重庆市九龙坡区七校联考2022年数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析

这是一份重庆市九龙坡区七校联考2022年数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析，共22页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．反比例函数的图象经过点，，当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36，边cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为( )cm
A．8B．6C．4D．3
3．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64°B．120°C．122°D．128°
4．若关于的方程，它的一根为3，则另一根为（ ）
A．3B．C．D．
5．从 1 到 9这9个自然数中任取一个，是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（ ）．
A．8；B．；C．；D．1．
7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝50°， 则∠C的大小是（ ）
A．50°B．45°C．30°D．25°
8．已知将二次函数y=x²+bx+c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x²-4x-5，则b，c的值为（ ）
A．b=1，c=6B．b=1．c= -5C．b=1．c= -6D．b=1,c=5
9．计算：tan45°＋sin30°＝（ ）
A．B．C．D．
10．下列各点中，在反比例函数图像上的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
12．如图，已知在中，.以为直径作半圆，交于点.若，则的度数是________度．
13．小丽微信支付密码是六位数（每一位可显示0~9），由于她忘记了密码的末位数字，则小丽能一次支付成功的概率是__________.
14．反比例函数的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝____________．
15．如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东45°方向上的处，这时轮船与小岛的距离是__________海里．
16．若，则锐角α＝_____．
17．如图，点是函数图象上的一点，连接，交函数的图象于点，点是轴上的一点，且，则的面积为_________.
18．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知中，， 点是边上一点，且
求证:;
求证:．
20．（6分）全国第二届青年运动会是山西省历史上第一次举办的大型综合性运动会，太原作为主赛区，新建了很多场馆，其中在汾河东岸落成了太原水上运动中心，它的终点塔及媒体中心是一个以“大帆船”造型（如图1），外观极具创新，这里主要承办赛艇、皮划艇、龙舟等项目的比赛.“青春”数学兴趣小组为了测量“大帆船”AB的长度，他们站在汾河西岸，在与AB平行的直线l上取了两个点C、D，测得CD=40m，∠CDA=110°，∠ACB=18.5°，∠BCD=16.5°，如图1．请根据测量结果计算“大帆船”AB的长度．（结果精确到0.1m,参考数据：sin16.5°≈0.45，tan16.5°≈0.50，≈1.41，≈1.73）
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）求AP的长度；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
22．（8分）如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点．
（1）求证：点M是CF的中点；
（2）若E是的中点，BC＝a，
①求的弧长；
②求的值．
23．（8分）（1）解方程：；（2）计算：
24．（8分）如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．
25．（10分）如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于A(－1，），B在(，－3)两点．
（1）求的值；
（2）直接写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
26．（10分）如图，AB是的直径，点C，D在上，且BD平分∠ABC．过点D作BC的垂线，与BC的延长线相交于点E，与BA的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与相切：
（2）若AB=3，BD=，求CE的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】由图像经过A（2，3）可求出k的值，根据反比例函数的性质可得时，的取值范围.
【详解】∵比例函数的图象经过点，
∴-3=，
解得：k=-6,
反比例函数的解析式为：y=-，
∵k=-6<0，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵x=1时，y=-6，x=3时，y=-2，
∴y的取值范围是：-6故选B.
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，k>0时，图像在一、三象限，在各象限y随x的增大而减小；k<0时，图像在二、四象限，在各象限y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.
2、C
【分析】先求出△ABC的高，再根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF∽△ABC，从而根据相似三角形的性质求出正方形的边长.
【详解】作AH⊥BC，交BC于H，交EF于D.
设正方形的边长为xcm，则EF=DH= xcm，
∵△AB的面积为36，边cm，
∴AH=36×2÷12=6.
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴,
∴,
∴x=4.
故选C.
【点睛】
本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
3、C
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∴∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
4、C
【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到3+t=2，然后解关于t的一次方程即可．
【详解】设方程的另一根为t，
根据题意得：3+t=2，
解得：t=-1，
即方程的另一根为-1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，．
5、B
【解析】∵在1到9这9个自然数中，偶数共有4个，
∴从这9个自然数中任取一个，是偶数的概率为：.
故选B.
6、A
【解析】根据线段比例中项的概念，可得，可得，解方程可求．
【详解】解：若是、的比例中项，即，
∴,
∴，
故选：．
【点睛】
本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
7、D
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵∠C与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，
∵∠AOB=2∠C=50°，
∴∠C=∠AOB=25°．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
8、C
【分析】首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．
【详解】解：∵y=x2-4x-5=x2-4x+4-9=（x-2）2-9，
∴顶点坐标为（2，-9），
∴由点的平移可知：向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（1，-2），
则原二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-2），
∵平移不改变a的值，
∴a=1，
∴原二次函数y=ax2+bx+c=x2-2，
∴b=1，c=-2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与平移变换，首先根据平移规律求出已知抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶点坐标，最后就可以求出原二次函数的解析式．
9、C
【解析】代入45°角的正切函数值和30°角的正弦函数值计算即可．
【详解】解：原式=
故选C．
【点睛】
熟记“45°角的正切函数值和30°角的正弦函数值”是正确解答本题的关键．
10、C
【分析】把每个点的坐标代入函数解析式，从而可得答案．
【详解】解：当时， 故A错误；
当时， 故B错误；
当时， 故C正确；
当时， 故D错误；
故选C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，
设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为1步，
故答案为：1．
考点：三角形的内切圆与内心．
12、1
【分析】首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=20°，即可得∠ABD=70°，继而求得∠AOD的度数，则可求得的度数．
【详解】解：连接AD、OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴
∴∠ABD=70°，
∴∠AOD=1°
∴的度数1°；
故答案为1．
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13、
【分析】根据题意可知密码的末位数字一共有10种等可能的结果，小丽能一次支付成功的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵密码的末位数字一共有10种等可能的结果，小丽能一次支付成功的只有1种情况，
∴小丽能一次支付成功的概率是．
故答案为：．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14、1
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数的图象上，即可得出k＝2n＝3(n﹣1)，解出即可．
【详解】∵点P的坐标为(2，n)，则点Q的坐标为(3，n﹣1)，
依题意得：k＝2n＝3(n﹣1)，
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
15、（30+30）
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在Rt△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D点，由题意可得，
∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=1．
在Rt△ACD中，cs∠ACD=,
∴AD=AC=30，CD=AC•cs∠ACD=1×，
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30，
∴AB=AD+BD=30+30．
答：此时轮船所在的B处与小岛A的距离是（30+30）海里．
故答案为：（30+30）．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
16、45°
【分析】首先求得csα的值，即可求得锐角α的度数．
【详解】解：∵，
∴csα＝，
∴α＝45°．
故答案是：45°．
【点睛】
本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.
17、4
【分析】作AE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D得出△OBD∽△OAE，根据面积比等于相似比的平方结合反比例函数的几何意义求出，再利用条件“AO=AC”得出，进而分别求出和相减即可得出答案.
【详解】
作AE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D
∴△OBD∽△OAE
∴
根据反比例函数的几何意义可得：，
∴
∵AO=AC
∴OE=EC
∴
∴，
∴
故答案为4.
【点睛】
本题考查的是反比例函数与几何的综合，难度系数较大，需要熟练掌握反比例函数的几何意义.
18、
【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．
【详解】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为．
故答案为.
【点睛】
本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质和判定定理，即可得到结论；
（2）由得，进而即可得到结论．
【详解】（1），
，，
，即：，
∴；
,
．
∴，
，即：∠DBE=90°，
．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质定理，掌握两边对应成比例，夹角相等的两个三角形是相似三角形，是解题的关键．
20、 “大帆船”AB的长度约为94.8m
【分析】分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点E、F，设DE=xm，得BF= AE=CE=( x +40)m，AE=x ，列出方程，求出x的值，进而即可求解．
【详解】分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点E、F，
设DE=xm，易知四边形ABFE是矩形，
∴ AB=EF，AE=BF．
∵∠DCA=∠ACB+∠BCD=18.5°+16.5°=45°，
∴ BF= AE=CE=( x +40)m．
∵ ∠CDA=110°，
∴ ∠ADE=60°．
∴ AE= x·tan60°=x ，
∴ x= x +40 ， 解得： x≈54.79（m）．
∴ BF= CE =54.79+40=94.79（m）．
∴ CF=≈189.58（m）．
∴ EF= CF- CE=189.58-94.79≈94.8（m）．
∴ AB=94.8（m）．
答：“大帆船”AB的长度约为94.8m．
【点睛】
本题主要考查三角函数的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．
21、（1）BD＝DC；（2）1；（3）详见解析.
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，可得，则BD=DE，所以BD=DE=DC，得到∠DEC=∠DCE，在等腰△ABC中可计算出∠ABC=71°，故∠DEC=71°，再由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，然后利用OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°，则△AOP是等腰直角三角形，易得AP的长度；
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°，在Rt△AOG中，由∠OAG=30°可得＝，由于＝＝，则＝，根据三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，然后根据切线的判定定理即可得到CP是⊙O的切线．
【详解】（1）BD＝DC．理由如下：
如图1，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）如图1，连接AP．
∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴
∴BD＝DE．
∴BD＝DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝71°，
∴∠DEC＝71°，
∴∠EDC＝180°﹣71°﹣71°＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝71°﹣30°＝41°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝41°，
∴∠BOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形．
∵AO＝AB＝1．
∴AP＝AO＝1；
（3）设OP交AC于点G，如图1，
则∠AOG＝∠BOP＝90°，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴＝．
又∵∠AGO＝∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC＝∠AOG＝90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了圆的综合题；掌握切线的性质，运用切线的判定定理证明圆的切线；运用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解决圆中角度与线段的计算；同时记住等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系是关键．
22、（1）见解析；（2）①πa；②＝1．
【分析】（1）由切线的性质可得∠ACB＝∠ODB＝90°，由平行线的性质可得OM⊥CF，由垂径定理可得结论；
（2）①由题意可证△BCD是等边三角形，可得∠B＝60°，由直角三角形的性质可得AB＝2a，AC＝a，AD＝a，通过证明△ADO∽△ACB，可得，可求DO的长，由弧长公式可求解；
②由直角三角形的性质可求AO＝a，可得AE的长，即可求解．
【详解】证明：（1）∵⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，
∴∠ACB＝∠ODB＝90°，
∵CF∥AB，
∴∠OMF＝∠ODB＝90°，
∴OM⊥CF，且OM过圆心O，
∴点M是CF的中点；
（2）①连接CD，DF，OF，
∵⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，
∴BD＝BC，
∵E是的中点，
∴，
∴∠DCE＝∠FCE，
∵AB∥CF，
∴∠A＝∠ECF＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，且BD＝BC，
∴BD＝BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝30°＝∠ECF＝∠ACD，
∴∠DCF＝60°，
∴∠DOF＝120°，
∵BC＝a，∠A＝30°，
∴AB＝2a，AC＝a，
∴AD＝a，
∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠ACB＝90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴，
∴
∴DO＝a，
∴的弧长＝＝πa；
②∵∠A＝30°，OD⊥AB，
∴AO＝2DO＝a，
∴AE＝AO﹣OE＝﹣a＝a，
∴＝1．
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了圆的有关性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，弧长公式，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
23、（1）x1=-1，x2=4；（2）原式=
【分析】（1）按十字相乘的一般步骤，求方程的解即可；
（2）把函数值直接代入，求出结果
【详解】解：（1）
(x+1)(x-4)=0
∴x1=-1，x2=4；
（2）原式=+-2×
=
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次过程、特殊角的三角函数值及实数的运算，解决（1）的关键是掌握十字相乘的一般步骤；解决（2）的关键是记住特殊角的三角函数值．
24、证明见解析
【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，∠AED=∠B，等量代换得到∠AED=∠DFC，于是得到结论.
试题解析：∵ED∥BC,DF∥AB，
∴∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，
∴∠AED=∠B，
∴∠AED=∠DFC
∴△ADE∽△DCF
25、（1）1；（2）x＜－1或0＜x＜
【分析】（1）将点B代入求出，再将点A代入即可求出的值；
（2）由图像可得结论.
【详解】（1）把B（，-3）代入中，得
∴．
∴．
当时，
．
（2）如图，过点A、点B且平行于y轴及y轴所在的三条直线把平面分成了4部分
由图象可得x＜－1或0＜x＜时一次函数的图像在反比例函数图像的上方时，此时一次函数值大于反比例函数值，所以x的取值范围为x＜－1或0＜x＜.
【点睛】
本题考查了反比例函数，将反比例函数的解析式与图像相结合是解题的关键.
26、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，由角平分线和等边对等角，得到，则，即可得到结论成立；
（2）连接，，，由勾股定理求出AD，然后证明，求出DE的长度，然后即可求出CE的长度.
【详解】（1）证明，如图，连接．
平分，
．
∵，
．
．
．
．
∵,
．
．
即．
与相切．
（2）如图，连接，，．

是的直径，
．
在中，．
∵，，
．
，
即．
．
∵，，，
．
．
在中，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．