重庆市江津区实验中学2022年数学九上期末综合测试试题含解析

这是一份重庆市江津区实验中学2022年数学九上期末综合测试试题含解析，共19页。试卷主要包含了若反比例函数的图象过点，如图，的正切值为等内容，欢迎下载使用。

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=8cm，则油面的深度为（ ）
A．1cmB．1．5cmC．2cmD．2．5cm
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则x1＋x2－x1·x2的值是（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
3．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（ ）
A．﹣6B．2C．16D．16或2
4．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像相交于，两点，过点作轴的平行线，交函数的图像于点，连接，交轴于点，则的面积为（ ）
A．B．C．2D．
5．某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的宽为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）=200B．2x+2（x﹣12）=200
C．x（x+12）=200D．2x+2（x+12）=200
6．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若(﹣5，y1)，(3，y2)是抛物线上两点，则y1＝y2；④4a+2b+c＜0，其中说法正确的（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
7．若反比例函数的图象过点（-2，1），则这个函数的图象一定过点（ ）
A．（2，-1）B．（2，1）C．（-2，-1）D．（1，2）
8．如图，的半径为，圆心到弦的距离为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，的正切值为（ ）
A．B．C．D．
10．下列银行标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
11．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝，那么函数y＝2★x的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
12．不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（ ）
A．4个B．6个C．8个D．10个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.
14．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE的长是__．
15．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是___________．
16．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为_____m.
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于点和点，则关于x的不等式的解集是_____．
18．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过，那么返程时的平均速度不能小于多少？
20．（8分）解方程：2(x-3)=3x(x-3)．
21．（8分）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点及点
（1）求二次函数的解析式及的坐标
（2）根据图象，直按写出满足的的取值范围
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点.
（1）求一次函数的表达式及点的坐标；
（2）点是第四象限内反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标．
24．（10分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.
证明：△BCD∽△BDE.
25．（12分）如图，已知BCAC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且ADAOAMAP，连接OP．
（1）证明：MD//OP；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AD24，AMMC，求的值．
26．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可求出AD的长，再在Rt△AOD中，利用勾股定理求出OD的长即可得到答案．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=8cm，
∴AD=AB=4cm，
在Rt△AOD中，OD===2（cm），
∴油面深度为：5-2=1（cm）
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2、B
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】由题意知：，，
∴原式＝2－（－1）＝3
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则，．
3、D
【分析】当a=b时，可得出=2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入=中即可求出结论．
【详解】当a=b时，=1+1=2；
当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，
∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，
∴a+b=6，ab=2，
∴= =1．
故选：D．
【点睛】
此题考查根与系数的关系，分a=b及a≠b两种情况，求出的值是解题的关键．
4、B
【分析】先确定A、B两点坐标，然后再确定点C坐标，从而可求△ABC的面积，再根据三角形中位线的性质可知答案.
【详解】∵函数与的图像相交于，两点
∴联立解得
∴点A、B坐标分别是
∵过点作轴的平行线，交函数的图像于点
∴把代入到中得，
解得
∴点C的坐标为
∴
∵OA=OB，OE∥AC
∴OE是△ABC的中位线
∴
故答案选B.
【点睛】
本题是一道综合题，考查了一次函数与反比例函数和三角形中位线性质，能够充分调动所学知识是解题的关键.
5、C
【解析】解：∵宽为x，长为x+12，∴x（x+12）=1．故选C．
6、B
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】由图象可得，
， ， ，则 ，故①正确；
∵该函数的对称轴是 ，
∴，得 ，故②正确；
∵，，
∴若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则 ，故③正确；
∵该函数的对称轴是 ，过点（﹣3，0），
∴ 和 时的函数值相等，都大于0，
∴ ，故④错误；
故正确是①②③，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
7、A
【解析】先把（- 2，1）代入y=求出k得到反比例函数解析式为y=，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标的积进行判断．
【详解】把（-2，1）代入y=得k=-2×1=-2，
所以反比例函数解析式为y=，
因为2×（-1）=-2， 2×1=2，-2×(-1)=2，1×2=2，
所以点（2，-1）在反比例函数y=的图象上．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
8、D
【分析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB=2CA，代入求出即可.
【详解】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，
则OC=6，OA=10，由勾股定理得：
，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AB=2AC=16，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，正确作出辅助线是关键.
9、A
【分析】根据圆周角定理和正切函数的定义，即可求解．
【详解】∵∠1与∠2是同弧所对的圆周角，
∴∠1=∠2，
∴tan∠1=tan∠2=，
故选A．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理和正切函数的定义，把∠1的正切值化为∠2的正切值，是解题的关键．
10、B
【解析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行依次判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
11、C
【解析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．
【详解】由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；
当2≥x，即x≤2时，y＝﹣，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．
12、A
【分析】设红球的个数为x，通过蓝球的概率建立一个关于x的方程，解方程即可.
【详解】设袋子中有红球x个，
根据题意得，
解得x＝1．
经检验x＝1是原方程的解．
答：袋子中有红球有1个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查随机事件的概率，掌握随机事件概率的求法是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H，由旋转的性质可得 AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=45°，AH=3，进而得∠HAF=30°，继而求出AF长即可求得答案.
【详解】过点A作AH⊥DE，垂足为H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°，
∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
∴AF=，
∴CF=AC-AF=，
故答案为.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.
14、6
【分析】由平行得比例，求出的长即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．
15、70°
【详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠ABB′=45°，
∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，
由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题考查旋转的性质，掌握旋转图像对应边相等，对应角相等是本题的解题关键．
16、1．
【解析】试题解析：
设这栋建筑物的高度为
由题意得
解得：
即这栋建筑物的高度为
故答案为1．
17、-6＜x＜0或x＞2；
【解析】观察一次函数和反比例函数图象，一次函数比反比例函数高的部分就是所求.
【详解】解：本题初中阶段只能用数形结合，由图知-6＜x＜0或x＞2；
点睛：利用一次函数图象和反比例函数图象性质数形结合解不等式：
形如式不等式，构造函数，=，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值.
18、1．
【解析】试题分析：根据题目中的条件易证△ABP∽△CDP，由相似三角形对应边的比相等可得，即，解得CD=1m．
考点：相似三角形的应用．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）.
【分析】（1）利用路程=平均速度×时间，进而得出汽车的速度v与时间t的函数关系；
（2）结合该司机必须在5个小时之内回到甲地，列出不等式进而得出速度最小值．
【详解】（1）由题意得，两地路程为，
∴汽车的速度与时间的函数关系为；
（2）由，得，
又由题意知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：返程时的平均速度不能小于1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的应用，根据路程=平均速度×时间得出函数关系是解题关键．
20、.
【分析】先进行移项，在利用因式分解法即可求出答案.
【详解】，
移项得：，
整理得：，
或，
解得：或．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程-因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键.
21、（1）或，点B的坐标为（4，3）；（2）当时，kx+b≥（x-2）2+m
【分析】（1）先将点A（1，0）代入求出m的值，即可得出二次函数的解析式，再将代入二次函数的解析式即可求出的坐标；
（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出的x的取值范围．
【详解】解：（1）∵二次函数y=（x-2）2+m的图象经过点A（1，0）
∴
解得：
∴二次函数的解析式为
解得： （不合题意，舍去）
∴点B的坐标为（4，3）
（2）由图像可知二次函数y=（x-2）2+m的图像与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，0）及点B（4,3)
当时，kx+b≥（x-2）2+m
【点睛】
本题考查用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22、详见解析．
【分析】先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，证出四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD．
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，能够了解菱形的几种判定方法是解答本题的关键，难度不大．
23、（1）y=-2x，B（2，-4）；（2）或．
【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入一次函数即可求出一次函数表达式，由一次函数和反比例函数解析式即可求出点B的坐标；
（2）设点，m＞0，表达出PC的长度，进而表达出△POC的面积，列出方程即可求出m的值．
【详解】解：（1）∵点在反比例函数图象上，
∴，解得：a=-2，
∴，
代入得：，解得：k=-2，
∴y=-2x，
由，解得：x=2或x=-2，
∴点B（2，-4）；
（2）如图，设点，m＞0
∵PC∥x轴，
∴点C的纵坐标为，则=-2x，解得：x=，
∴PC=，
∴，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，以及反比例函数与几何问题，解题的关键是熟悉反比例函数图象上点的坐标的特点．
24、见解析
【分析】根据角平分线的定义可得，由可得，根据相似三角形的判定定理即可得△BCD∽△BDE.
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴△BCD∽△BDE.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；正确找出对应边和对应角是解题关键.
25、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明，然后利用平行线的判定定理即可．
（2）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；
（3）连接CD．由（2）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，，可得，推出，推出，，由，可得，再利用全等三角形的性质求出MD即可解决问题；
【详解】（1）证明：连接、、．
∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）连接．由（1）可知：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，∴，，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质，解题关键在于构造辅助线，相似三角形解决问题.
26、（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【分析】（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.
(2)列一元二次方程求解.
(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.
【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得
∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）.
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得
(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.
∵售价不低于20元且不高于28元，
当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．