即，
又，．
即小王、小红成功解出这道题的概率分别为，．
（2）设三人中至少有两人成功解出这道题为事件D，
则有
所以三人中至少有两人成功解出这道题的概率为．
17．（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，又，PA，平面PAC，所以平面PAC．
（2）解：平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
所以AP，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，
AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面ABE的法向量为，则
解得，令得，故，
设平面BDE的法向量为，
则解得，令得，故，
设平面ABE与平面BDE的夹角为，
所以．
又．所以，故平面ABE与平面BDE的夹角为．
18．（1）解：由题意可得，所以，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）证明；设直线MN的方程为：，
设，，，不妨设，
联立直线MN与抛物线C的方程
可得，由，得，又，
所以且，，，
因为，则有，
整理可得，即，
所以，又点Q在直线MN上，所以，消m得，
由且得且，
所以点Q在定直线：（且）上．
19．（1）解：当时，由，知．
又由，知．
所以，又，符合题意．
同理，由，，得或．
又或，所以.
由，，得，又，符合题意．
（2）证明：由，得，
所以或，
即或．
因为，所以，．
所以，，
所以或或．
又，所以，
，
所以，
所以数列是公差为的等差数列．