§5.2　向量基本定理及坐标表示 课件-2025高考数学一轮复习

这是一份§5.2　向量基本定理及坐标表示 课件-2025高考数学一轮复习，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，不共线，有且只有，λ1e1＋λ2e2，正交分解，λx1λy1，－215，探究核心题型，所以c＝3a－2b，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个　　　　向量，那么对于这一平面内的任一向量a，　　　　　一对实数λ1，λ2，使a＝ .我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组 .2.平面向量的正交分解平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的 .当e1，e2所在直线互相 时，这种分解也称为向量a的 .
3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝_______________，a－b＝_______________，λa＝__________，|a|＝_________.
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则　　　坐标即为向量的坐标.
(x2－x1，y2－y1)
4.平面向量共线的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔_______________.
x1y2－x2y1＝0
1.若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(　　)(2)基底中可以含有零向量.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变.(　　)
2.若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能构成平面内所有向量的一组基底的是A.e1与e1＋e2 B.e1－2e2与2e1＋e2C.e1－2e2与e1＋2e2 D.e1－e2与e2－e1
因为e2－e1＝－(e1－e2)，故e1－e2与e2－e1共线，不能构成基底.
3.若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m等于
4.(2023·石嘴山模拟)已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是__________.
设点O为坐标原点，∵点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，
∴点P的坐标为(－2,15).
题型一　平面向量基本定理的应用
例1　(1)设e1，e2为平面内的一组基底，则下面四组向量中不能作为基底的是
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
跟踪训练1　(1)平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是A.向量a，b的方向相同B.向量a，b中至少有一个是零向量C.向量a，b的方向相反D.当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0
因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A，B，C不正确；因为a，b不共线，所以当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0，故D正确.
如图，取CD中点G，连接BG，交AC于点H，∵BE＝DG，BE∥DG，∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，又E为AB中点，∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，
题型二　平面向量的坐标运算
设点P的坐标为(x，y)，∵A(－1,2)，B(3,0)
在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
跟踪训练2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于
∵a－2b＋3c＝0，
∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底a，b表示c，则A.c＝2a－3b B.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2b D.c＝3a－2b
则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
题型三　向量共线的坐标表示
例3　(1)(2023·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝______.
a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，则a＋2b＝(－1＋2m，－4)，由题意得(a＋2b)∥a，
(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交点坐标为________.
建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(0,4)，E(1,0)，F(1,2)，设AF与CE交点为D(x，y)，
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3　(1)(2024·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cs α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为
因为a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，所以a＋b＝(4，sin α)，又c＝(2，cs α)且(a＋b)∥c，
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为______.
∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
设点D的坐标为(x，y)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
∴点D的坐标为(2,4).
一、单项选择题1.下列各组向量中，e1，e2不能作为平面的一组基底的是A.e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2)B.e1＝(4，－2)，e2＝(－2,1)C.e1＝(3,3)，e2＝(－1,1)D.e1＝(2,3)，e2＝(－1,3)
对于A，C，D，因为两向量不共线，所以e1，e2能作为一组基底；对于B，因为e1＝－2e2，所以e1∥e2，所以e1，e2不能作为一组基底.
2.(2024·齐齐哈尔模拟)已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x等于
3.(2023·洛阳模拟)已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝　　 ，则a等于A.(－6,4) B.(－4,6)C.(4，－6) D.(6，－4)
∵a与b的方向相反，∴a＝λb(λ