【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（沪科版）第03讲 一次函数的图象和性质（原卷版讲义）

这是一份【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（沪科版）第03讲 一次函数的图象和性质（原卷版讲义），共19页。试卷主要包含了一次函数的定义，正比例函数的定义，一次函数的图象，正比例函数的图象，一次函数的性质，正比例函数的性质，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征等内容，欢迎下载使用。

1．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
2．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
3．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：
经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
一次函数图象之间的位置关系：
直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
4．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
5．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
6．正比例函数的性质
（1）单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
（2）对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
（3）对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
7．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
8．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
9．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
10．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
11．待定系数法求正比例函数解析式
步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式．
12．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
13．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
14．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
15. 一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:33:46；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jye.cm；学号：53016436
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考点一：一次函数的定义
例1．（2023秋•裕安区校级月考）下列函数中，是的一次函数的是
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023秋•瑶海区期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有 个．
A．4B．3C．2D．1
【变式1-2】（2023秋•淮北月考）若是关于的一次函数，则的值为 ．
【变式1-3】（2023秋•瑶海区期末）已知是关于的一次函数，则为 ．
考点二：正比例函数的定义
例2．（2023秋•霍邱县月考）若函数是正比例函数，则的值为
A．0B．2C．D．
【变式2-1】（2023秋•砀山县期中）若是关于的正比例函数，则的值为
A．B．C．2D．3
【变式2-2】（2023秋•潜山市期中）已知一次函数是正比例函数，则的值为
A．B．2C．D．1
【变式2-3】（2023秋•蚌山区期中）若是关于的正比例函数，则的值为 ．
考点三：一次函数的图象
例3．（2023秋•肥东县期末）直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
【变式3-1】（2023秋•包河区期末）两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2024•埇桥区校级二模）如图，一次函数是常数且与一次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【变式3-3】（2023秋•潜山市期末）已知，则一次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
考点四：正比例函数的图象
例4．（2024春•莆田期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数为常数且和一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【变式4-1】（2023秋•庐阳区校级期末）在同一坐标系中，函数与的大致图象是
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2023秋•泗县期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
第一、【变式4-3】（2023秋•舒城县期末）下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中、为常数，且的大致图象，其中表示正确的是
A．B．
C．D．
考点五：一次函数的性质
例5．（2023秋•淮北期中）关于函数，下列结论正确的是
A．图象必经过点B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与直线平行D．随的增大而增大
【变式5-1】（2023春•颍州区校级期末）若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是
A．B．C．D．
【变式5-2】（2023秋•安庆期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【变式5-3】（2023秋•宣州区校级期中）一次函数的图象不经过哪个象限
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点六：正比例函数的性质
例6．（2022秋•濉溪县期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【变式6-1】（2023•玉环市校级开学）若函数的图象上有两点，、，，当时，，则的值可以是
A．B．0C．1D．2
【变式6-2】（2022秋•定远县校级月考）若正比例函数中随的增大而增大，则一次函数的图象经过
A．第一、第三、第四象限B．第一、第二、第三象限
C．第一、第二、第四象限D．第二、第三、第四象限
【变式6-3】（2023秋•肥东县期末）对于正比例函数，当时，的最大值等于 ．
考点七：一次函数图象与系数的关系
例7．（2024•凤阳县一模）若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的
A．B．C．D．
【变式7-1】（2023秋•大观区校级期中）两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的
A．B．
C．D．
【变式7-2】（2023秋•贵池区期末）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式7-3】（2023秋•大东区期末）已知一次函数，随的增大而减小，则函数图象不过第 象限．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点八：一次函数图象上点的坐标特征
例8．（2023秋•临泉县期末）函数的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是
A．2B．1C．D．
【变式8-1】（2023秋•宿松县期末）直线与两坐标轴围成的三角形面积是
A．3B．4C．6D．12
【变式8-2】（2023秋•固镇县期末）在一次函数的图象上任取不同两点，，，，则的正负情况是
A．B．
C．D．
【变式8-3】（2023秋•包河区期末）关于一次函数的描述，下列说法正确的是
A．图象经过点
B．图象经过第一、二、三象限
C．随的增大而增大
D．图象与轴的交点坐标是
考点九：一次函数图象与几何变换
例9．（2023秋•蜀山区校级期中）一次函数的图象，可由函数的图象
A．向左平移2个单位长度而得到
B．向右平移2个单位长度而得到
C．向上平移2个单位长度而得到
D．向下平移2个单位长度而得到
【变式9-1】（2023秋•宿松县期末）把直线沿轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为
A．B．C．D．
【变式9-2】（2023秋•利辛县校级期末）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线，则应将直线
A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位
C．向左平移5个单位D．向右平移5个单位
【变式9-3】（2023秋•亳州期末）将一次函数的图象向下平移个单位长度，使其成为正比例函数，则的值为
A．B．C．3D．5
考点十：待定系数法求一次函数解析式
例10．（2023秋•贵池区期末）一次函数，当时，对应的函数值的取值范围为，求的值 ．
【变式10-1】（2023秋•长丰县期末）写一个图象与轴交于点，且随增大而减小的一次函数关系式 ．
【变式10-2】（2023秋•贵池区期末）已知与成正比，当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）求当时的函数值．
【变式10-3】（2023秋•临泉县期末）已知一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象；
（2）若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．求的面积．
考点十一：待定系数法求正比例函数解析式
例11．（2023秋•埇桥区期中）已知与成正比例，当时，，则当时，的值是 ．
【变式11-1】（2023秋•淮北期末）已知中，其中与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）若点在这个函数图象上，求的值．
【变式11-2】（2023秋•安庆期末）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式．
【变式11-3】（2024春•无为市月考）已知与成正比例关系，且当时，．
（1）求与之间的函数解析式．
（2）若点在这个函数的图象上，求的值．
考点十二：一次函数与一元一次方程
例12．（2023秋•大观区校级期中）画函数图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是
A．B．C．D．
【变式12-1】（2023秋•蜀山区期中）如图，直线与轴交点的横坐标为1，则关于的方程的解为
A．B．C．D．
【变式12-2】（2023秋•包河区校级月考）如图，直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为
A．B．C．D．
【变式12-3】（2023春•阜阳期末）若关于的一次函数的图象经过点，则方程的解为 ．
考点十三：一次函数与一元一次不等式
例13．（2023秋•固镇县期末）如图，直线和分别与轴交于点，点，则不等式组的解集为
A．B．C．或D．
【变式13-1】（2024•含山县三模）已知一次函数的图象经过点和，其中，则下列结论正确的是
A．，B．，C．，D．，
【变式13-2】（2023秋•庐阳区校级期末）如图，一次函数与轴，轴分别交于，两点，则不等式的解集是
A．B．C．D．
【变式13-3】（2023春•庐江县期末）若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
考点十四：两条直线相交或平行问题
例14．（2023秋•全椒县期末）已知一次函数的图象经过点，且平行于直线，则的值为
A．B．C．1D．4
【变式14-1】（2023秋•淮北期末）函数的图象与函数的图象平行，且与轴的交点为，则其函数表达式为
A．B．C．D．
【变式14-2】（2023秋•瑶海区期末）小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数的四条性质，其中错误的是
A．当时具有最小值为
B．如果的图象与直线有两个交点，则
C．当时，
D．的图象与轴围成的几何图形的面积是4
【变式14-3】（2023秋•固镇县期末）已知直线与直线交点在坐标轴上，则 ．
考点十五：一次函数与二元一次方程（组）
例15．（2023秋•六安月考）如图所示，一次函数，是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于，的方程组的解是
【变式15-1】（2023秋•贵池区期末）如图，直线、的交点坐标可以看作下列方程组 的解．
A．B．
C．D．
【变式15-2】（2023秋•肥西县期末）如图所示，一次函数，是常数，且与正比例函数是常数，且的图象相交于点，下列判断正确的是
①关于的方程的解是；
②关于，的方程组的解是；
③关于的不等式的解集是；
④当时，函数的值比函数的值大．
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
【变式15-3】（2023秋•长丰县期末）如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是
A．B．C．D．
1．（2024春•无为市月考）过，两点的直线不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2022秋•亳州月考）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024•无为市三模）关于一次函数，下列说法正确的是
A．函数值随自变量的增大而减小
B．图象与轴交于点
C．点在函数图象上
D．图象经过第二、三、四象限
4．（2024•全椒县三模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，若点在直线上，则实数的值为
A．B．0C．4D．6
5．（2022春•泗县期中）如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
6．（2023春•颍东区校级期末）若一次函数的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是
A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位
C．向下平移4个单位D．向上平移4个单位
7．（2023秋•包河区期末）将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为 ．
8．（2023秋•蒙城县期末）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ．
9．（2024春•埇桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和交于点，则关于的不等式的解集为 ．
10．（2023秋•宁国市期末）定义运算，：当时，，；当时，，；如：，；，；，．根据该定义运算完成下列问题：
（1）， ，当时，， ；
（2）如图，已知直线与相交于点，若，，结合图象，直接写出的取值范围是 ；
（3）若，，求的取值范围．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．认识正比例函数、一次函数的意义，掌握它们解析式的特点；(重点)
2．理解和掌握正比例、一次函数图象和性质，能利用所学知识解决相关实际问题；(难点)
3．运用待定系数法解求函数解析式；
4．通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在解决问题中的作用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题．(难点)
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