重庆市巴南区2022-2023学年数学九上期末经典试题含解析

这是一份重庆市巴南区2022-2023学年数学九上期末经典试题含解析，共20页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，二次函数y=﹣，方程的解是等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，为线段上一动点（点不与点、重合），在线段的同侧分别作等边和等边，连结、，交点为．若，求动点运动路径的长为（ ）
A．B．C．D．
2．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A．2B．C．D．1
3．已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=1．则a+b之值为何？（ ）
A．1B．9C．16D．21
4．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S3＜S1＜S2
D．S1＝S2 ＝S3
5．用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A．B．C．D．
6．已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A．B．2C．D．
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )
A．B．C．D．
9．方程的解是（ ）
A．B．，C．，D．
10．如图，在扇形纸片AOB中，OA =10，ÐAOB=36°，OB在直线l上．将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动)，当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知点A关于原点的对称点坐标为(﹣1，2)，则点A关于x轴的对称点的坐标为_________
12．如图，已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果AD：DB=1：2，则CE：CF的值为____________．
13．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有________．
14．已知是方程的根，则代数式的值为__________.
15．已知在反比例函数图象的任一分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是______．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为_____．
17．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，连接BB′，则∠BAC′的度数为_____°．
18．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为__
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线经过点A．
（1）求曲线的表达式；
（2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线围成的封闭区域为图象G．
①当时，直接写出图象G上的整数点个数是 ；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G包含边界．）
②当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．
20．（6分）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？
21．（6分）某中学为数学实验“先行示范校”，一数学活动小组带上高度为1.5m的测角仪BC，对建筑物AO进行测量高度的综合实践活动，如图，在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角为30°，然后前进40m至DE处，测得顶点A的仰角为75°.
（1）求∠CAE的度数；
（2）求AE的长（结果保留根号）；
（3）求建筑物AO的高度（精确到个位，参考数据：,）.
22．（8分）如图，在A岛周围50海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续正东方向航行40海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：）
23．（8分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，经试销发现，每天的销售量(件)与销售单价（元）的关系符合次函数．
（1）如果要实现每天2000元的销售利润，该如何确定销售单价？
（2）销售单价为多少元时，才能使每天的利润最大？其每天的最大利润是多少？
24．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；
(3)若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．
25．（10分）某商场今年2月份的营业额为万元，3月份的营业额比2月份增加，月份的营业额达到万元．求3月份到5月份营业额的平均月增长率．
26．（10分）如图，正方形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，点B在双曲线（x＜0）上，点D在双曲线（x＞0）上，点D的坐标是 （3，3）
（1）求k的值；
（2）求点A和点C的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据题意分析得出点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，过点P作OP⊥AB，取AQ的中点E作OE⊥AQ交PQ于点O，连接OA，设半径长为R，则根据勾股定列出方程求出R的值，再根据弧长计算公式l=求出l值即可.
【详解】解：依题意可知，点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，如图所示，连接PQ，取AQ的中点E作OE⊥AQ交直线PQ于点O，连接OA，OB.
∵P是AB的中点，
∴PA=PB=AB=6=3.
∵和是等边三角形，
∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°，
∴AP=PD，∠APD=120°.
∴∠PAD=∠ADP=30°，
同理可证：∠PBQ=∠BCP=30°，
∴∠PAD=∠PBQ.
∵AP=PB,
∴PQ⊥AB.
∴tan∠PAQ==
∴PQ= .
在Rt△AOP中，

即
解得：OA= .
∵sin∠AOP===
∴∠AOP=60°.
∴∠AOB=120°.
∴l=== .
故答案选B.
【点睛】
本题考查了弧长计算公式，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性较强，明确点Q的运动轨迹是一段弧是解题的关键.
2、B
【解析】试题解析：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
故选B.
3、A
【解析】分析：判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；
详解：如图，
由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，
∴a+b=1，
故选A．
点睛：本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．
4、D
【分析】由于P1、P2、P3是同一反比例图像上的点，则围成的三角形虽然形状不同，但面积均为．
【详解】根据反比例函数的k的几何意义，△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O的面积相同，均为，所以S1=S2=S3，故选D．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，而围成的三角形的面积为，本知识点是中考的重要考点，应高度关注．
5、D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
6、C
【分析】根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】解：①由图象可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确；
②∵抛物线过，∴时，，故②正确；
③顶点坐标为：.由图象可知：，∵，∴，即，故③错误；
④由图象可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
7、D
【解析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为1m为负数，最大值为1n为正数．将最大值为1n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）1+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，
解得：m=﹣1．
当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5， 解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，
解得：m=﹣1．
当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5， 解得：n=，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
1m=-（n-1）1+5，n=，
∴m=，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣1+=．
8、D
【解析】如图，∠ABC所在的直角三角形的对边AD=3，邻边BD=4，
所以，tan∠ABC= ．
故选D．
9、B
【分析】用因式分解法求解即可得到结论．
【详解】∵x2﹣3x=0，
∴x(x﹣3)=0，
则x=0或x﹣3=0，
解得：，．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．
10、A
【分析】点O所经过的路线是三段弧，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
【详解】由题意得点O所经过的路线长.
故选A.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握弧长公式：，注意在使用公式时度不带单位.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (1，2)
【分析】利用平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，求出点A的坐标，再利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出A点关于x轴的对称点的坐标．
【详解】解：∵点A关于原点的对称点的坐标是（-1，2），
∴点A的坐标是（1，-2），
∴点A关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12、
【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.
【详解】解：如图，连接DE,DF,
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,
由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF
∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,
∴∠BDF+60°=∠AED+60°,
∴∠BDF=∠AED,
∵∠A=∠B,
∴△AED∽△BDF,
∴ ,
设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,
∴AC=BC=3x,
∵,
∴
∴
∴,
∴.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.
13、6
【解析】符合条件的最多情况为：
即最多为2+2+2=6
14、1
【分析】把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：把代入，得，
解得，
所以．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题时运用整体代入思想．
15、
【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．
16、2
【解析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点，
∴，抛物线的对称轴为
∴顶点坐标为，点坐标为
∵点为线段的中点，
∴点坐标为
设直线解析式为（为常数，且）
将点代入得
∴
将点代入得
解得
故答案为：2
【点睛】
考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.
17、1
【分析】由图形选择的性质，∠BAC＝∠B′AC′则问题可解.
【详解】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，
∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，
∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝1°，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了图形旋转的性质，解答关键是应用旋转过程中旋转角不变的性质.
18、1
【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=-2（x-1）2+1．根据二次函数的性质来求最值即可．
【详解】解：∵y=﹣x2+x+2，
∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，
解得 x=2或x=﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+1．
∴当x=1时，C最大值=1．
即：四边形OAPB周长的最大值为1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征．设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+1．最后根据根据二次函数的性质来求最值是关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）y=；（2）①3；②-1≤a-
【分析】（1）由题意代入A点坐标，求出曲线的表达式即可；
（2）①当时，根据图像直接写出图象G上的整数点个数即可;
②当图象G内只有3个整数点时，根据图像直接写出a的取值范围．
【详解】解：（1）∵A（1,1），
∴k=1，
∴．
（2）①观察图形时，可知个数为3；
②观察图像得到．
【点睛】
本题考查反比例函数图像相关性质，熟练掌握反比例函数图像相关性质是解题关键.
20、
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0).
∵图象经过点（2，-2），
∴-2=4a，
解得：.
∴.
当y=-3时，.
答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．
21、（1）45°；（2）；（3）29.
【分析】（1）先根据测得顶点A的仰角为75°，求出∠AEC的度数进而求∠CAE的度数；
（2）延长CE交AO于点G，过点E作EF⊥AC垂足为F．解直角三角形即可得到结论；
（3）根据题干条件直接解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）由测得顶点A的仰角为75°，可知∠AEC=180°-75°=105°，又顶点A的仰角为30°即∠ACE=30°，所以∠CAE=180°-105°-30°=45°；
（2）延长CE交AO于点G，过点E作EF⊥AC垂足为F．
由题意可知：∠ACG=30°，∠AEG=75°，CE=40，
∴∠EAC=∠AEG-∠ACG=45°，
∵EF=CE×Sin∠FCE=20，
∴AE=，
∴AE的长度为m；；
（3）∵CF=CE×cs∠FCE=，AF=EF=20，
∴AC=CF+AF=+20，
∴AG=AC×Sin∠ACG=，
∴AO=AG+GO=+1.5=≈29，
∴高度AO约为29m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
22、无触礁的危险．
【分析】根据已知条件解直角三角形OAC可得A岛距离航线的最短距离AC的值，若AC>50，则无触礁危险，若AC<50，则有触礁危险．
【详解】解由题意得：∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACO=90°， OB=40
∠BAC=45°，AC=BC
在Ｒt△OAC中，∠ACO=90°，∠AOC=30°，tan∠AOC=，
∴，
∴，．
因此无触礁的危险．
【点睛】
本题考查解直角三角形，由题意画出几何图形把实际问题转化为解直角三角形是解题关键．
23、（1）100元；（2）当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．
【分析】（1）根据题意列出方程，解一元二次方程即可；
（2）先根据利润=每件的利润×销售量表示出利润，然后利用二次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）依题意得：，
解得或（不合题意）．
（2）若每天的利润为元，
则
，
∴当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握解一元二次方程的方法和二次函数的性质是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定定理，就可以证明题目结论；
（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质定理，解答即可；
（3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式求出AM的值，结合，即可求解．
【详解】（1）∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∵DE=DE，
∴△BDE≌△EDC（SAS），
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）∵AD=AC，AM⊥DC，
∴DM=DC，
∵BD=DC，
∴，
∵DE⊥BC，AM⊥BC，
∴DE∥AM，
∴．
（3）过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴，
∵S△FCD=5，
∴S△ABC=20，
又∵BC=10，
∴AM=1．
∵DE∥AM，
∴
∴，
∴DE=．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质定理，等腰三角形的性质定理，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25、
【解析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设3月份到5月份营业额的平均增长率是x，则四月份的营业额是400（1+10%）（1+x），5月份的营业额是400（1+10%）（1+x）2，据此即可列方程求解．要注意根据实际意义进行值的取舍．
【详解】设月份至月份的营业额的平均月增长率为．
依题意，得: ．
整理得: ．
解得: （不合题意，舍去）．
答：月份至月份的营业额的平均月增长率为．
【点睛】
可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
26、（1）k=9,（2）A（1,0）, C（0,5）.
【分析】（1）根据反比例函数过点D,将坐标代入即可求值,（2）利用全等三角形的性质,计算AM,AN,CH的长即可解题.
【详解】解：将点D代入中,
解得：k=9,
（2）过点B作BN⊥x轴于N, 过点D作DM⊥x轴于M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∵∠BAN+∠ABN=90°,
∴∠BAN=∠ADM,
∴△ABN≌△DAM（AAS）,
∴DM=AN=3,
设A（a,0）,
∴N（a-3,0）,
∵B在 上，
∴BN==AM,
∵OM=a=3,整理得：a2-6a+5=0,
解得：a=1或a=5（舍去）,
经检验,a=1是原方程的根,
∴A（1,0）,
过点D作DH⊥Y轴于H,
同理可证明△DHC≌△DMA,
∴CH=AM=2,
∴C（0,5）,
综上, A（1,0）, C（0,5）.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质,三角形的全等,难度较大,作辅助线,通过全等得到长度是解题关键.