数学讲义-备战2025年高考数学真题题源解密14讲之14实战演练02 三次函数的图像与性质（4大常考点归纳）

这是一份数学讲义-备战2025年高考数学真题题源解密14讲之14实战演练02 三次函数的图像与性质（4大常考点归纳），共9页。试卷主要包含了三次函数概念，三次函数的图像及单调性，三次函数的零点个数，三次函数的韦达定理，三次函数的对称性等内容，欢迎下载使用。


实战演练 02 三次函数的图像与性质
一、三次函数概念
定义：形如f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0)叫做三次函敞
f′ (x) = 3ax2 + 2bx + c，把Δ = 4b2 −12ac叫做三次函数导函数的判别式
当Δ > 0时，令f′ (x) = 0 ，记两根为 ，x2 =
二、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
①三次函数的零点
②三次函数的极值、极值点
③三次函数的切线
④三次函数的对称性
系数关系式
f(x)的图像
f′ (x)的图像
f(x)的性质
{EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(a),Δ) EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(0),0)⇒{EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(a),b)2>≤03ac
f′ (x) ≥ 0恒成立 f(x)在R上递增 f(x)无极值点
{EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(a),Δ) EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(0),0)⇒{EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(a),b)2<≤03ac
f′ (x) ≤ 0恒成立 f(x)在R上递减 f(x)无极值

三、三次函数的零点个数
若三次函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
四、三次函数的韦达定理
设f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0)的三个零点分别为x1 ，x2 ，x3，则
(1)x1 + x2 + x3 = −
(2)x1x2 + x2x3 + x3x1 =
(3)x1x2x3 = −
{EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(a),Δ) EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(0),0)⇒{EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(a),b)2>>03ac
增区间( −∞ , x1)，(x2 ， + ∞) 减区间(x1 ，x2)
f(x)有两个极值点
极大值f(x1) ，极小值f(x2)
{EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(a),Δ) EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(0),0)⇒{EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(a),b)2<>03ac
增区间(x1 ，x2)
减区间( −∞ , x1)，(x2 ， + ∞) f(x)有两个极值点
极大值f(x2) ，极小值f(x1)
性质
三次函数图像
说明
a＞0
a＜0
零 点 个 数
三 个
b2 −3ac > 0
f(x1) ⋅ f(x2) < 0
两个极值异与
图像与x轴有三个交点
两 个
b2 −3ac > 0 f(x1) ⋅ f(x2) = 0
有一个极值为 0
图像与x轴有两个交点 存在极值时
一 个
b2 −3ac > 0
f(x1) ⋅ f(x2) > 0
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点

(4) + + = −
五、三次函数的对称性
结论 1 三次函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0)的图象关于点( − , f( −中心对称
结论 2 已知三次函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0)中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1 ，x2，
结论 3 若y = f(x)图像关于点(m，n)对称，则y = f′ (x)图像关于轴x = m对称 点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
一、单选题
1 ．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数f (x) = x3 - 3x + a 在区间(0, 2) 内有两个零点，则实数a 的取值范围 是( )
A ．(0, 2) B ．(2, +∞) C ．(0, 1) D ．(1, +∞)
2 ．（2024·湖南长沙·一模）函数f (x) = ax3 - ax2 + bx (a, b ∈ R) 有 3 个零点的充分不必要条件是( )
A ．a ≠ 0 ，且 a > 4b B ．a > 0 ，且 a < 4b
C ．a<0 ，且 a > 4b, b ≠ 0 D ．a<0 ，且 a < 4b, b ≠ 0
3 ．（2024·宁夏银川·三模）已知函数f (x) = x3 - 7x2 +14x - a 有 3 个零点x1 ，x2 ，x3 (x1 < x2 < x3 )，有以下 四种说法：
① x1 > 0
② x3 < 4
③存在实数 a，使得x1 ，x2 ，x3 成等差数列
④存在实数 a，使得x1 ，x2 ，x3 成等比数列 则其中正确的说法有（ ）种.
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
4 ．（23-24 高三上·云南·阶段练习）关于函数f (x) = 4x3 - 3x - a ，则下列说法正确的是( )
A ．函数在(-1, 1) 上单调递减
B ．当a > 0 时，函数f (x)< 0 在(0, 1) 上恒成立 C ．当a > 1 或a < -1 时，函数f(x) 有 2 个零点
① 三次函数的零点

D ．当a = 时，函数f (x) 有 3 个零点，记为x1, x2, x3 ，则 x1 + x2 + x3 = 0
二、多选题
5 ．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知三次函数f (x ) = ax3 + bx2 + c(a > 0, b, c ∈ R) ，下列结论正确的是
( )
( 3 ,
( 3 ,
A ．当a = b = 2 时，f (x) 单调递减区间为(|- 2 , 0)|
B ．当a = b = 2 时，f (x) 单调递增区间为(|- 2 , 0)|
C ．当c = -4a 时，若函数f(x) 恰有两个不同的零点，则 = 3
( 3e ,
D ．当b = c = 0 时，f (x) > ln x 恒成立，则 a 的取值范围为(| 1 , +∞)|
6 ．（23-24 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数f (x) = ax3 + x2 + cx + x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3 ) ，函数g (x) = f (x) -1 .则( )
A ．3ac < 1
B ．若x1, x2, x3 成等差数列，则a ∈(-1, 0) (0, 1)
有三个不同的零点
C ．若g(x)恰有两个不同的零点m, n(m < n) ，则2m + n = -
D ．若g (x) 有三个不同的零点t1, t2, t3 (t1 < t2 < t3 )，则 xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),1) + xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) + xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),3) = tEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),1) + tEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) + tEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),3)
三、填空题
l2x+ - a
7 ．（23-24 高三上 · 黑龙江牡丹江 · 期末）函数f (x ) = {[x3 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(-),1)3ax + 2
值范围是 .
(x > 0) (x ≤ 0)
有且只有 3 个零点，则实数a 的取
8 ．（2024 高三下·全国·专题练习）已知a, b ∈ R ，函数f (x) = ax3 + bx2 + x +1(a < 0) 恰有两个零点，则a + b 的取值范围为 .
一、单选题
1 ．（2024·福建泉州·一模）已知x1, x2 ，是函数 f (x) = (x -1)3 - x 两个极值点，则( )
A ．x1 + x2 = -2 B ．x1 + x2 = 1 C ．f (x1 ) + f (x2 ) = -2 D ．f (x1 ) + f (x2 ) = 2
2 ．（2024 高三下·全国·专题练习）若函数f (x)= x (x + a )2 在x =1 处有极大值，则实数a 的值为( )
② 三次函数的极值点

A ．1 B ．-1或-3
C ．-1 D ．-3
3 ．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设x1, x2 是函数f (x) = x3 + ax2 + x +1 的两个极值点，若x1 + 3x2 = -2 ，则a = ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
4 ．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x) 的导函数f , (x ) = (x + 2)(x2 + x + m)，若函数 f (x)有一极大值点 为-2 ，则实数 m 的取值范围为( )
A ．(-2, +∞) B ．(-4, -2]
C ．(-∞, -2] D ．(-∞, -2)
5 ．（2024·河北秦皇岛·三模）已知 0 是函数f (x) = x3 + ax2 +1 的极大值点，则a 的取值范围为( )
A ．(-∞, 0) B ．(0, +∞) C ． D .
6 ．（2024·云南大理·模拟预测）若m 为函数f (x ) = m(x - m)2 (n - x )（其中 m ≠ 0 ）的极小值点，则( )
A ．m > n > 0 B ．m < n < 0
C ．mn > m2 D ．mn < m2
7 ．（23-24 高三下·四川绵阳·开学考试）若函数f (x) = x3 + x2 + (5 - m)x -1的两个极值点都大于 2，
则实数m 的取值范围是( )
A ．(-∞, -5) U (-5, -4] B ．(-∞, -4] C ．(-∞, -2] D ．(-5, -4)
8 ．（2024·全国·模拟预测）设x1, x2 为函数f (x)= x (x - 2)(x - a )（其中 a > 0 ）的两个不同的极值点，若不 等式f (x1 ) + f (x2 ) ≥ 0 成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．[1, 4] B ．(0, 4] C ．(0, 1) D ．(4, +∞)
二、多选题
9 ．（23-24 高三上·全国·开学考试）已知函数f (x) = x3 + ax2 + x 的两个极值点分别为x1, x2 ，若过点 A (x1, f (x1 ))和B(x2, f (x2 )) 的直线l 与坐标轴围成三角形面积为 ，则直线l 方程为( )
A ． B .
C ． D ．y = -3x +1
10 ．（23-24 高二下·山西晋城·阶段练习）函数f (x) = x4 - bx2 + cx 有三个不同极值点x1, x2, x3 ，且

c ∈ [-1, 0) .则 ( )
A ．b > 32 B ．xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),1) + xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),2) + xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),3) > 332
C ．xEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 5(3),1) + xEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 5(3),2) + xEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 5(3),3) 的最大值为 3 D ．x1x2x3 的最大值为 1
11 ．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数f (x) = 2x3 - 3x2 -12x ，x1 , x2 ∈ (m, n) 且满足f (x1 ) = f (n)，
f (x2 ) = f (m)，对任意的x ∈[m, n]恒有f (m) ≤ f (x)≤ f (n) ，且x0 为y = f , (x) 的极值点，则下列等式成立 的是( )
A ．x1 + x2 = 2x0 B ．2 (x2 - x1 ) = n - m
C ．3x1 = 2x2 + m D ．3x2 - x1 = 2n
12 ．（2024·山西太原·三模）已知x1 是函数 f (x) = x3 + mx + n (m < 0) 的极值点，若f (x2 ) = f (x1 )(x1 ≠ x2 ) ， 则下列结论 正确的是( )
A ．f (x) 的对称中心为(0, n) B ．f (-x1 ) > f (x1 )
C ．2x1 + x2 = 0 D ．x1 + x2 > 0
三、填空题
13 ．（23-24 高三上·山西临汾·阶段练习）已知曲线f (x) = x3 + ax2 + bx +1 在点(1, f (1))处的切线斜率为 3，
且x = 是y = f (x)的极值点，则函数的另一个极值点为 .
14 ．（2024·云南·一模）已知f (x) = x3 - 3ax2 + 8ax -100 在(2, 6) 上只有一个极值点，则实数a 的取值范围
为 .
15 ．（2024·江苏南京·二模）已知函数f (x) = x3 - ax +1(a ∈ R) 的两个极值点为x1 ，x2 (x1 < x2 ) ，记
A (x1, f (x1 )) ，C (x2, f (x2 )) ．点 B ，D 在f (x) 的图象上，满足AB ，CD 均垂直于y 轴．若四边形ABCD 为 菱形，则a = .
一、单选题
1 ．（23-24 高三上·四川成都·期末）已知函数f (x) 是偶函数，当x < 0 时，f (x) = x3 - x +1 ，则曲线y = f (x) 在x =1 处的切线方程为( )
A ．2x + y -1 = 0 B ．2x -y - 3 = 0
C ．2x + y - 3 = 0 D ．2x -y -1 = 0
2 ．（2024·宁夏银川·二模）已知点P(1, m) 不在函数f (x) = x3 - 3mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与f(x)
③ 三次函数的切线

的图象相切，则实数m 的取值范围为( )
A ． B .
C ． D .
3 ．（23-24 高三上·广东汕头·阶段练习）若过点(m, n)(m > 0) 可作曲线y = x3 - 3x 三条切线，则( )
A ．n < -3m B ．n > m3 - 3m
C ．n = m3 - 3m 或n = -3m D ．-3m < n < m3 - 3m
二、多选题
4 ．（23-24 高三下·浙江·阶段练习）已知函数f (x ) = x3 - 2x2 + x + 1，下列说法正确的是( )
B ．方程 有 3 个解
C ．当x ∈[0, 2] 时，f (x) ∈ [1, 3]
D ．曲线y = f (x)有且仅有一条过点(0, 1) 的切线
三、填空题
5 ．（2024·广东深圳·一模）已知函数f (x ) = a (x - x1 )(x - x2 )(x - x3 )(a > 0) ，设曲线y = f (x) 在点(xi, f (xi )) 处切线的斜率为ki (i = 1, 2, 3) ，若x1, x2, x3 均不相等，且k2 = -2 ，则k1 + 4k3 的最小值为 .
一、单选题
1 ．（2024·吉林长春·模拟预测）函数f (x) = x3 - 3x2 图象的对称中心为( )
A ．(0, 0) B ．(1, -2) C ． D ．(2, -4)
2 ．（23-24 高三上·全国·开学考试）已知函数f (x ) = x3 + 3x2 + x +1 ，设数列{an } 的通项公式为an = -2n + 9 ， 则f (a1 ) + f (a2 ) +…+ f (a9 ) = ( )
A ．36 B ．24 C ．20 D ．18
3 ．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）已知曲线y = -x3 - 3x2 + 9x + 9 与曲线交于点 A (x1, y1 ), A2 (x2, y2 ), . . ., An (xn , yn ) ，则 ）
④ 三次函数的对称性

A ．-16 B ．-12 C ．-9 D ．-6
4 ．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数f (x) = x3 + ax2 + x + b 的图象关于点(1, 1) 对称，则b = ( )
A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2
5 ．（23-24 高三上·北京大兴·阶段练习）已知函数f (x ) = (x - a )(x - b)(x - c ) ，且a ≤ b ≤ c ，下面四个判断， 正确的个数为（ ）个.
① f , (b) ≤ 0 ；
②若b = ，则 f (x)关于(b, 0) 点对称；
③若b = ，则对于 丫x ∈ R ，f , (x ) ≥ f , (b) ；
④若b ≤ ,则 f , (c) ≥ f , (a )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
二、多选题
6 ．（24-25 高三上·云南·阶段练习）已知函数f (x) = x3 - 3x + 2 ，则( )
A ．f (x)有两个极值点
B ．点(0, 2) 是曲线y = f (x) 的对称中心
C ．f (x)有三个零点
D ．直线y = 0 是曲线y = f (x) 的一条切线
7 ．（2023·山东·模拟预测）已知函数f (x) = x3 - 3x2 - 9x +1 ，则下列结论正确的是( )
A ．f (x)在[- 2, 1] 上的最小值为-10
B ．y = f (x) 的图象与x 轴有 3 个公共点 C ．y = f (x) 的图象关于点(0, 1) 对称
D ．y = f (x) 的图象过点(-2, 0) 的切线有 3 条
8 ．（23-24 高二下·江西南昌·期末）设函数f (x) = (x -1)2 (x - 4) ，则( )
A ．x = 1 是f (x) 的极小值点
B ．f (2 + x) + f (2 - x) = -4
C ．不等式-4 < f (2x -1) < 0 的解集为{x |1 < x < 2}
D ．当0 < x < 时，f (sinx) > f (sin2x)
9 ．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x) = x3 + ax2 + bx + c 下列结论中正确的是( )

A ．若f , (x0 ) = 0 ，则x0 是f (x) 的极值点
B ．彐x0 ∈ R ，使得 f (x0 ) = 0
C ．若x0 是f (x) 的极小值点，则f (x) 在区间(-∞, x0 ) 上单调递减
D ．函数y = f (x) 的图象是中心对称图形
10 ．（2024·贵州·模拟预测）定义：设f , (x) 是f (x) 的导函数，f ,, (x ) 是函数f , (x) 的导数，若方程f ,,(x) = 0 有实数解x0 ，则称点(x0, f (x0 ))为函数y = f (x) 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐 点”就是三次函数图象的对称中心. 已知函数f(x) = x3 + bx2 - x + a 图象的对称中心为(0, 1) ，则下列说法中正 确的有( )
A ．a = 1 ，b = 0 B ．函数f(x) 的极大值与极小值之和为 2
C ．函数f(x) 有三个零点 D ．y = f (x) 在区间(0, 1) 上单调递减
11 ．（2024·江西南昌·三模）已知函数f (x) = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0) ，若y =| f (x) - 2 | 的图象关于直线x = 1 对称，则下列说法正确的是( )
A ．y =| f (x) | 的图象也关于直线x =1 对称B ．y = f (x) 的图象关于(1, 2) 中心对称
C ．a + b + c + d = 2 D ．3a + b = 0
12 ．（23-24 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数f (x) = ax3 - 3ax2 + b ，其中实数a, b ∈ R 且a ≠ 0 ，则下列 结论正确的是( )
A ．f (x)必有两个极值点
B ．当a<0 ，y = f (x)有且仅有 3 个零点时，b 的范围是(4a, 0) C ．当b = 2a 时，点(1, 0) 是曲线y = f (x) 的对称中心
D ．当a > 0 ，5a < b < 6a 时，过点A(2, a )可以作曲线y = f (x) 的 2 条切线
13 ．（2025·四川内江·模拟预测）定义：f ,, (x)是函数f , (x ) 的导数，若方程f ,, (x) = 0 有实数解，则称点 (x0, f (x0 ))为函数y = f (x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图
象的对称中心. 已知函数f (x ) = ax3 - bx2 + ) 的对称中心为(-1, -1) .则下列选项正确的有( )
B ．f (0) + f - ),| + f |((- ,)| +…+ f (|(- ),| + f (-2) 的值是-21
C ．函数f (x)有一个零点
D ．过(|(-3, ),| 可以作三条直线与y = f (x) 图象相切