重庆市第八中学2022年数学九上期末教学质量检测试题含解析

这是一份重庆市第八中学2022年数学九上期末教学质量检测试题含解析，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，如图，点P等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A．1B．C．2 D．2
2．常胜村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为15000元，求人均收入的年增长率．若设人均收入的年增长率为x，根据题意列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，是的直径，，是的两条弦，，连接，若，则的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
4．下列关于x的一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，4）
6．如图，现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．1cm
7．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，则m的值为( )
A．﹣5B．﹣1C．﹣1.25D．1
8．在体检中，12名同学的血型结果为：A型3人，B型3人，AB型4人，O型2人，若从这12名同学中随机抽出2人，这两人的血型均为O型的概率为( )
A．B．C．D．
9．sin65°与cs26°之间的关系为（ ）
A．sin65°＜cs26°B．sin65°＞cs26°
C．sin65°=cs26°D．sin65°+cs26°=1
10．如图所示，在矩形ABCD中，点F是 BC的中点，DF的延长线与AB的延长线相交于点E，DE与AC相交于点O，若，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
11．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（ ）
A．（6，4）B．（6，2）C．（4，4）D．（8，4）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如果，那么_________．
14．若，则__________.
15．已知m为一元二次方程x²-3x-2020=0的一个根，则代数式2m²-6m+2的值为___________
16．方程2x2﹣6=0的解是_____．
17．方程x2﹣2x+1＝0的根是_____．
18．如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱 洛三角形．若正三角形边长为 3 cm，则该莱洛三角形的周长为_______cm．
三、解答题（共78分）
19．（8分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会（The 2nd China Internatinal lmprt Exp）在上海国家会展中心开幕.本次进博会将共建开放合作、创新共享的世界经济，见证海纳百川的中国胸襟，诠释兼济天下的责任担当.小滕、小刘两人想到四个国家馆参观：.中国馆；.俄罗斯馆；.法国馆；.沙特阿拉伯馆.他们各自在这四个国家馆中任意选择一个参观，每个国家馆被选择的可能性相同.
（1）求小滕选择.中国馆的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求小滕和小刘恰好选择同一国家馆的概率.

20．（8分）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的F、C（3，m）两点，与x、y轴分别交于B、A（0，4）两点，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，且△OCD的面积为3，作点B关于y轴对称点E．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）连接FE、EC，求△EFC的面积．
21．（8分）如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．

（1）求证：∠CGO＝∠CDE；
（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）解方程：.
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为.以点为位似中心画出的位似图形，使得与的位似比为，并写出点的坐标.
23．（10分）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在中，，，，是的平分线．
①证明是“类直角三角形”；
②试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“类直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（包括端点，），延长至点，连结，且，当是“类直角三角形”时，求的长．
24．（10分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，1．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是1的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
25．（12分）某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．
（1）求出每天利润w的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．
（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．
26．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】
由题意得,∠AOB==60°，
∴∠AOC=30°，
∴OC=2⋅cs30°=2×=，
故选B.
2、D
【分析】根据“每年的人均收入上一年的人均收入（1年增长率）”即可得．
【详解】由题意得：2018年的人均收入为元
2019年的人均收入为元
则
故选：D．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等式关系是解题关键．
3、D
【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径及CD⊥AB可得出弧BC=弧BD，进而可得出∠BAD=∠BAC，利用圆周角定理可得出∠BOD的度数．
【详解】连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BAD=∠BAC=20°．
∴∠BOD=2∠BAD=40°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，利用圆周角定理求出∠BOD的度数是解题的关键．
4、D
【解析】利用一元二次方程的根的判别式逐项判断即可.
【详解】一元二次方程的根的判别式为，逐项判断如下：
A、，方程有两个不相等的实数根，不符题意
B、，方程有两个相等的实数根，符合题意
C、，方程有两个不相等的实数根，不符题意
D、，方程没有实数根，符合题意
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根.
5、A
【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案．
【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
6、A
【解析】试题分析：本题的关键是利用弧长公式计算弧长，再利用底面周长=展开图的弧长可得．
解答：解：L=,
解R=2cm．
故选 A.
考点: 弧长的计算．
7、A
【分析】根据题意，分情况讨论：当二次函数开口向上时，在对称轴上取得最小值，列出关于m的一次方程求解即可；当二次函数开口向下时，在x=-1时取得最小值，求解关于m的一次方程即可，最后结合条件得出m的值．
【详解】解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，
∴m＞0，当x=1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1=6，得m=﹣1(舍去)，
m＜0时，当x=﹣1时，取得最小值，即m(﹣1﹣1)2﹣5m+1=6，得m=﹣5，
由上可得，m的值是﹣5，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，注意根据开口方向分情况讨论，一次方程的列式求解，分情况讨论是解题的关键．
8、A
【分析】根据题意可知，此题是不放回实验，一共有12×11=132种情况，两人的血型均为O型的有两种可能性，从而可以求得相应的概率．
【详解】解：由题意可得，
P(A)=，
故选A.
【点睛】
本题考查列表法和树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
9、B
【分析】首先要将它们转换为同一种锐角三角函数，再根据函数的增减性进行分析．
【详解】∵cs26°=sin64°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin65°＞cs26°．
故选：B．
【点睛】
掌握正余弦的转换方法，了解锐角三角函数的增减性是解答本题的关键．
10、C
【解析】由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，由ASA证明△BEF≌△CDF，得出BE=CD=AB，则AE=2AB=2CD，再根据AOECOD,面积比等于相似比的平方即可。
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBF=90°，
∵F为BC的中点，
∴BF=CF，
在△BEF和△CDF中，
，
∴△BEF≌△CDF（ASA），
∴BE=CD=AB，
∴AE=2AB=2CD，
∵AB∥CD，
∴AOECOD,
∴=4:1
∵
∴=8
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握有关的性质与判定是解决问题的关键．
11、C
【解析】试题分析：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．
故选C．
考点：平行四边形的判定
12、A
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴，
∵BG＝12，
∴AD＝BC＝4，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴
∴
解得：OA＝2，
∴OB＝6，
∴C点坐标为：（6，4），
故选A．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】将进行变形为，从而可求出的值.
【详解】∵
∴
故答案为
【点睛】
本题主要考查代数式的求值，能够对原式进行适当变形是解题的关键.
14、
【分析】根据等式的基本性质，将等式的两边同时除以，即可得出结论.
【详解】解：将等式的两边同时除以，得
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是将等式变形，掌握等式的基本性质是解决此题的关键.
15、1
【分析】由题意可得m2－3m=2020，进而可得2m2－6m=4040，然后整体代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵m为一元二次方程x2－3x－2020=0的一个根，
∴m2－3m－2020=0，
∴m2－3m=2020，
∴2m2－6m=4040，
∴2m2－6m+2=4040+2=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟练掌握基本知识、灵活应用整体思想是解题的关键．
16、x1=，x2=﹣
【解析】此题通过移项，然后利用直接开平方法解方程即可.
【详解】方程2x2﹣6=0，即x2=3，
开方得：x=±，
解得：x1=，x2=﹣，
故答案为：x1=，x2=﹣
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法—直接开平方法，比较简单.
17、x1＝x2＝1
【解析】方程左边利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【详解】解：方程变形得：（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
故答案是：x1＝x2＝1.
【点睛】
考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
18、
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【详解】解：该莱洛三角形的周长=3×.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边三角形的性质．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）.
【分析】（1）由于每个国家馆被选择的可能性相同，即可得到中国馆被选中的概率为；
（2）画树状图列出所有可能性，即可求出概率.
【详解】.解：（1）在这四个国家馆中任选一个参观，每个国家馆被选择的可能性相同
∴在这四个国家馆中小滕选择.中国馆的概率是；
（2）画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，小滕和小刘恰好选择同一国家馆参观的结果有4种
∴小滕和小刘恰好选择同一国家馆参观的概率.
【点睛】
本题考查了树状图求概率，属于常考题型.
20、（1）y＝；y＝﹣2x+1，y=-；（2）2
【分析】（1）点C在反比例函数y=图象上，和△OCD的面积为3，并且图象在二、四象限，可求出k的值，确定反比例函数的解析式，再确定点C的坐标，用A、C的坐标用待定系数法可确定一次函数y=ax+b的函数解析式．
（2）利用一次函数y=ax+b的函数解析式可求出于坐标轴的交点坐标，与反比例函数函数解析式联立可求出F点坐标，利用对称可求出点E坐标，最后由三角形的面积公式求出结果．
【详解】解：（1）∵点C在反比例函数y＝图象上，且△OCD的面积为3，
∴，
∴k＝±6，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
把C（3，m）代入为：y＝得，m＝﹣2，
∴C（3，﹣2），
把A（0，1）C（3，﹣2）代入一次函数y＝ax+b得： ，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+1．
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为：y＝，y＝﹣2x+1．
（2）一次函数y＝﹣2x+1与x轴的交点B（2，0）．
∵点B关于y轴对称点E，
∴点E（﹣2，0），
∴BE＝2+2＝1，
∵一次函数和反比例函数的解析式联立得：，
解得：
∴点F（﹣1，6），
∴．
答：△EFC的面积为2．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质以及方程组、三角形的面积等知识，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标的特征是解题的关键．
21、（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接OC交DE于F，根据矩形的判定定理证出四边形CEOD是矩形，根据矩形的性质和等边对等角证出∠FCD＝∠CDF，然后根据切线的性质可得∠OCG＝90°，然后根据同角的余角相等即可证出结论；
（2）根据题意，求出∠COD＝30°，然后利用锐角三角函数求出CD和OD，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】证明：（1）连接OC交DE于F，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴CF＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，
∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，
∵CG是⊙O的切线，
∴∠OCG＝90°，
∴∠OCD+∠GCD＝90°，
∴∠ECF＝∠GCD，
∵∠DCG+∠CGD＝90°，
∴∠FCD＝∠CGD，
∴∠CGO＝∠CDE；
（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠COD＝30°，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2，OD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝﹣2×2＝π﹣2．
【点睛】
此题考查的是矩形的判定及性质、切线的性质、锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握矩形的判定及性质、切线的性质、锐角三角函数和求阴影部分的面积是解决此题的关键．
22、（1）；（2）见解析，点的坐标为；点的坐标为.
【分析】 ⑴根据配方法解出即可；
⑵根据相似比找到对应的点，即可.
【详解】解：
，
，
，
.
.(解法不唯一)
解：如图，即为所求.
点的坐标为；点的坐标为.
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程的配方法及位似图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23、（1）①证明见解析，②存在，；（2）或．
【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．证明△ABC∽△BEC，可得，由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C=90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．
②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，可证∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）①证明：如图1中，
∵是的角平分线，
∴，
∵，∴，
∴，
∴为“类直角三角形”．
②如图1中，假设在边设上存在点（异于点），使得是“类直角三角形”．在
中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，∴，
∴，
∴，
（2）∵是直径，∴，∵，，∴，
①如图2中，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且，
∵，且，∴，∴，，共线，
∵∴，∴，∴，即
∴．
②如图3中，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分，
∴，∵，，∴，
∴，即，∴，且中
解得
综上所述，当是“类直角三角形”时，的长为或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，“类直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24、（1）；（2）见解析，
【分析】（1）由标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，利用概率公式计算可得；
（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是1的倍数的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）∵在标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为．
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是1的倍数的有1种，
所以这两个数字之和是1的倍数的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25、（1）21600元，8或9间；（2）15间，1元
【分析】（1）设每个房间价格提高50x元，可列利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x，将此函数配方为顶点式，即可得到答案；
（2）将（1）中关系式﹣50x2+850x+18000＝19500，求出x的值，由租出去的客房数量最少即（30﹣x）最小，得到x取最大值15，再代入利润关系式求得每间客房的利润即可.
【详解】解：（1）设每个房间价格提高50x元，则租出去的房间数量为（30﹣x）间，
由题意得，利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x
＝﹣50x2+850x+18000
＝﹣50（x﹣8.5）2+21612.5
因为x为正整数
所以当x＝8或9时，利润w有最大值，wmax＝21600；
（2）当w＝19500时，﹣50x2+850x+18000＝19500
解得x1＝2，x2＝15，
∵要租出去的房间最少
∴x＝15，
此时每个房间的利润为600+50×15＝1．
【点睛】
此题考查二次函数的实际应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键，注意（1）x应为正整数，故而x应为对称轴x=8.5两侧的整数8或9.
26、（1）；（2）
【分析】（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，
则他选中《九章算术》的概率为．
故答案为；
（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD，
∴P（M）＝．
方法二：根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB，
∴P（M）＝．
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
1
2
1
1
(1，1)
(2，1)
(1，1)
2
(1，2)
(2，2)
(1，2)
1
(1，1)
(2，1)
(1，1)
第1部
第2部
A
B
C
D
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D
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CD