浙江省温州市龙湾区2022-2023学年数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

这是一份浙江省温州市龙湾区2022-2023学年数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析，共21页。试卷主要包含了如果点在双曲线上，那么m的值是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，等边△ABC的边长为6，P为BC上一点，BP=2，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（ ）
A．2B．C．D．1
3．二次函数的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线D．抛物线与轴有两个交点
4．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
5．如果点在双曲线上，那么m的值是（ ）
A．B．C．D．
6．关于x的一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一个根为2，则b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
7．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是（ ）
A．在⊙A外B．在⊙A上C．在⊙A内D．不能确定
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是AB的中点，∠ECD绕点C按顺时针旋转，且∠ECD=45°,∠ECD的一边CE交y轴于点F,开始时另一边CD经过点O,点G坐标为（-2,0),当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（其中0°≤α≤90°），连接BG、DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：
①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝图象交于M、N两点，则不等式ax+b＞解集为( )
A．x＞2或﹣1＜x＜0B．﹣1＜x＜0
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．x＞2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC＝_____°．
12．如图，若直线与轴、轴分别交于点、，并且，，一个半径为的，圆心从点开始沿轴向下运动，当与直线相切时，运动的距离是__________．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=1．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
14．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为﹣5和3，则二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线_____．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于_____．
16．一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
17．为了某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
则关于这10户家庭的约用水量，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是5吨B．极差是3吨C．平均数是5.3吨D．众数是5吨
18．在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点．若点, 则的坐标为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）计算：4+(-2)2×2-(-36)÷4
20．（6分）（1）已知如图1，在中，，，点在内部，点在外部，满足，且．求证：．
（2）已知如图2，在等边内有一点，满足，，，求的度数．

21．（6分）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是线段上方抛物线上的一个动点，连结、．设的面积为．点的横坐标为．
①试求关于的函数关系式；
②请说明当点运动到什么位置时，的面积有最大值？
③过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的过程如图所示．
解：x2﹣6x＝1 …①
x2﹣6x+9＝1 …②
（x﹣3）2＝1 …③
x﹣3＝±1 …④
x1＝4，x2＝2 …⑤
（1）小明解方程的方法是 ．
（A）直接开平方法 （B）因式分解法 （C）配方法 （D）公式法
他的求解过程从第 步开始出现错误．
（2）解这个方程．
23．（8分）计算：|2﹣|+（）﹣1+﹣2cs45°
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．
（1）求证：PD∥CB；
（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．
25．（10分）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
26．（10分）新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2 m，两棵树苗之间的距离CD为16 m，在路灯的照射下，树苗CE的影长CG为1 m，树苗DF的影长DH为3 m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可.
【详解】由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
2、B
【解析】由等边三角形的性质结合条件可证明△ABP∽△PCD，由相似三角形的性质可求得CD．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP,且
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴
∵AB=BC=6，BP=2，
∴PC=4，
∴
∴
故选:B.
【点睛】
考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
3、D
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2-1=0解的情况对D进行判断．
【详解】A. a=2,则抛物线y=2x2−1的开口向上，所以A选项错误；
B. 当x=1时,y=2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B选项错误；
C. 抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D. 当y=0时,2x2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.
4、C
【分析】根据根与系数的关系即可求出的值．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根
∴
故选C．
【点睛】
此题考查的是根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和=是解决此题的关键．
5、A
【分析】将点代入解析式中,即可求出m的值．
【详解】将点代入中，得：
故选A.
【点睛】
此题考查的是根据点所在的图象求点的纵坐标，解决此题的关键是将点的坐标代入解析式即可．
6、C
【解析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x=2代入程x2+bx﹣10=0得4+2b﹣10=0
解得b=1．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7、B
【分析】根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可．
【详解】解：由勾股定理得：
∵AC=半径=3，
∴点C与⊙A的位置关系是：点C在⊙A上，
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；d＜r点在圆内；d＞r点在圆外．掌握以上知识是解题的关键．
8、A
【解析】先确定点B、A、C的坐标，①当点G在点O时，点F的坐标为（0,2），此时点F、B、C三点的圆心为BC的中点，坐标为（1,3）；②当直线OD过点G时，利用相似求出点F的坐标，根据圆心在弦的垂直平分线上确定圆心在线段BC的垂直平分线上，故纵坐标为，利用两点间的距离公式求得圆心的坐标，由此可求圆心所走的路径的长度.
【详解】∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴B(0,4),A(4,0),
∵点C是AB的中点，
∴C(2,2),
①当点G在点O时，点F的坐标为（0,2），此时点F、B、C三点的圆心为BC的中点，坐标为（1,3）；
②当直线OD过点G时，如图，
连接CN,OC,则CN=ON=2，∴OC=,
∵G(-2，0),
∴直线GC的解析式为：，∴直线GC与y轴交点M(0，1),
过点M作MH⊥OC,∵∠MOH=45，∴MH=OH=,
∴CH=OC-OH=,
∵∠NCO=∠FCG=45,∴∠FCN=∠MCH,
又∵∠FNC=∠MHC,
∴△FNC∽△MHC,
∴,即，得FN=,∴F(,0),
此时过点F、B、C三点的圆心在BF的垂直平分线上，设圆心坐标为（x，），
则，解得，
当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径为线段，即由BC的中点到点（，），
∴所经过的路径长=.
故选：A.
【点睛】
此题是一道综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定及性质定理，两点间的距离公式，综合性比较强，做题时需时时变换思想来解题.
9、D
【分析】由“SAS”可证△DAE≌△BAG，可得BG＝DE，即可判断①；设点DE与AB交于点P， 由∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，即可判断②；过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，易证DE×AM＝×BG×AN，从而得AM＝AN，进而即可判断③；过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥AD，由“AAS”可证△AEQ≌△GAH，可得AQ＝GH，可得S△ADG＝S△ABE，即可判断④．
【详解】∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAE＝∠BAG，
又∵AD＝AB，AG＝AE，
∴△DAE≌△BAG（SAS），
∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，
故①符合题意，
如图1，设点DE与AB交于点P，
∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，
∴∠DAP＝∠BOP＝90°，
∴BG⊥DE，
故②符合题意，
如图1，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，
∵△DAE≌△BAG，
∴S△DAE＝S△BAG，
∴DE×AM＝×BG×AN，
又∵DE＝BG，
∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，
∴AO平分∠DOG，
∴∠AOD＝∠AOG，
故③符合题意，
如图2，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，过点E作EQ⊥AD交DA的延长线于点Q，
∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，∠EAQ+∠GAQ＝90°，
∴∠AEQ＝∠GAQ，
又∵AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，
∴△AEQ≌△GAH（AAS）
∴AQ＝GH，
∴AD×GH＝AB×AQ，
∴S△ADG＝S△ABE，
故④符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判定和性质的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
10、A
【解析】根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，x＞2或﹣1＜x＜0时，ax+b＞．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【解析】根据三角形内角和定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【详解】，
四边形ABCD内接于，
，
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12、3或1
【解析】分圆运动到第一次与AB相切，继续运算到第二次与AB相切两种情况，画出图形进行求解即可得.
【详解】设第一次相切的切点为 E，第二次相切的切点为 F，连接EC′，FC″，
在 Rt△BEC′中，∠ABC＝30°，EC′＝1，
∴BC′＝2EC′＝2，
∵BC＝5，
∴CC′＝3，
同法可得 CC″＝1，
故答案为 3 或 1．
【点睛】
本题考查了切线的性质、含30度角的直角三角形的性质，会用分类讨论的思想解决问题是关键，注意数形结合思想的应用.
13、①②④．
【解析】①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED，故①正确；
②∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2，故②正确；
③∵AF=1，FG=2，
∴AG==，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，
∴tan∠E=，故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD==，
∴S△ADF=DF•AG=×6×，
∵△ADF∽△AED，
∴，
∴=，
∴S△AED=，
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=；
故④正确．
故答案为①②④．
14、x＝﹣1
【分析】根据一元二次方程的两根得出抛物线与x轴的交点，再利用二次函数的对称性可得答案．
【详解】∵一元二次方程的两根为﹣5和3，
∴二次函数图象与x轴的交点为(﹣5，0)和(3，0)，
由抛物线的对称性知抛物线的对称轴为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握抛物线与x轴交点坐标与对应一元二次方程间的关系及抛物线的对称性．
15、
【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝1，进而得出DE＝2，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝1，
∴AE＝CE＝1，
∵AD＝3，
∴DE＝2，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝，
故答案为：.
【点睛】
此题考查勾股定理的应用以及直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝1．
16、7
【解析】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7.
17、B
【详解】解∵这10个数据是：4，4，4，5，5，5，5，6，6，9；
∴中位数是：（5+5）÷2=5吨，故A正确；
∴众数是：5吨，故D正确；
∴极差是：9﹣4=5吨，故B错误；
∴平均数是：（3×4+4×5+2×6+9）÷10=5.3吨，故C正确．
故选B．
18、
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，根据相似比即可求得位似图形对应点的坐标.
【详解】由题意，得
和是以坐标原点为位似中心的位似图形，相似比为2
则的坐标为，
故答案为：.
【点睛】
此题考查了位似图形与坐标的关系，熟练掌握，即可解题.
三、解答题(共66分)
19、21
【解析】试题分析:先乘方,再乘除,最后再计算加减.
试题解析: 4+(-2)2×2-(-36)÷4,
=4+4×2-(-36)÷4,
=4+8－(－9),
=12+9,
=21.
20、（1）详见解析；（2）150°
【分析】（1）先证∠ABD =∠CBE，根据SAS可证△ABD≌△CBE；
（2）把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段CQ处，连结AQ．根据旋转性质得△PCQ是等边三角形，根据等边三角形性质证△BCP≌△ACQ（SAS），得BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC，根据勾股定理逆定理可得∠AQP=90°，进一步推出∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥BE
∴∠ABC=∠DBE=90°
即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE
∴∠ABD =∠CBE．
又∵AB=CB，BD=BE
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）如图，把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段CQ处，连结AQ．
由旋转知识可得：
∠PCQ =60°，CP=CQ=1，
∴△PCQ是等边三角形，
∴CP=CQ=PQ=1．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°=∠PCQ，BC=AC，
∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ，即∠BCP=∠ACQ．
在△BCP与△ACQ中

∴△BCP≌△ACQ （SAS）
∴BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC．
又∵PA=5，
∴．
∴∠AQP=90°
又∵△PCQ是等边三角形，∴∠PQC=60°
∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°
∴∠BPC=150°．
【点睛】
考核知识点：等边三角形，全等三角形，旋转，勾股定理.根据旋转性质和全等三角形判定和性质求出边和角的关系是关键.
21、（1）；（2）①，②当m=3时，S有最大值，③点P的坐标为（4,6）或（，）．
【分析】（1）由 ，则-12a=6，求得a即可；
（2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D，先求出AB的表达式y=-x+6，设点 ，则点D（m，-m+6），然后再表示即可；
②由在中，＜0，故S有最大值；
③△PDE为等腰直角三角形，则PE=PD，然后再确定函数的对称轴、E点的横坐标，进一步可得|PE|=2m-4，即求得m即可确定P的坐标．
【详解】解：（1）由抛物线的表达式可化为，
则-12a=6，解得：a=，
故抛物线的表达式为：；
（2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D，

由点A(0,6)、B的坐标可得直线AB的表达式为：y=-x+6，
设点 ，则点D（m，-m+6），
∴；
②∵，＜0
∴当m=3时，S有最大值；
③∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=PD，
∵点，函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，
则|PE|=2m-4，
即，
解得：m=4或-2或或（舍去-2和）
当m=4时，=6；
当m=时，=．
故点P的坐标为（4,6）或（，）．
【点睛】
本题属于二次函数综合应用题，主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点，掌握并灵活应用所学知识是解答本题的关键．
22、（1）C，②；（2）x1＝+1，x2＝﹣+1．
【分析】（1）认真分析小明的解答过程即可发现其在第几步出现错误、然后作答即可；
（2）用配方法解该二元一次方程即可.
【详解】解：（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，
故选：C，
他的求解过程从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
（2）∵x2﹣6x＝1
∴x2﹣6x+9＝1+9
∴（x﹣1）2＝10，
∴x﹣1＝±
∴x＝±+1
∴x1＝+1，x2＝﹣+1．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的解法，解答本题的关键是掌握一元二次方程的解法，主要方法有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法.
23、1
【分析】根据绝对值、负次数幂、二次根式、三角函数的性质计算即可．
【详解】原式＝2﹣+3+2﹣2×
＝2﹣+3+2﹣
＝(2+3)+(﹣+2﹣)
＝1+0
＝1．
【点睛】
本题考查绝对值、负次数幂、二次根式、三角函数的计算,关键在于牢记相关基础知识．
24、（1）证明见解析；（2）CD＝1．
【解析】（1）欲证明PD∥BC，只要证明∠P＝∠CBF即可；
（2）由△ACE∽△CBE，可得，求出EC，再根据垂径定理即可解决问题.
【详解】（1）证明：∵FC＝FB，
∴∠C＝∠CBF，
∵∠P＝∠C，
∴∠P＝∠CBF，
∴PD∥BC．
（2）连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED，∠AEC＝∠CEB＝90°，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
∴，
∴EC2＝144，
∵EC＞0，
∴EC＝12，
∴CD＝2EC＝1．
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25、 (1) 第3档次；(2) 第5档次
【解析】试题分析：（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．
答：此批次蛋糕属第3档次产品．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，整理得：x2﹣16x+55=0，解得：x1=5，x2=11（舍去）．
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．
考点：一元二次方程的应用．
26、10 m
【分析】设BC的长度为x，根据题意得出△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA，进而利用相似三角形的性质列出关于x的方程.
【详解】解：设BC的长度为x m
由题意可知CE∥AB∥DF
∵CE∥AB
∴△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA
∴，即＝
＝，即 ＝
∴＝
∴x＝4
∴AB＝10
答：路灯AB的高度为10 m.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，得出△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA是解题关键．
月用水量（吨）
4
5
6
9
户数
3
4
2
1