浙江省温州市南浦实验中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末调研试题含解析

这是一份浙江省温州市南浦实验中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末调研试题含解析，共22页。试卷主要包含了下列说法中，不正确的个数是，一元二次方程有实数解的条件等内容，欢迎下载使用。

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD＝2，AB＝3，AE＝4，则AC等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A．B．C．D．
3．如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，是正方形与正六边形的外接圆．则正方形与正六边形的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
5．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（ ）
A．16倍B．8倍C．4倍D．2倍
6．下列说法中，不正确的个数是（ ）
①直径是弦；②经过圆内一定点可以作无数条直径；③平分弦的直径垂直于弦；④过三点可以作一个圆；⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点.（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）．
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．一元二次方程有实数解的条件( )
A．B．C．D．
9．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
10．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．小慧准备给妈妈打个电话，但她只记得号码的前位，后三位由，，这三个数字组成，具体顺序忘记了，则她第一次试拨就拨通电话的概率是________．
12．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 021＝0的两个实数根,则m2＋3m＋n＝______.
13．点是二次函数图像上一点，则的值为__________
14．在平面直角坐标系中，直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m ）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t=_____秒时，⊙P与坐标轴相切.
15．二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为_______________________
16．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数 图象上的点，AB⊥x 轴，垂足为 B，若 △ABO的面积为3，则的值为__.
17．若一个三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣17x+60＝0的一个根，则该三角形的第三边长是_____．
18．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y=x+b（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：如图，B,C,D三点在 上，，PA是钝角△ABC的高线，PA的延长线与线段CD交于点E.
（1）请在图中找出一个与∠CAP相等的角，这个角是 ；
（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明.
20．（6分）一个不透明的箱子里放有2个白球，1个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同.箱子里摸出1个球后不放回，摇匀后再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率。(请用列表或画树状图等方法)
21．（6分）AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，F是AC的中点，OF的延长线交⊙O于点D，点E在AB的延长线上，∠A＝∠BCE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝BE，判定四边形OBCD的形状，并说明理由．
22．（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
23．（8分）某小区为改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为，并且设置了相应的垃圾箱“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为．
（1）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共吨生活垃圾，数据统计如下图(单位：吨)：
请根据以上信息，估计“厨房垃圾”投放正确的概率；
（2）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表格的方法求出垃圾投放正确的概率．
24．（8分）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点.
（1）求此抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）若点是轴上方抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连结.设点的横坐标为.
①试用含的代数式表示的长；
②直线能否把分成面积之比为1：2的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由.
（3）如图2，若点也在此抛物线上，问在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
25．（10分）如图，中，，，为内部一点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点到三角形的边，，的距离分别为，，，求证.
26．（10分）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝1．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴AC＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，难度系数不高，解题关键是找准对应线段.
2、D
【解析】试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．
3、A
【解析】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
详解：连接AC．
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．
∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）．
故选A．
点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
4、A
【解析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出周长之间的关系；
【详解】设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为，
它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和外切正六边形的边长比为R：R=：1．
正方形与正六边形的周长之比=：6=
故答案选：A；
【点睛】
考查了正多边形和圆，解决圆的相关问题一定要结合图形，掌握基本的图形变换．找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．
5、A
【分析】根据正方形的面积公式：s=a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答．
【详解】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4=16倍．
故选A．
【点睛】
此题考查相似图形问题，解答此题主要根据正方形的面积的计算方法和积的变化规律解决问题．
6、C
【分析】①根据弦的定义即可判断；
②根据圆的定义即可判断；
③根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧即可判断；
④确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆即可判断；
⑤根据切线的性质：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点即可判断．
【详解】解：①直径是特殊的弦．所以①正确，不符合题意；
②经过圆心可以作无数条直径．所以②不正确，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．所以③不正确，符合题意；
④过不在同一条直线上的三点可以作一个圆．所以④不正确，符合题意；
⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点．所以⑤正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线的性质、垂径定理、确定圆的条件，解决本题的关键是掌握圆的相关定义和性质．
7、A
【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．
【详解】解：根据题意，△ABC的三边之比为
要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为
经计算只有甲点合适，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
8、B
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可得．
【详解】一元二次方程有实数解
则，即
解得
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
9、C
【解析】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
10、B
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】首先根据题意可得：可能的结果有：512，521，152，125，251，215；然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵她只记得号码的前5位，后三位由5，1，2，这三个数字组成，
∴可能的结果有：512，521，152，125，251，215；
∴他第一次就拨通电话的概率是：
故答案为.
【点睛】
考查概率的求法，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的之比.
12、1.
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=2021、m+n=-2，将其代入m2+3m+n中即可求出结论．
【详解】∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，
∴m2+2m=2021，m+n=-2，
∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=1+（-2）=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=1、m+n=-2是解题的关键．
13、1
【分析】把点代入即可求得值，将变形，代入即可．
【详解】解：∵点是二次函数图像上，
∴则．
∴
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．
14、1，3，5
【分析】设⊙P与坐标轴的切点为D， 根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B、C的坐标，即可求出AB、AC的长，可得△OBC是等腰直角三角形，分⊙P只与x轴相切、与x轴、y轴同时相切、只与y轴相切三种情况，根据切线的性质和等腰直角三角形的性质分别求出AP的长，即可得答案.
【详解】设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A坐标为（4，m），
∴x=0时，y=-2，y=0时，x=2，x=4时，y=2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，-2），
∴AB=2，AC=4，OB=OC=2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°，
①如图，当⊙P只与x轴相切时，
∵点D为切点，⊙P的半径为1，
∴PD⊥x轴，PD=1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD=PD=1，
∴BP=，
∴AP=AB-BP=，
∵点P的速度为个单位长度，
∴t=1，
②如图，⊙P与x轴、y轴同时相切时，
同①得PB=，
∴AP=AB+PB=3，
∵点P的速度为个单位长度，
∴t=3.
③如图，⊙P只与y轴相切时，
同①得PB=，
∴AP=AC+PB=5，
∵点P的速度为个单位长度，
∴t=5.
综上所述：t的值为1、3、5时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：1，3，5
【点睛】
本题考查切线的性质及一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标都适合该一次函数的解析式；圆的切线垂直于过切点的直径；熟练掌握切线的性质是解题关键.
15、3
【分析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．
【详解】根据题意可得：A点的坐标为(1,0)，B点的坐标为(3,0)，C点的坐标为(0,3)，则AB=2，
所以三角形的面积=2×3÷2=3.
考点：二次函数与x轴、y轴的交点.
16、-6
【解析】根据反比例函数k的几何性质,矩形的性质即可解题.
【详解】解：由反比例函数k的几何性质可知,k表示反比例图像上的点与坐标轴围成的矩形的面积,
∵△ABO的面积为3，
由矩形的性质可知,点A与坐标轴围成的矩形的面积=6,
∵图像过第二象限,
∴k=-6.
【点睛】
本题考查了反比例函数k的几何性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键.
17、1
【分析】根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,结合一元二次方程相关知识进行解题即可.
【详解】解：∵x2﹣17x+60＝0，
∴（x﹣1）（x﹣12）＝0，
解得：x1＝1，x2＝12，
∵三角形的两边长分别是4和6，
当x＝12时，6+4＜12，不能组成三角形．
∴这个三角形的第三边长是1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系和一元二次方程的求解,熟悉三角形三边关系是解题关键.
18、
【解析】试题分析：如图，设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，∵∠AOB=∠PQB=90°，∠ABO=∠PBQ，∴∠OAB=∠OPQ，由直线的斜率可知：tan∠OAB=，∴tan∠OPQ=；故答案为．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．解直角三角形．
三、解答题(共66分)
19、（1） ∠BAP；（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2. 证明见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形∆ABC三线合一解答即可；
（2）连接EB，由PA是△CAB的垂直平分线，得到EC=EB.，∠ECP=∠EBP，∠ECA=∠EBA. 然后推出∠BAD=∠BED=90°，利用勾股定理可得EB2+ED2=BD2，找到BD2=2AB2,代入可求的EC2+ED2=2AC2的等量关系即可.
【详解】（1）∵等腰三角形∆ABC 且PA是钝角△ABC的高线
∴PA是∠CAB的角平分线
∴∠CAP=∠BAP
（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2.
证明：连接EB，与AD交于点F
∵点B，C两点在⊙A上,
∴AC=AB，
∴∠ACP=∠ABP.
∵PA是钝角△ABC的高线,
∴PA是△CAB的垂直平分线.
∵PA的延长线与线段CD交于点E，
∴EC=EB.
∴∠ECP=∠EBP.
∴∠ECP—∠ACP =∠EBP —∠ABP.
即∠ECA=∠EBA.
∵AC=AD，
∴∠ECA=∠EDA
∴∠EBA=∠EDA
∵∠AFB=∠EFD, ∠BCD=45°,
∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°
即∠BAD=∠BED=90°
∴EB2+ED2=BD2.
∵BD2=AB2+AD2，
∴ BD2=2AB2,
∴EB2+ED2=2AB2，
∴EC2+ED2=2AC2
【点睛】
本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，这是一个综合题，注意数形结合.
20、
【分析】画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
【详解】解：画树状图如下：
∴摸得两次白球的概率=
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21、（1）证明见解析；（2）四边形OBCD是菱形，理由见解析.
【分析】（1）证明∠OCE＝90°问题可解；
（2）由同角的余角相等，可得∠BCO＝∠BOC，再得到△BCO是等边三角形，故∠AOC＝120°，再由垂径定理得到AF＝CF，推出△COD是等边三角形问题可解．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A+∠BCO＝90°，
∵∠A＝∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：四边形OBCD是菱形，
理由：∵BC＝BE，
∴∠E＝∠ECB，
∵∠BCO+∠BCE＝∠COB+∠E＝90°，
∴∠BCO＝∠BOC，
∴BC＝OB，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠AOC＝120°，
∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
∵OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∵OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OD＝OB＝BC，
∴四边形OBCD是菱形．
【点睛】
本题考查了切线的判定，菱形的判定，垂径定理，等边三角形的判定和性质，解答关键是根据题意找出并证明题目中的等边三角形．
22、（1）两次下降的百分率为10%；
（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为 x，（1﹣x）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x．
40×（1﹣x）2＝32.4
x＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；
（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，
由题意，得

解得：＝1.1，＝2.1，
∵有利于减少库存，∴y＝2.1．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 110 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.1 元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
23、（1）；（2）．
【分析】（1）利用频率估计概率，通过计算“厨房垃圾”投放正确的百分比估计“厨房垃圾”投放正确的概率．
（2）先画树状图展示所有9种可能的结果数，再找出垃圾投放正确的结果数，然后根据概率公式计算；
【详解】解：（1）∵
∴估计“厨房垃圾”投放正确的概率为；
画树状图如下
∵共有种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为，
∴垃圾投放正确的概率为
故答案是：（1）；（2）
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，求出概率．
24、（1），顶点坐标为：；（2）①；②能，理由见解析，点的坐标为；（3）存在，点Q的坐标为：或.
【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后把一般式转化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）①先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再设出点D、E的坐标，然后分点D在y轴右侧和y轴左侧利用或列式化简即可；
②根据题意容易判断：点D在y轴左侧时，不存在这样的点；当点D在y轴右侧时，分或两种情况，设出E、F坐标后，列出方程求解即可；
（3）先求得点M、N的坐标，然后连接CM，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，即可判断∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，所以另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，然后根据圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出CQ的长，进而可得结果.
【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点，
∴设抛物线的表达式为：，
把点代入并求得：，
∴抛物线的表达式为：，
即，∴抛物线的顶点坐标为：；
（2）①设直线的表达式为：，则，解得：，
∴直线的表达式为：，
设，则，
当时，∴，
当时，，
综上：，
②由题意知：当时，不存在这样的点；
当时，或，
∵，∴，
∴，解得（舍去），∴，
或，解得（舍去），（舍去），
综上，直线能把分成面积之比为1：2的两部分，且点的坐标为；
（3）∵点在抛物线上，∴，∴，
连接MC，如图，∵C（0，6），M（1，6）∴MC⊥y轴，过点N作NG⊥CM交CM的延长线于点G，∵N（2，4），∴CG=NG=2，∴△CNG是等腰直角三角形，∴∠MCN=45°，则点C即为符合题意的一个点Q，∴另一种情况的点Q应为过点C、M、N的⊙H与y轴的交点，连接HN，
∵，∴MN=，CM=1，
∵，∴∠MHN=90°，则半径MH=NH=，
∵∠MCQ=90°，∴MQ是直径，且，∴，
∵OC=6，∴OQ=3，∴Q（0，3）；
综上，在轴上存在点，使，且点Q的坐标为：或.
【点睛】
本题是二次函数综合题，综合考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、函数图象上点的坐标特征、三角形的面积问题、一元二次方程的求解、圆周角定理及其推论、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，属于试卷的压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键，熟知函数图象上点的坐标特征、正确进行分类是解（2）题的关键，将所求点Q的坐标转化为圆的问题、灵活应用数形结合的思想是解（3）题的关键.
25、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）根据,利用两角分别相等的两个三角形相似即可证得结果；
（2）利用相似三角形对应边成比例结合等腰直角三角形的性质可得，,，从而求得结果；
（3）根据两角分别相等的两个三角形相似，可证得，求得，由可得，从而证得结论.
【详解】（1）∵，，
∴
又，
∴
∴
又∵，
∴
（2）∵
∴
在中，，
∴
∴，
∴
（3）如图，过点作，，交、于点，，
∴，，，
∵
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，即，
∴
∵，
∴.
∴
∴.
即：.
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度.
26、（1）；（2）见解析
【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出CD的长；
（2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明△ABE∽△ACB．
【详解】（1）∵AE＝4，AC＝1
∴CE=AC-AE＝1-4＝5
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴．
（2）∵，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.