数学讲义-备战2025年高考数学真题题源解密14讲之01 集合与常用逻辑用语

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2024 年高考新高考Ⅱ卷未考查集合， Ⅰ卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑用语在新高考Ⅱ卷中 考查了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考“考无定题”，以前常考的现在不一定考了， 抓住知识点和数学核心素养是关键！集合和常用逻辑用语考查应关注：（1）集合的基本运算和充要条件；
（2）集合与简单的不等式、函数的定义域、值域的联系。预计 2025 年高考还是主要考查集合的基本运算。
1 ．（2024 新高考Ⅰ卷·1）已知集合 A = {x∣- 5 < x3 < 5}, B = {-3, -1, 0, 2, 3}，则 A∩ B = ( )
A ．{-1, 0} B ． {2, 3} C ． {-3, -1, 0} D ．{-1, 0, 2}
2 ．（2024 新高考Ⅱ卷·2）已知命题p：丫x ∈ R ，| x +1|> 1 ；命题 q：彐x > 0 ，x3 = x ，则( )
A．p 和 q 都是真命题 B ． p 和 q 都是真命题
C．p 和 q 都是真命题 D ． p 和 q 都是真命题
命题解读
考向
考查统计
1.高考对集合的考查，重点是集合间的 基本运算，主要考查集合的交、并、补 运算，常与一元二次不等式解法、一元 一次不等式解法、分式不等式解法、指 数、对数不等式解法结合.
2.高考对常用逻辑用语的考查重点关 注如下两点：
（1）集合与充分必要条件相结合问题 的解题方法；
（2）全称命题与存在命题的否定和以 全称命题与存在命题为条件，求参数的 范围问题.
交集的运算
2022·新高考 Ⅰ卷，1 2023·新高考 Ⅰ卷，1 2024·新高考 Ⅰ卷，1 2022·新高考Ⅱ卷，1
根据集合的包含关系求参数
2023·新高考Ⅱ卷，2
充分必要条件的判定
2023·新高考 Ⅰ卷，7
全称、存在量词命题真假的判断
2024·新高考Ⅱ卷，2
命题分析
试题精讲
1 ．（2022 新高考 Ⅰ卷·1）若集合M = {x ∣ < 4}, N = {x∣3x ≥ 1} ，则 M ∩ N = ( )
A ．{x 0 ≤ x < 2 } B ． C ．{x 3 ≤ x < 16 } D .
2 ．（2023 新高考Ⅰ卷·1）已知集合M = {-2, -1, 0, 1, 2} ，N = {x x 2 - x - 6 ≥ 0}，则 M ∩ N = ( )
\l "bkmark2" A ．{-2, -1, 0, 1} B ．{0, 1, 2} C ．{-2} D ．{2}
\l "bkmark3" 3 ．（2022 新高考Ⅱ卷·1）已知集合 A = {-1, 1, 2, 4}, B = {x x -1 ≤ 1}，则 A∩ B = ( )
\l "bkmark3" A ．{-1, 2} B ．{1, 2} C ．{1, 4} D ．{-1, 4}
4 ．（2023 新高考Ⅱ卷·2）设集合 A = {0, -a} ，B = {1, a - 2, 2a - 2} ，若 A ≤ B ，则 a = ( ) .
A ．2 B ．1 C ． D ．-1
5 ．（2023 新高考Ⅰ卷·7）记Sn 为数列{an } 的前n 项和，设甲：{an } 为等差数列；乙：{} 为等差数列，则
( )
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
一、元素与集合
1、集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其 他对象.
2、集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素. （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现.
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关.
3、元素与集合的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作a ∈ A)和不属于(记作a 呋 A)两种.
4、集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图) .
5、常用数集的表示
二、集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合 A 、B，如果集合 A中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这 两个集合有包含关系，称集合 A为集合B 的子集 ，记作 A B （或 B 彐 A ），读作“A包含于B ”（或“B包 含 A ”）.
（2）真子集：对于两个集合 A与B，若 A B，且存在 b ∈ B，但 b A，则集合 A是集合B 的真子集，记 作 A Ü B A ）.读作“A真包含于B ”或“B真包含 A ”.
（3）相等：对于两个集合 A与B，如果 A B，同时 B A，那么集合 A与B相等，记作 A = B .
（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ⑦; ⑦是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
三、集合的基本运算
（1）交集：由所有属于集合 A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做 A 与B 的交集，记作 A ∩ B ，即 A ∩ B = {x | x ∈ A且x ∈ B} .
（2）并集：由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做 A 与B 的并集，记作 A B ，即 A B = {x | x ∈ A或x ∈ B} .
（3）补集：对于一个集合 A ，由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 CU A ，即 CU A = {x | x ∈U, 且x A} .
四、集合的运算性质
（1） A ∩ A = A ，A ∩ ⑦ = ⑦ , A ∩ B = B ∩ A ，A ∩ B A ，A ∩ B B .
（2） AU A = A ，AU ⑦ = A ，A UB = BU A ，A A B ，B A B .
（3） A ∩ (CU A) = ⑦ , AU (CU A) = U ， CU (CU A) = A .
（4） A ∩ B = A A B = B A B ðUB ðU A A ∩ðUB = ⑦
个，非空真子集
【集合常用结论】
（1）若有限集 A中有n个元素，则 A的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空子集有2n -1 有 2n - 2个.
（2）空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合B 的真子集.
（3） A B A ∩ B = A A U B = B CUB CU A .
（4） CU (A ∩ B) = (CU A) U (CUB) , CU (A U B) = (CU A) ∩ (CUB) .
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N* 或N+
Z
Q
R
五、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若p ，则 q”为真（记作p → q ），则 p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件.
2、从逻辑推理关系上看
（1）若 p → q 且 q ¿ p ，则 p 是q 的充分不必要条件；
（2）若 p ¿ q 且 q → p ，则 p 是q 的必要不充分条件；
（3）若 p → q 且 q → p ，则 p 是q 的的充要条件（也说p 和q 等价）；
（4）若 p ¿ q 且 q ¿ p ，则 p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.
六、全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的” 、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表 示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有 p(x) 成立”可用符号 简记为“x ∈ M, p(x) ”，读作“对任意x 属于M ，有 p(x) 成立” .
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个” 、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“ 彐 ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M 中的一个x0 ，使p(x0 ) 成立”可用 符号简记为“彐x0 ∈ M , P(x0 ) ”，读作“存在M 中元素x0 ，使 p(x0 ) 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 七、含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题 p : x ∈ M, p(x) 的否定 p 为 彐x0 ∈ M ， p(x0 ) . （2）存在量词命题 p : 彐x0 ∈ M, p(x0 ) 的否定 p 为 x ∈ M , p(x) . 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.
【常用逻辑用语常用结论】
1、从集合与集合之间的关系上看 设 A = {x | p(x)}, B = {x | q(x)} .
（1）若 A B ，则 p 是q 的充分条件（p → q ），q 是p 的必要条件；若 A Ü ,则 p 是q 的充分不必要条
件，q 是p 的必要不充分条件，即p → q 且 q ¿ p ； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小 → 大” .
（2）若 B A ，则 p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；
（3）若 A = B ，则 p 与q 互为充要条件.
一、单选题
1 ．（2024·河南·三模）命题“彐x > 0, x2 + x -1 > 0”的否定是( )
A ．丫x > 0, x2 + x —1 > 0 B ．丫x > 0, x2 + x —1≤ 0
C ．彐x ≤ 0, x2 + x —1 > 0 D ．彐x ≤ 0, x2 + x —1≤ 0
2 ．（2024·湖南长沙·三模）已知集合M = {x∣x „ 2}, N = {x | lnx < 1} ，则 M ∩ N = ( )
A ．[2, e) B ．[—2, 1] C ．[0, 2) D ．(0, 2]
3 ．（2024·河北衡水·三模）已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}， 则A∩ B = ( )
A ． B ．{2, 3, 4} C ． {2, 3} D .
4 ．（2024·陕西·三模）已知集合A = {x∣—1 ≤ x ≤ 2}, B = {x∣— x2 + 3x > 0}，则 A B = ( )
A ．R B ．(0, 2] C ．[—1, 0) D ．[—1, 3)
5 ．（2024·安徽·三模）已知集合A = {x —5 ≤ x ≤ 1} ，B = {x x > —2 }，则图中所示的阴影部分的集合可以表示 为( )
A ．{x —2 ≤ x ≤ 1} B ．{x —2 < x ≤ 1}
C ．{x —5 ≤ x ≤ —2 } D ．{x —5 ≤ x < —2 }
6 ．（2024·湖南长沙·三模） 已知直线l : kx —y + ·2k = 0 ，圆 O : x2 + y2 = 1 ，则“k < 1”是“直线l 上存在点P ， 使点P 在圆O 内”的( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7 ．（2024·湖北荆州·三模）已知集合A = {x 2x — x 2 ≤ 0} ，B = ðRA ，其中R 是实数集，集合C = (—∞, 1] ，则 B ∩ C = ( )
A ．(—∞, 0] B ．(0, 1] C ．(—∞, 0) D ．(0, 1)
8 ．（2024·北京·三模）已知集合A = {x lnx < 1}，若 a 呋 A ，则a 可能是( )
A ． B ．1 C ．2 D ．3
9 ．（2024·河北衡水·三模）已知函数f (x) = (2x + m . 2— x)sin x ，则“ m2 = 1 ”是“函数f (x) 是奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C．充要条件 D ．既不充分也不必要条
件
10 ．（2024·内蒙古·三模）设α , β是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，且α ∩ β= l 则“ m / /l ”是 “ m / /β且m / /α ”的( )
A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件
C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
11 ．（2024·北京·三模）已知A = {x lg 2 (x —1) ≤ 1} ，B = {x x — 3 > 2 }，则 A∩ B = ( )
A ．空集 B ．{x x ≤ 3 或x > 5 }
C ．{x x ≤ 3 或x > 5 且x ≠ 1} D ．以上都不对
12 ．（2024·四川·三模）已知集合A = {0, 3, 5} ，B = {x x (x — 2 ) = 0}，则 A∩ B = ( )
A . ⑦ B ．{0} C ．{0, 2, 3, 5} D ．{0, 3}
13 ．（2024·重庆·三模）已知集合A = {x ∈ R x 2 — x — 2 < 0}, B = {y∣y = 2x , x ∈ A}，则 A∩ B = ( )
A ．(—1, 4) B ． C ． D .
14 ．（2024·北京·三模）ℼ △ABC 为锐角三角形”是“sin A > cs B ，sin B > cs C ，sin C > cs A”的( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
设1< a < b ，集合A = ，集合B = 对于集合 B 有
下列两个结论：①存在a 和 b，使得集合 B 中恰有 5 个元素；②存在a 和 b，使得集合 B 中恰有 4 个元素．则
下列判断正确的是( )
A . ①②都正确 B . ①②都错误 C . ①错误，②正确 D . ①正确，②错误
二、多选题
16 ．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是( )
A ．若{x x + 3 > 0 } ∩ {x x — a < 0 } = ⑦ ,则a 的取值范围是a < —3 B ．若{x x + 3 > 0 } ∩ {x x — a < 0 } = ⑦ ,则a 的取值范围是a ≤ —3 C ．若{x x + 3 > 0 } {x x — a < 0 } = R ，则a 的取值范围是a ≥ —3 D ．若{x x + 3 > 0 } {x x — a < 0 } = R ，则a 的取值范围是a > —3
17 ．（2024·辽宁·三模） 已知max {x1, x2, … , xn } 表示x1, x2, … , xn 这n 个数中最大的数．能说明命题“丫a,b, c ， d ∈ R ，max {a, b} + max {c, d } ≥ max {a, b, c, d } ”是假命题的对应的一组整数 a ，b ，c ，d 值的选项有( )
A ．1 ，2 ，3 ，4 B ． —3 ， —1 ，7 ，5
C ．8 ， —1 ， —2 ， —3 D ．5 ，3 ，0 ， —1
18 ．（2024·重庆·三模）命题“存在x > 0 ，使得 mx2 + 2x -1 > 0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A ．m > -2 B ．m > -1 C ．m > 0 D ． m > 1
19 ．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知a, b > 0 ，则使得“a > b ”成立的一个充分条件可以是( )
A ． < B ．| a - 2 |>| b - 2 | C ．a2b - ab2 > a - b D ．ln (a2 + 1) > ln (b2 + 1)
20 ．（2024·安徽安庆·三模）已知集合A = {x ∈ Z x 2 - 2x - 8 < 0}，集合B = {x 9 x > 3m , m ∈ R, x ∈ R}，若A ∩ B 有且仅有 3 个不同元素，则实数m 的值可以为( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
三、填空题
21 ．（2024·湖南长沙·三模）已知集合A = {1, 2, 4} ，B = {a, a2 }，若 A B = A ，则 a = .
22 ．（2024·上海·三模）已知集合A = {0, 1, 2} ，B = {x x 3 - 3x ≤ 1}，则 A∩ B =
23 ．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合A = {a, a +1}，集合B = {x ∈ N | x2 - x - 2 ≤ 0}，若 A ≤ B ，则
a =
.
24 ．（2024·湖南邵阳·三模）A = 则A∩ B = .
25 ．（2024·安徽·三模）已知集合A = {λ, 2, -1}, B = {y∣y = x2 , x ∈ A}，若 A B 的所有元素之和为 12，则实 数λ= .
2
26 ．（2024·山东聊城·三模）已知集合A = {1, 5, a }, B = {1, 3 + 2a}，且 A B = A ，则实数a 的值为 .
27 ．（2024·重庆·三模）已知集合A = {x x 2 - 5x + 6 = 0} ，B = {x -1 < x < 5 , x ∈ N} ，则满足A C □B 的集合 C 的个数为 .
28 ．（2024·天津·三模）己知全集U = {x ∈ N* | x ≤ 7}，集合 A = {1, 2, 3, 6}，集合B = {x ∈ Z | x < 5}，则 (ðU A) ∩B = ，A B = .
29 ．（2024·山东泰安·三模）已知集合 ，若B 的取值范围
是 .
30 ．（2024·宁夏银川·三模）已知命题p：关于 x 的方程x2 - ax + 4 = 0 有实根；命题 q：关于 x 的函数
y = lg3 (2x2 + ax + 3)在[3, +∞) 上单调递增，若“p 或 q”是真命题，“p 且 q”是假命题，则实数 a 的取值范围 是 .